小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題三

關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題三第1頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三15

工程問題【含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。第2頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三【數(shù)量關(guān)系】

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）第3頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？。

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：兩隊合做需要6天完成第4頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例2

一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？（1）每小時甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？

7÷（1/6－1/8）＝168（個）解二

兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為

1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的

4－3

/

4＋3

＝1/7所以，這批零件共有

24÷1/7＝168（個）第5頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例3

一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12＝5

60÷10＝6

60÷15＝4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）

答：還需要5小時才能完成。第6頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例4

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？解

注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時注水量為（1×4×5），2個進(jìn)水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知每小時的排水量為

（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為

1×4×5－1×5＝15

又因為在2小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為

1×2，

所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進(jìn)水管？

（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進(jìn)水管。第7頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

16

正反比例問題

【含義】

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。第8頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

【數(shù)量關(guān)系】

判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。第9頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解

由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為

300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：這條公路總長3600米。第10頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例2

張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？

解

做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系

設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題

則有

28∶4＝91∶X

28X＝91×4

X＝91×4÷28

X＝13

答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。第11頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例3

孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

解

書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有

24∶36＝X∶15

36X＝24×15

X＝10

答：10天就可以看完。

第12頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三17

按比例分配問題【含義】

所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。第13頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三【數(shù)量關(guān)系】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。

總份數(shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。第14頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例1

學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

解

總份數(shù)為

47＋48＋45＝140

一班植樹

560×47/140＝188（棵）

二班植樹

560×48/140＝192（棵）

三班植樹

560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。第15頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例2

用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？

解

3＋4＋5＝12

60×3/12＝15（厘米）

60×4/12＝20（厘米）

60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。第16頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例3

從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

解

如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝17

17×9/17＝9

17×6/17＝6

17×2/17＝2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。

第17頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例4

某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

。

解

80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人第18頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

18

百分?jǐn)?shù)問題【含義】

百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。第19頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

【數(shù)量關(guān)系】

掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量

標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)第20頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三【解題思路和方法】

一般有三種基本類型：（1

求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多

少；（3已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。第21頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例1

倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解

（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。第22頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例2

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？

解

本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量

所以

（525－420）÷525＝0.2＝20%

或者

1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數(shù)比女職工少20%。第23頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例3

紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？

解

本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此

（525－420）÷420＝0.25＝25%

或者

525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數(shù)比男職工多25%。第24頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例4

紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？

解

（1）男職工占

420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工占

525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。第25頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例5

百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有：

增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%

缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

第26頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%第27頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三20

雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。第28頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）第29頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。第30頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？

解

假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則

兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）

答：有雞23只，有兔12只。第31頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例2

2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

解

此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。第32頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例3

李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？

解

此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）

＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）第33頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例4

（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

解

假設(shè)100只全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數(shù)＝100－20＝80（只）

答：有雞80只，有兔20只。第34頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

例5

有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？

解

假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚

100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。第35頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三抽屜原則問題

【含義】

把3只蘋果放進(jìn)兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進(jìn)一個抽屜，剩下的一個放進(jìn)另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進(jìn)同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問題。第36頁，講稿共43頁，2023年5月2日，星期三

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k