數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版）第八章88直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

直線(xiàn)與圓錐曲

線(xiàn)的位置關(guān)系第八章直線(xiàn)和圓、圓錐曲線(xiàn)1.了解直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線(xiàn)被圓錐曲線(xiàn)所截的弦長(zhǎng)公式.3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問(wèn)題.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置判斷將直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交?Δ

0；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切?Δ

0；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相離?Δ

0.特別地，①與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).②與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).>＝<2.弦長(zhǎng)公式判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.(

)(3)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)一定與雙曲線(xiàn)有公共點(diǎn).(

)(4)圓錐曲線(xiàn)的通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.(

)√√√×√由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，2.已知直線(xiàn)l：y＝x－1與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)是√設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，3.已知點(diǎn)A，B是雙曲線(xiàn)C：

＝1上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)是M(3,2)，則直線(xiàn)AB的斜率為√設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵點(diǎn)A，B是雙曲線(xiàn)C上的兩點(diǎn)，∵M(jìn)(3,2)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，探究核心題型第二部分題型一直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系例1

(1)若直線(xiàn)mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線(xiàn)與橢圓

＝1的交點(diǎn)有個(gè) B.至多1個(gè)個(gè)個(gè)√因?yàn)橹本€(xiàn)mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒(méi)有交點(diǎn)，(2)(多選)已知直線(xiàn)y＝x與雙曲線(xiàn)

＝1(a>0，b>0)無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率可能為√√(1)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，包含直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切或直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行.(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)包含直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行(或重合).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·梅州模擬)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)為l，l與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，則△OAB的面積為√∵拋物線(xiàn)C：y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)為l，∴l(xiāng)的方程為x＝－1，A(－1,0)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的一條切線(xiàn)為x＝my－1，m>0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，(2)已知雙曲線(xiàn)C：

＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F，且傾斜角為60°的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為_(kāi)_____.(1,2)例2

(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)已知橢圓C的方程為

＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為(1)求橢圓C的方程；題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題由題意得，(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)MN與曲線(xiàn)x2＋y2＝b2(x>0)相切.證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是|MN|＝由(1)得，曲線(xiàn)為x2＋y2＝1(x>0)，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)MN：x＝1，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，所以必要性成立；充分性：設(shè)直線(xiàn)MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，所以m2＝k2＋1，可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，化簡(jiǎn)得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，(1)弦長(zhǎng)公式不僅適用于圓錐曲線(xiàn)，任何兩點(diǎn)的弦長(zhǎng)都可以用弦長(zhǎng)公式求.(2)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)應(yīng)選用更簡(jiǎn)捷的弦長(zhǎng)公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)應(yīng)注意討論是否存在斜率.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：

＝1(a>b>0)，短軸長(zhǎng)為橢圓左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F1的距離為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為B，過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓C交于點(diǎn)M，N，且S△BMN＝

求直線(xiàn)l的方程.由題意知，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(－1,0)，B(2,0)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，解得m＝±1，所以直線(xiàn)l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.例3

(2023·衡水模擬)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為

短軸頂點(diǎn)分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；題型三中點(diǎn)弦問(wèn)題因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b＝c.因?yàn)樗倪呅蜯F1NF2的面積為32，(2)直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,1)，求直線(xiàn)l的方程.由題意得，直線(xiàn)l的斜率存在.因?yàn)锳B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,1)在橢圓內(nèi)部，故直線(xiàn)l的方程為y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.(1)解決圓錐曲線(xiàn)“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的思路①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.②點(diǎn)差法：設(shè)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線(xiàn)的方程，并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和直線(xiàn)AB斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計(jì)算量.思維升華(2)點(diǎn)差法常用結(jié)論已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線(xiàn)E上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為C(x0，y0)，直線(xiàn)AB的斜率為k.思維升華思維升華設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2)已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1，若拋物線(xiàn)C上存在關(guān)于直線(xiàn)l：x－y－2＝0對(duì)稱(chēng)的不同的兩點(diǎn)P和Q，則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1，－1) B.(2,0)C. D.(1,1)√因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).則(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，又∵P，Q關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，又∵PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上，∴線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1).課時(shí)精練第三部分1.已知直線(xiàn)l：kx＋y＋1＝0，橢圓C：

＝1，則直線(xiàn)l與橢圓C的位置關(guān)系是A.相離 B.相切

C.相交 D.無(wú)法確定1234567891011121314√基礎(chǔ)保分練由直線(xiàn)l：kx＋y＋1＝0，得直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(0，－1)，所以直線(xiàn)l與橢圓C相交.由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，要使|AB|＝2的直線(xiàn)l有且僅有1條，代入拋物線(xiàn)方程可解得p＝1.2.(2023·長(zhǎng)春模擬)直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若使|AB|＝2的直線(xiàn)l有且僅有1條，則p等于√12345678910111213143.已知直線(xiàn)l的方程為y＝kx－1，雙曲線(xiàn)C的方程為x2－y2＝1.若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是√1234567891011121314因?yàn)橹本€(xiàn)y＝kx－1與雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的右支交于不同的兩點(diǎn)，12345678910111213141234567891011121314√因?yàn)辄c(diǎn)P為直線(xiàn)l與橢圓的交點(diǎn)，

所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為d，123456789101112131412345678910111213141234567891011121314此時(shí)直線(xiàn)l與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)P點(diǎn)，所以共有3個(gè)P點(diǎn).12345678910111213145.(多選)已知直線(xiàn)l：x＝ty＋4與拋物線(xiàn)C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則A.y1y2為定值B.k1k2為定值C.y1＋y2為定值D.k1＋k2＋t為定值√√√對(duì)于A，y1y2＝－16為定值，故A正確；對(duì)于C，y1＋y2＝4t，不為定值，故C錯(cuò)誤；123456789101112131412345678910111213146.(多選)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線(xiàn)l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是A.△ABF2的周長(zhǎng)為4a1234567891011121314√√由直線(xiàn)l：y＝k(x＋c)過(guò)點(diǎn)(－c,0)，知弦AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1.所以△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141234567891011121314①②則a2－2c2≤3c2≤a2－c2，1234567891011121314即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，12345678910111213141234567891011121314如圖所示，由橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a

，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，又△ABF2內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是2π，故2π＝2πr，則r＝1，12345678910111213141234567891011121314設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，123456789101112131412345678910111213149.已知橢圓C：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解得a＝2，c＝1，則b2＝3，1234567891011121314(2)已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)

，若橢圓C上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.1234567891011121314易知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k＝0時(shí)，易得在橢圓C上有無(wú)數(shù)對(duì)A，B關(guān)于直線(xiàn)y＝0對(duì)稱(chēng)；1234567891011121314兩式相減得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，因?yàn)榫€(xiàn)段AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，1234567891011121314解得－2<k<0或0<k<2，綜上，直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍為(－2,2).123456789101112131410.已知雙曲線(xiàn)C：

＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點(diǎn)P(5，

)在雙曲線(xiàn)C上.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；1234567891011121314依題意，c＝2，所以a2＋b2＝4，1234567891011121314解得a2＝50(舍去)或a2＝2，(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若△OAB的面積為

求直線(xiàn)l的方程.1234567891011121314依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線(xiàn)C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因?yàn)橹本€(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，1234567891011121314(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條，12345678910111213141234567891011121314綜合提升練11.(2022·六安模擬)已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為

＝1(a>b>0)，則在橢圓上一點(diǎn)A(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為

＝1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：橢圓C1：

＋y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)B作C1的切線(xiàn)l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，則△OCD面積的最小值為√設(shè)B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由題意得，1234567891011121314123456789101112131412.已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方)，過(guò)A，B分別作l的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，連接MF，NF.若|MF|＝

|NF|，則直線(xiàn)AB的斜率為_(kāi)____.1234567891011121314如圖，由題意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因?yàn)椤螦FM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，123456789101112131413.(2022·濟(jì)南模擬)已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，直線(xiàn)l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線(xiàn)交于M1，M2，M3，M4四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|1234567891011121314√拓展沖刺練如圖，分別設(shè)M1，M2，M3，M4四點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)l0：x＝－1，由定義得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，