向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

第九章向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分●§9.1向量值函數(shù)及其極限與連續(xù)★§9.2向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分●§9.3向量值函數(shù)的不定積分與定積分§9.2向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分9.2.1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)9.2.2空間曲線的切線及法平面方程1．向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念義，如果極限定義9.2.1設(shè)向量值函數(shù)在t的某鄰域內(nèi)有定存在，則稱向量值函數(shù)r(t)在t處可導(dǎo)，并稱極限值為向量值函數(shù)r(t)在t處的導(dǎo)數(shù)，記為或者明顯地，

也是一個(gè)向量值函數(shù)．如果向量值函數(shù)r(t)在t處可導(dǎo)，則r(t)在t處連續(xù).9.2.1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分與一元數(shù)量函數(shù)類似，可以進(jìn)一步定義向量值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，如r(t)的二階導(dǎo)數(shù)定義為的導(dǎo)數(shù),即:向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋（a）二維向量值函數(shù)的情形（b）三維向量值函數(shù)的情形如果點(diǎn)P和Q的位置向量為r(t)與r(t+t),那么這個(gè)向量可以看作是割線向量．當(dāng)時(shí),割線向量如果存在，且趨于曲線在點(diǎn)P處的切線向量．線．這樣,曲線r(t)在點(diǎn)P處的切向量為則稱為曲線r(t)在點(diǎn)P處的切向量,過(guò)P點(diǎn)且以為方向向量的直線為曲線r(t)在點(diǎn)P處的切向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置,對(duì)應(yīng)的幾何曲線為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[t,t+t]上的位移,是質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)，即速度的方向或質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向是運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向,是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)加速度a

(t).向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可通過(guò)計(jì)算其分量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到.其中各分量函數(shù)在點(diǎn)t處可導(dǎo),則r(t)在點(diǎn)t處可導(dǎo),且定理設(shè)三維向量值函數(shù)同樣，對(duì)于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)有類似的結(jié)論.的二階導(dǎo)數(shù)為三維向量值函數(shù)例1計(jì)算下列向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：．解這里,(1)中的二維向量值函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是二維平面上的橢圓曲線;(2)中的三維向量值函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是三維空間上的螺旋曲線．且在區(qū)間I內(nèi)光滑的．如果一個(gè)向量值函數(shù)在區(qū)間上滿足連續(xù)，例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是光滑的．我們就稱在區(qū)間上是一條曲線如果由多個(gè)光滑的片段組成，那么就稱這條曲線為分段光滑曲線．解因?yàn)楣饣嫉模€智在點(diǎn)防(1引,謝0抓)吉(對(duì)倦應(yīng)t=陳0)耽突然娘改變胃了方扁向，在曲斬線上拴出現(xiàn)針了尖鏡點(diǎn)的牽特征刷．所以憂，該動(dòng)曲線睬不是是否為光滑曲線？

例2判斷曲線

尖點(diǎn)解質(zhì)點(diǎn)僚的速俊度為質(zhì)點(diǎn)劣的速孔率為質(zhì)點(diǎn)齡的加毒速度挪為例3一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置向量為求質(zhì)點(diǎn)否的速領(lǐng)度、炕加速速度與務(wù)速率均．可導(dǎo)的向量值函數(shù)r

=r

(t)的微分定義為對(duì)于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)對(duì)于可導(dǎo)的三維向量值函數(shù)對(duì)于伏二維單向量敲值函料數(shù)與砍三維盾向量孩值函猶數(shù)，詞dr是一本個(gè)與與切向量同向；平行的向量，曲線的切向量當(dāng)李dt>0既時(shí)紗,冷dr與反向.當(dāng)dt<0時(shí),dr與切向量數(shù)值勁函數(shù)姥，設(shè)u(t),v(t)為汗可導(dǎo)槍的向俯量值逗函數(shù)施，常數(shù)異，則狐有定理C為常駱向量罰(朋即C的各犬分量裁都為媽常數(shù)導(dǎo)),k為f(t)為痰可導(dǎo)2．責(zé)向量唯值函角數(shù)的還求導(dǎo)墓法則(鞏7輔)舒鏈弊式法黨則：墨設(shè)u(s)為樹(shù)可導(dǎo)涌的向榜量值長(zhǎng)函數(shù)柳，s=f(t)為可狂導(dǎo)的刺數(shù)值蜘函數(shù)薪，則例4設(shè)r(t)是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，且如果(C為常數(shù))，證明：與垂直．證因?yàn)閯t由御求導(dǎo)襯法則糞(然5)齊知因此，幾何券意義露:如果藥一條覽曲線漸位于臂一個(gè)俱以原裁點(diǎn)為眉球心煌的也就是說(shuō)與垂直．垂直于位置向量球面上,那么它的切向量例5如果攪質(zhì)量潛為m的質(zhì)租點(diǎn)的僑位置拼向量蘋(píng)為r(t),角動(dòng)言量轉(zhuǎn)動(dòng)衫力矩球?yàn)樽C明挑：證由求瀉導(dǎo)法痰則（駕6）勵(lì)，知注意漁到則特別夢(mèng)，當(dāng)M(t)頌=0時(shí),從而L(t)為功常向般量.這就滴是物坦理學(xué)哈中的角動(dòng)上量守脖恒定厭律．空間曲線在點(diǎn)t0處的切線向量姻為空間曲線在點(diǎn)的切線方程為稱過(guò)矩點(diǎn)P且與寄向量T(t)喇垂直計(jì)的平觀面為爪空間劉曲線沒(méi)的法平噴面，商其方府程為9.盲2.磨2陵空蔑間曲腹線的根切線辣與法增平面切線撕方程載與法房誠(chéng)平面聯(lián)方程折．且點(diǎn)柴(1融,1藥,1享)高與t=孩1對(duì)緞應(yīng),所以，在點(diǎn)(1,1,1)處曲線的切線向量為因此湯，所免求切橋線方秒程為例6求空間曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的解因?yàn)樗蟪矸ㄆ劫u面方筍程即內(nèi)容席小結(jié)喊與作矩業(yè)作業(yè)美:教材差80劇-8句2頁(yè)1(傻1)潮(3戒)(每5)邪,剃2拜(2屠)(說(shuō)4)首,唯5惠,孫