第五章曲線運動萬有引力與航天必修24講

第4 萬有引力與航2.勒第二定律與任何一個行星的連線(矢徑)在相等的時間內掃過的面積3.勒第三定律：行星繞運行軌道半長軸r的立方與其公轉周期T的平Fm1m2r的G為引力常量：G＝6.67259×10－11m3/(kg·s2)。(2)適用于質量分布均勻的球體之間的相互作用，r是兩球心間的距離7.9_km/sr r(1)Gr2＝mr

＝7.9(2)mg＝mrv＝gr＝7.9第二、三宇宙速度第二宇宙速度：v2＝11.2km/s，是掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度：v3＝16.7km/s，是掙脫引力束縛的最小發(fā)射速度 答 (2)× 2.(2016·卷Ⅲ，14)關于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是 解 勒在天文觀測數(shù)據的基礎上總結出了行星運動的規(guī)律，并沒有找出中的原因，而發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律答 面說法正確的是()答案4.2017年6月19日長征三號乙遙二十八火箭發(fā)射中星9A過程中運載火箭心的密切配合下，通過準確實施10次軌道調整，終于于2017年7月5日成功定點于東經101.4°赤道上空的預定軌道如圖1是變軌過程中的三個橢圓軌道， A.27.9C.在軌道2周期小于在軌道1的周D.軌道2可能是地球同步軌解

B

3rr

C步軌道非橢圓，選項D錯誤答 勒三定律的理解和應用行星繞的運動通常按圓軌道處理勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、繞地球的運動勒第三定律T2＝k中，kk【例1】(多選)(2017·卷Ⅱ，19)如圖2，海王星繞沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、NT0，若只中()P

QNPQMN解 由行星運動的對稱性可知，從P經M到Q點的時間為

PMMQPM用的時間小于10，選項A錯誤；海王星在運動過程中只 的引力作用，變小，選項C正確；海王星受到的萬有引力指向，從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功，選項D正確。答案火星和木星沿各自的橢圓軌道繞運行根據勒行星運動定律可知 火星和木星繞運行速度的大小始終相相同時間內，火星與連線掃過的面積等于木星與連線掃過的面 項A錯誤由于火星和木星在不同的軌道上運行且是橢圓軌道速度大小變化，火星和木星的運行速度大小不一定相等，選項B錯誤；由勒第三定律可知，

＝

＝

D答 ，該系統(tǒng)將由35顆組成的軌道有三種：地球同步軌道、中地球軌道和傾斜軌道。其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步與中軌 ，1

解 同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍根 勒第三定律T2＝k得

3

，所以同 與中軌 答

Fmg，二是提供物體隨地球F向3所示。在赤道上：

GR2在兩極上： GR2 R2，得＝r＝R＋h 所以 【例2】(2019·江西撫州模擬)由中國、中國工程院兩院評出的年中國十大科技進展，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“7000米分別排在第一、第二。若地球Rd，“天宮一h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度之比為()

解 ＝GM由于地球的質量為 ＝3πGρR故在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)表面產生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣?－d)。所以有

。根據萬有引力提供向心力

＝ma，“天宮一號”的加速度為

C正確，A、B ，D，答

9 9

，則g 144解析當物體處于地面時，有mg＝GMm，當物體距離地面3R時，有 g′∶g＝1∶16D 答案2.2017年物理學獎授予了三位科學家，以表彰他們?yōu)椤凹す庖δ芫S持該星體的穩(wěn)定(不因自轉而)，則當中子星的自轉周期增為T＝2T0時某物體在該中子星“兩極”所受重力與在“赤道”所受重力的比值為 22

43 430 0

R2＝mRT2當中子星的自轉周期增為T＝2T0時，質量為m的某物體在該中子星“兩極”受重力

0G1＝GR2＝mRT2，在該中子星赤道處所受重力G2＝GR20

002mR（2T）2＝4mRT2，解得G＝3D002答 天體質量和密度的估算“g、R”法：gR GR2＝mgM＝G

M＝3g＝V

“T、r”法：測出繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T Gr2＝mT2rM＝GT2 M ρ＝V

若繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度 環(huán)繞天體表面運動的周期就可估算出中心天體的密度【例3】 (多選)(2019·海南東方模擬)利用引力常量G和下列有關數(shù)據，能計算 解 因為不考慮地球的自轉，所以的萬有引力等于重力，

M地＝G所以據A中給出的條件可求出地球的質量根 ＝m衛(wèi)R

T＝v得M地＝2πG，所以據B中給出的條件可求出地球的質量根

mT2r，得M地＝GT2，所以據C＝

m地T2r′，得M太＝GT2，所以據D中給出的條件可求 的質量答 道半徑的變化而變化，某同學根據測得的不同做圓周運動的半徑r與周期T5所示的圖象，則可求得地球質量為(G)()

A. B.

解 A

r2＝mT2·r，可得T2＝4π2，結合題圖圖線可得b＝4π2M＝Gb答案2.(2018·11月浙江選考)20世紀人類最偉大的創(chuàng)舉之一是開拓了太空的全新領域。vT的勻速圓周運動，已知星球的半RG表示。則字宙飛船和星球的質量分別是()

A.Δt，

Δt

C.Δv， D.Δv解 根 周運動的周期T＝2πr，得半徑為

v

＝2π，根據萬有引力提供向心力可得GmrM＝G＝2πGD答 θ(弧度)G，則() 探測器的軌道半徑為 B.探測器的環(huán)繞周期為 解 知，

s

2（） （）Gr2＝mr，再結合v＝t可以求出M＝G ＝Gt2θ，選項C正確D答

rrrr

1

3

r越 ―→T∝越慢 地2＝地2

的運行軌道(7所示 (3)其他軌注意：同步的六個“一定59705km，之前已運行的“高分四號”軌道高度約為36000km，它們都繞地球做圓周運動。與“高分四號”相比， 解 由萬有引力定律 第二定律有Gr2＝mrω＝mT2r＝mr＝ma，可

， ，

GM，又由題意可知，“高分四號rr答 利用萬有引力定律解決運動的技 Gr2＝mr＝mωr＝mT2GR2＝mg(g為天體表面處的重力加速度(3)a、v、ω、T均與的質量無關，只由軌道半徑和中心天體質量共同決定，(可視為圓軌道)運行。與天宮二號單獨運行時相比，組合體運行的() 解 根據組合體受到的萬有引力提供向心力可得，Gr2＝mT2r＝mr

r2r2C答 如圖9為人造地球的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，該圖中MEO的周期約為(圖中數(shù)據為近地點、遠地點離地面的高度) A.3 B.8 C.15 D.20解析根據題圖中MEO距離地面高度為4200km，可知軌道半徑約為r1＝r2＝42400km，為MEO軌道半徑的4倍，即r2＝4r1。地球同步的周 ，運

24

勒第三定律，2

1，解得 3 2答案，3.(2019·江蘇無錫聯(lián)考)2017925928日期間，啟動新界面，其軌道“風云四號”拍攝著科學家15年的辛苦和努力下列說法正確的是()，D.7.9km/s解 由題可知，“風云四號 是地球同 ，而同 只能在赤道AGMm＝manan＝GMG 2力常量，M為地球質量，r為軌道半徑，因“風云四號” 球的軌道半徑故“風云四號”的向心加速度大于月球的向心加速度故B正確； 的質量是否相等根據Ek＝1mv2知動能不一定相等故C錯誤；7.9km/s2r 四號”的軌道半徑大于地球半徑，根據v＝ GM可知，其線速度小于7.9km/s，rD答 (時間：40分鐘1.(2018·卷Ⅲ，15)為了探測引力波，“天琴計劃”預計發(fā)射地球P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。PQ的周期之比約為() 4解 由勒第三定律

＝，C 答 2.(2018·理綜，17)若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的60倍的情況下，需要驗證()A.1/602C.1/6D.1/60解 若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的

Gr2＝maarB答 火箭以“一箭雙星”方式成功發(fā)射了兩顆。這兩顆是北斗三號導航系統(tǒng)的組網。它們的軌道為中圓地球軌道，高度約21000km。則下列說法正確的是()兩顆的向心力相兩顆的線速度相兩顆運行的角速度均大于地球自轉的角速兩顆的向心加速度大于地面物體的重力加速解析兩顆的線速度方向、向心力方向均不同，A、B項錯誤；兩的軌小于地球自轉周期，則它們的角速度均大于地球自轉的角速度，C面上的物體，GMm＝mg,對，GMm1＝m1a，可見兩顆 度小于地面物體的重力加速度，D答 a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運行的四顆人造。其中a、的運行方向及位置如圖2所示。下列說法正確的是( a、cbb、caa、cda、cP

解 由Gr2＝mr＝mrω＝mrT2＝ma，可知B、C項錯誤，A項正確vc，Ta＝Tca、c不會相撞，D答 g ρ0 033

2解 設星球的密度為ρ，由GMm′＝m′g得GM＝gR2，ρ＝M＝M，聯(lián)立解2 ρ＝3g，設地球、月球的密度分別為ρ、ρ0，則ρ＝gR0，將R＝4，g＝6 上式，解得ρ＝3B 0答

不考慮地球自轉的影響，根據以上數(shù)據可以計算出的() 解析做圓周運動的向心力由萬有引力提供，則有

T33GR2＝m0g，聯(lián)立兩式可得 －R，C項正確；由v＝T(R＋h)，計算出的線速度的大小，D項正確答 斗導航。若已知地球表面重力加速度為g，引力常量為G，地球的第一宇宙v1，則()C.第一宇宙速度v1是人造地球的最大發(fā)射速度，也是最小環(huán)繞速D.在地球表面以速度2v1發(fā)射的將會脫離的束縛，飛到系之解析Rv1＝gR，對近地有v1v11 v2 v1v11)以估算出地球的平均密度，B錯誤；第一宇宙速度v1是人造地球的最小發(fā)射速度，也是最大的環(huán)繞速度，Cv1＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，第三宇宙速度v3＝16.7km/s，在地球表面以速度2v1發(fā)射的，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此將繞運動，D錯誤。答 8.我國自主研制的高分辨率對地觀測系統(tǒng)包含至少7顆，分別編號為“高分分一號”，下列說法正確的是()7.9解 發(fā)射的最小速度為7.9km/s，離地面越遠，發(fā)射速度越大，所“高分一號”的發(fā)射速度大于7.9km/s，A正確；設地球的質量為M，“

的軌道半徑為，則的周期

。由于

rrT<24h，故“高分一號”不能固定在相對地面靜止的同步軌道上，B錯誤；的環(huán)繞速度 的軌r半徑，所以月球繞地球運行的線速度小于“高分一號”的線速度，C錯誤由

r3“高分一號”的周期，D錯誤答 9.(2019·三亞模擬)兩顆互不影響的行星P1、P2，各有一顆近地S1、S2繞其做勻速圓周運動。圖中縱軸表示行星周圍空間某位置的引力加速度a位置到行星中心距離r平方的倒數(shù)

5所示，S1、S2的引力

A.S1的質量比S2的 B.P1的質量比P2的C.P1的第一宇宙速度比P2的 D.P1的平均密度比P2的解 萬有引力充當向心力，故有GMm＝ma，解得a＝GM1，故圖象的斜率 ＝GMG是恒量，M故P1的質量比P2的大，由于計算過程中， 質量關系，A錯誤，B正確；因為兩 是近 ，所以其運行軌道徑可認為等于行星半徑，根據第一宇宙速度v＝gR可得v＝a0R，從題圖a0時，P2P1P1＝比P2的大，C錯誤；星球的密度ρ＝M＝M＝G ＝ P1P2的小，D答 10.(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計。則( M星∶M地 D.M星∶M地解 由速度對稱性知豎直上拋的小球在空中運動時間

＝

M

＝A正確，BGR2＝mgM＝G＝

2

M C錯誤，D答 11.位于的“中國天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠鏡(FAST)。通過FAST測得水星與的視角為θ(水星分別與觀察者的連線所夾的角)，如圖6所示。若最大視角的正弦值為k，地球和水星繞的運動視為勻速圓周 331C.C.k3（ 解 由題意可知，當觀察者和水星的連線與水星的軌道相切時，水星與r視角最大，由三角函數(shù)可得s