2018屆高三數(shù)學(xué)高考真題與模擬題分類匯編 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

2018屆高三數(shù)學(xué)高考真題與模擬題分類匯編選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

[2018屆高三數(shù)學(xué)高考真題與模擬題分類匯編]選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程解答題（本題共15小題，每小題10分，共150分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1.[2016·石家莊教學(xué)質(zhì)檢]在直角坐標(biāo)系$xOy$中，直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}y=3+\dfrac{2t^2}{x}\\x=2t\end{cases}$（$t$為參數(shù)）。在以$O$為極點(diǎn)，$x$軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線$C$的極坐標(biāo)方程為$\rho=4\sin\theta-2\cos\theta$。(1)求直線$l$的普通方程與曲線$C$的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線$l$與$y$軸的交點(diǎn)為$P$，直線$l$與曲線$C$的交點(diǎn)為$A$，$B$，求$|PA|\cdot|PB|$的值。解：(1)直線$l$的普通方程為$x-y+3=0$。將直線$l$的參數(shù)方程代入$\rho=4\sin\theta-2\cos\theta$中，得$4r\sin\theta-2r\cos\theta=r^2$，即$x^2+(y-2)^2=5$。(2)將直線的參數(shù)方程$\begin{cases}y=3+\dfrac{2t^2}{x}\\x=2t\end{cases}$代入曲線$C$的直角坐標(biāo)方程$(x+1)^2+(y-2)^2=5$，解得交點(diǎn)$A(-3,-1)$，$B(1,3)$。由$P$，$A$，$B$三點(diǎn)坐標(biāo)可得$|PA|=2\sqrt{5}$，$|PB|=2$，故$|PA|\cdot|PB|=4\sqrt{5}$。2.[2016·全國卷Ⅱ]在直角坐標(biāo)系$xOy$中，圓$C$的方程為$(x+6)^2+y^2=25$。(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，$x$軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求$C$的極坐標(biāo)方程；(2)直線$l$的參數(shù)方程是$\begin{cases}x=t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)），$l$與$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，$|AB|=10$，求$l$的斜率。解：(1)將$(x+6)^2+y^2=25$轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，得$\rho^2+12\rho\cos\theta+11=0$。(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線$l$的極坐標(biāo)方程為$\theta=\alpha$（$\rho\inR$）。設(shè)$A$，$B$所對應(yīng)的極徑分別為$\rho_1$，$\rho_2$，將$l$的極坐標(biāo)方程代入$C$的極坐標(biāo)方程，得$\rho_1+\rho_2=-12\cos\alpha$，$\rho_1\rho_2=11$。由$|AB|=|\rho_1-\rho_2|=\sqrt{144\cos^2\alpha-44}=10$，得$\cos2\alpha=\dfrac{8}{15}$，$\tan\alpha=\pm\dfrac{3}{\sqrt{5}}$。故$l$的斜率為$\pm3$。3.[2017·東北三省四市調(diào)研]在直角坐標(biāo)系$xOy$中，圓$C_1$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=3+3\cos\varphi\\y=3\sin\varphi\end{cases}$。(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，$x$軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求$C_1$的極坐標(biāo)方程；(2)直線$l$的參數(shù)方程是$\begin{cases}x=t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)），$l$與$C_1$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，$|AB|=2\sqrt{3}$，求$l$的斜率。解：(1)將圓$C_1$的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，得$\rho=3\sqrt{2}\sin\dfrac{\theta}{2}$。(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線$l$的極坐標(biāo)方程為$\theta=\alpha$（$\rho\inR$）。設(shè)$A$，$B$所對應(yīng)的極徑分別為$\rho_1$，$\rho_2$，將$l$的極坐標(biāo)方程代入$C_1$的極坐標(biāo)方程，得$\rho_1\rho_2=18\sin\dfrac{\alpha}{2}$，$\rho_1+\rho_2=6\sqrt{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$。由$|AB|=\rho_1+\rho_2=2\sqrt{3}$，得$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$。故$l$的斜率為$\pm\sqrt{3}$。(1)對于曲線C的極坐標(biāo)方程ρsin2θ－8cosθ＝0，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式，可以得到曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=xtanα，其中α為傾斜角。由于直線l過點(diǎn)P(2,0)，因此直線l的參數(shù)方程為y=tanα(x-2)。(6分)(2)設(shè)點(diǎn)Q和點(diǎn)G的直角坐標(biāo)分別為(Qx,Qy)和(Gx,Gy)。根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式，可以得到點(diǎn)Q和點(diǎn)G的極坐標(biāo)分別為(Qx2+Qy2)1/2和(Gx2+Gy2)1/2。由于點(diǎn)Q和點(diǎn)G在曲線C上，因此它們滿足曲線C的極坐標(biāo)方程ρsin2θ－8cosθ＝0。代入點(diǎn)Q和點(diǎn)G的極坐標(biāo)，可以得到sin2θQ=8cosθQ/ρQ和sin2θG=8cosθG/ρG。注意到sin2θ的范圍為[0,1]，因此可以列出以下不等式：8cosθQ/ρQ≤1，8cosθG/ρG≤1化簡后得到：ρQ≥8cosθQ，ρG≥8cosθG又因?yàn)辄c(diǎn)Q和點(diǎn)G在直線l上，因此它們滿足直線l的參數(shù)方程y=tanα(x-2)。代入點(diǎn)Q和點(diǎn)G的直角坐標(biāo)，可以得到Qy=tanα(Qx-2)和Gy=tanα(Gx-2)。由于點(diǎn)Q和點(diǎn)G在曲線C上，因此它們還滿足曲線C的直角坐標(biāo)方程y=xtanα。代入點(diǎn)Q和點(diǎn)G的直角坐標(biāo)，可以得到Qy=Qxtanα和Gy=Gxtanα。綜合以上條件，可以列出以下不等式：ρQ≥8cos(arctan(Qy/Qx-2))，ρG≥8cos(arctan(Gy/Gx-2))化簡后得到：ρQ≥8(Qx-2)/(Qx2+Qy2)1/2，ρG≥8(Gx-2)/(Gx2+Gy2)1/2綜上所述，點(diǎn)Q和點(diǎn)G的極坐標(biāo)分別為(2secα,2tanα)和(2/(2cosα-sinα),2tanα/(2cosα-sinα))，其中α為傾斜角。由于點(diǎn)Q和點(diǎn)G在曲線C上，因此它們的連線也在曲線C上。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可以得到點(diǎn)Q和點(diǎn)G的距離為：(Qx-Gx)2+(Qy-Gy)2=(2/(2cosα-sinα)-2secα)2+(2tanα-2tanα/(2cosα-sinα))2化簡后得到：(Qx-Gx)2+(Qy-Gy)2=4(1-cosα)/(2cosα-sinα)2由于點(diǎn)Q和點(diǎn)G的連線垂直于直線l，因此可以得到點(diǎn)Q和點(diǎn)G的連線斜率為-tanα。根據(jù)點(diǎn)斜式，可以得到點(diǎn)Q和點(diǎn)G的連線方程為y-2tanα=-x/tanα+2secα。由于點(diǎn)Q和點(diǎn)G在曲線C上，因此它們的連線也在曲線C上。代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y=xtanα，可以得到以下方程：xtanα-2tanα=-x/tanα+2secα化簡后得到：x2+(xtanα-2secα)2=4tan2α由于點(diǎn)Q和點(diǎn)G的連線在矩形BEAF的對角線上，因此可以得到矩形BEAF的周長為2(Qx-Gx+Qy-Gy)。代入點(diǎn)Q和點(diǎn)G的直角坐標(biāo)，可以得到矩形BEAF的周長為：4/(2cosα-sinα)綜上所述，矩形BEAF的周長的最小值為4，此時點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(2cosα/(2cosα-sinα),2sinα/(2cosα-sinα))。(14分)本題中的直線MN即為點(diǎn)T的切線，所以該方程有兩個相等的實(shí)根，即判別式為0，解得(xcosθ＋ysinθ)2＝y(tǒng)(2－y).(6分)由于0<y≤1，所以2－y≥1，故有(xcosθ＋ysinθ)2≤y，即|TM|·|TN|≤y.(4分)又因?yàn)榍€C1的切線斜率為θ，所以點(diǎn)T的直角坐標(biāo)為(x，y)=(cosθ，sinθ)，代入上式得|TM|·|TN|≤sinθ.(4分)所以取值范圍為0<|TM|·|TN|≤sinθ.(2分)解(1)首先化簡C1的普通方程為x^2+(y-1)^2=a^2，表示C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓。(3分)將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ^2-2ρsinθ+1-a^2=0。(5分)(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組：22(ρ-2ρsinθ+1-a=0，ρ=4cosθ)。(7分)若ρ≠0，由方程組得16cos^2θ-8sinθcosθ+1-a^2=0，由已知tanθ=2，可得16cos^2θ-8sinθcosθ=3，從而1-a^2=3/16，解得a=1/4。(9分)因?yàn)閍=1/4時，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上，所以a=1/4。(10分)13．[2016·太原模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的方程為x=2+tcosα，y=3+tsinα(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=(1+3sin^2θ)/2，直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B。(1)若α=π/3，求線段AB中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；曲線C的普通方程為x^2/4+y^2/13=1。(2分)當(dāng)α=π/3時，設(shè)點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為t，直線l的方程為x=2+t/2，y=3+(√3/2)t(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程得到13t^2+56t+48=0，解得t=-8/13或t=-4/3，因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4/13,3+2√3/13)。(5分)(2)若|PA|·|PB|=|OP|^2，其中P(2，3)，求直線l的斜率。由題意得到|PA|·|PB|=|t1t2|=(1/2)^2(13/2)=13/4，|OP|^2=2^2+3^2=13。因此有13/4=13，解得t1t2=4，代入直線l的方程中得到cosα+4sinα=0，解得tanα=-1/4。因?yàn)閠anα=tan(π/3-α)，所以tan(π/3-α)=-1/4，解得α=π/6。因此直線l的斜率為tanα=-1/4。)直線l的斜率為3/2，即直線l的傾斜角為arctan(3/2)。(改寫)(1)直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=8/sinθ。(改寫)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinφ。(改寫)(2)根據(jù)題意，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(8/(2sinα),α)，點(diǎn)N的極坐標(biāo)為(8/(2sin(α+π/2)),α+π/2)。(改寫)因此，|OM|=2/sinα，|ON|=2/sin(α+π/2)。(改寫)最大值為|OM|·/|ON|=16/|OP||OQ|sin2α，當(dāng)α=π/4時取得。(改寫)(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1，表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓。(改寫)(2)點(diǎn)G的極坐標(biāo)為(2cosθ,θ-π/2)，因此點(diǎn)R的極坐標(biāo)為(cosθ,θ-π/2)，點(diǎn)H的極坐標(biāo)為(2cosθ,θ)。(改寫)因此，C′的參數(shù)方程為ρ=2cos(θ+π/2)，表示圓心在x軸上，半徑為2的圓。(改寫)y＝3t^2x＝－1－3t因此，直線l的普通方程為x＋22y＋1＝0。圓心C到直線l的距離為d＝|1＋1|2