房山區(qū)2020屆高三一模數(shù)學(xué)試題及答案解析

房山區(qū)2020年第一次模擬檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè),150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上,在試卷上作答無(wú)效。考

試結(jié)束后,將本試卷和答題紙ー并交回。

第一部分(選擇題共40分)

ー、選擇題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

(1)復(fù)數(shù)i(3+i)=

(A)l+3i(B)-l+3i

(C)l-3i(D)-l-3i

TT

(2)函數(shù)/(x)=tan(x+—)的最小正周期為

6

兀71

(A)-(B)

32

(C)兀(D)2無(wú)

(3)已知向量。=(1,ー丄)，h=(—2,m),若。與ら共線,貝リ|み|=

(A)G(B)#)

(C)V6(D)2VI

(4)在二項(xiàng)式(l-2x)s的展開式中，ギ的系數(shù)為

(A)40(B)-40

(C)80(D)-80

(5)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+00)上單調(diào)遞減的是

(A)y=x~2(B)y=\\nx\

(C)y=27x(D)y-xsinx

某三棱的三如右所示，三棱的體

(6)錐視圖圖則該錐積為1I△)

4

(A)-(B)

3

(C)4(D)8

ミ主視圖左視圖

俯視圖

第1頁(yè)

(7)已知函數(shù)/(x)=['x>T'若/(―2)=0,且/(x)在R上單調(diào)遞增,則。的取值范圍是

bx+\,xW-L

(A)(0,2](B)(1,2]

(C)(l,+oo)(D)[2,+00)

⑻設(shè){し}是公差為d的等差數(shù)列,S?為其前n項(xiàng)和,則“d<0”是“eN*,Sn+i<S"”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(〇充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(9)已知直線/:ッ=機(jī)(x-2)+2與圓C:ズ+バ=9交于ス，B兩點(diǎn)、,則使弦長(zhǎng)|ス8|為整數(shù)的直線

/共有

(A)6條(B)7條

(C)8條(D)9條

(10)黨的十八大以來(lái),脫貧工作取得巨大成效,全國(guó)農(nóng)村貧困人口大幅減少.下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了

2012-2019年我國(guó)農(nóng)村貧困人口和農(nóng)村貧困發(fā)生率的變化情況(注:貧困發(fā)生率=貧困人數(shù)(人)

チ統(tǒng)計(jì)人數(shù)(人)xlOO%).根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,下列推斷不正確的是

口全國(guó)農(nóng)村黃困人口(萬(wàn)人)一?-全國(guó)農(nóng)村斂困發(fā)生率(%)

(A)2012-2019年，全國(guó)農(nóng)村貧困人口逐年遞減

(B)2013-2019年,全國(guó)農(nóng)村貧困發(fā)生率較上年下降最多的是2013年

(C)2012-2019年,全國(guó)農(nóng)村貧困人口數(shù)累計(jì)減少9348萬(wàn)

(D)2019年，全國(guó)各省份的農(nóng)村貧困發(fā)生率都不可能超過0.6%

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。

(11)已知集合ス={1,2,加},5={1,3,4),>105={1,3},則か=

(12)設(shè)拋物線スユ=2py經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

第2頁(yè)

(13)已知｛し｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,q=l,%=100,則｛4｝的通項(xiàng)公式し=:

設(shè)數(shù)列｛1g%｝的前n項(xiàng)和為Tn,則7；=.

(14)將函數(shù)"x)=sm(2xj)的圖象向右平移s(s＞。)個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象經(jīng)過點(diǎn)?),則s的

最小值是.

x2

(15)如果方程一+川ブ|=1所對(duì)應(yīng)的曲線與函數(shù)ツ=/(x)的圖象完全重合，那么對(duì)于函數(shù)ッ=/(x)有

4

如下結(jié)論:

①函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞減;

②ッ=/(x)的圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為1；

③函數(shù)/(x)的值域?yàn)?-*2］；

④函數(shù)ド(x)=f(x)+x有且只有一個(gè)零點(diǎn).

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

注:本題給出的結(jié)論中,有多個(gè)符合題目要求。全部選對(duì)得5分,不選或有錯(cuò)選得0分,其他得3

分。

三、解答題共6題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程。

(16)(本小題14分)

在△Z8C中,a—y/2,c—V10,.(補(bǔ)充條件)

(I)求△NBC的面積;

(II)求sin(4+8).

從①b=4,②CGSB=一旦，③sin/=典這三個(gè)條件中任選ー個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

510

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分。

(17)(本小題14分)

隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,越來(lái)越多的人習(xí)慣用手機(jī)應(yīng)用程序(簡(jiǎn)稱app)獲取新聞資訊.為了

解用戶對(duì)某款新聞?lì)恆pp的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了300名用戶,調(diào)研結(jié)果如下表:(單位:人)

青年人中年人老年人

滿意6070X

一般5525y

不滿意25510

(I)從所有參與調(diào)研的人中隨機(jī)選取1人，估計(jì)此人“不滿意”的概率;

(II)從參與調(diào)研的青年人和中年人中各隨機(jī)選取1人，估計(jì)恰有1人“滿意”的概率;

(III)現(xiàn)需從參與調(diào)研的老年人中選擇6人作進(jìn)ー步訪談,若在“滿意”、“一般”、“不滿意”的老年人中

各取2人,這種抽樣是否合理?說明理由.

第3頁(yè)

(18)(本小題14分)

如圖,在四棱錐尸ーZ8C。中,P8丄平面ス8CO,ABLBC,AD//BC,AD=2BC=2,

Z6=8C=尸8,點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).

(I)求證:CEII平面P/3；

(II)求證:ス。丄平面尸ス8；

(111)求二面角E-/Cー。的余弦值.

(19)(本小題14分)

X2v2

已知橢圓C:モ+勺=1(。＞6＞0)過ス(2,0),8(0,1)兩點(diǎn).

ab

(1)求橢圓C的方程和離心率的大小;

(II)設(shè)“，N是ヅ軸上不同的兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為倒數(shù),直線ス"與橢圓C的另ー個(gè)交點(diǎn)為尸,

直線スN與橢圓。的另ー個(gè)交點(diǎn)為。,判斷直線尸。與x軸的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(20)(本小題15分)

己知函數(shù)/(x)=2ギーax?+2.

(I)求曲線ヅ=/(x)在點(diǎn)(〇,/(〇))處的切線方程;

(II)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(III)若。＞0,設(shè)函數(shù)g(x)=|/(x)|,g(x)在［一1,1］上的最大值不小于3,求a的取值范圍.

(21)(本小題14分)

在ー個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和,形成新的數(shù)列,我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的

一次“Z拓展”.如數(shù)列1,2第1次“Z拓展”后得到數(shù)列1,3,2,第2次“Z拓展”后得到數(shù)列1,

4,3,5,2.設(shè)數(shù)列a,b,c經(jīng)過第〃次“Z拓展”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為月,所有項(xiàng)的和記為S“.

(1)求《,鳥；

(II)若月》202〇,求”的最小值；

(III)是否存在實(shí)數(shù)a,b,c,使得數(shù)列｛S“｝為等比數(shù)列?若存在，求。,b,c滿足的條件；若不存

在,說明理由.

第4頁(yè)

房山區(qū)2020年第一次模擬檢測(cè)答案

高三數(shù)學(xué)

ー、選擇題（每小題4分,共40分）

題號(hào)12345678910

答案BCBDAABDCD

二、填空題（每小題5分,共25分,有兩空的第一空3分,第二空2分）

(11)3

(12)(0,1)

(13)10-,処3

2

(14)—

12

(15)②④(注:只寫②或④得3分)

三、解答題(共6小題,共85分)

(16)(本小題14分)

解:

選擇①

(I)在△ABC中,因?yàn)椹?y/2>c=J10，b=4,

山人ケ,小鈿殂イa2+b2-c2(V2)2+4~-(VFo)2及

由余弦定理得cosC=--------------=------------戸-------=——，

2ab2xj2x42

因?yàn)镃e(0,兀),所以sinC=Jl—cos20=走

2

所以S=」absinC=Lx逝?4X也?=2"

222

(II)在△ZBC中,A+B^n-C.

所以sin(Z+8)=sinC=.

選擇②

(I)因?yàn)閏os8=-^^，8e(0,兀),所以sin8=S—cos?6=

55

因?yàn)?=后,c=V10,所以S=Lacsin3=Lx后xJidx述=2

225

(II)因?yàn)閍=0,c=V10,cos8=一正，

第5頁(yè)

由ピ=q2+c2-24ccos8，得ガ=(72)2+(710)2-2xx710x(--)=16，

解得b=4,

由丄=-^,解得sinC=也,

sinBsinC2

在△/3C中，4+8=兀ー。,sin(?l+5)=sinC-

選擇③

依題意,ス為銳角,由sin/=得cos4=Jl—sin?4=

1010

在△ABC中,因?yàn)?二^2?c—Vw9cosA=3^^,

10

由余弦定理ガ=ガ+。2一2^COSN,得(0)2=〃+(Ji?)2—2x而"xヨ叵b

10

解得6=2或b=4

(I)當(dāng)b=2時(shí),S=—ftcsin^-—x2xVlO^x1.

2210

當(dāng)b=4時(shí),S=—bcs\r\A=—x4xVlO^x—―=2-

2210

(II)由。=>/^",c=Vlo,sinA=---,---=-----,得sinC=—

10sinAsinC2

在△Z8C中,A+B=ii-C,sin(/+8)=sinC=---

(17)(本小題14分)

解:

(I)從所有參與調(diào)研的人共有300人,不滿意的人數(shù)是25+5+10=40

記事件ハ為“從所有參與調(diào)研的人中隨機(jī)選取1人此人不滿意”,則所求概率為

(11)記事件"為“從參與調(diào)研的青年人中隨機(jī)選取1人,此人滿意”,則尸(加尸図■=ゴ;

1407

記事件N為“從參與調(diào)研的中年人中隨機(jī)選取1人,此人滿意”,則P(N尸ユ=丄;

10010

則“從參與調(diào)研的青年人和中年人各隨機(jī)選取1人,恰有1人滿意”的概率為

第6頁(yè)

———————373737

P(MN+MN)=P(M)?P(N)+P(M)?P(N)=ラx(l—5)+(1ーテ)x—=—

(III)這種抽樣不合理。

理由:參與調(diào)研的60名老年人中不滿意的人數(shù)為20,滿意和一般的總?cè)藬?shù)為x+y=50,說明滿

意度之間存在較大差異，所以從三種態(tài)度的老年中各取2人不合理。合理的抽樣方法是采用分層抽

樣，根據(jù)x,ッ,10的具體數(shù)值來(lái)確定抽樣數(shù)值。

(18)(本小題14分)

證明:

(I)取Pス中點(diǎn)ド，連接所,BF,因?yàn)镋為尸い中點(diǎn),F為PA中點(diǎn)、,

所以EF//4D,且Eド=丄ス。

2

又因?yàn)锽C//4D,且8C=丄ス。

2

所以EF//BC,且EF=BC

所以四邊形BCEド為平行四邊形，

所以CE//BF,

因?yàn)镃Eに平面PAB,BFu平面PAB

所以CE〃平面PZ6.

(II)因?yàn)槭?丄平面NBC。，/Ou平面ス8C。

所以P8丄ス。

又因?yàn)锳B丄BC,4D〃BC

所以スO丄48,

又ABCPB=B,AB、P8u平面尸ス6

所以スハ丄平面R48.

(III)因?yàn)槭?丄平面NBCD,AB、BCu平面48CZ)

所以PB丄んB,PB丄BC,又AB丄BC,

以8為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系3ー種，

5(0,0,0),尸(0,0,1),4(0,1,0),C(l,0,0),夙1二,1)

—■―?—11

所以8尸=(0,0,1),ZC=(1,T,〇),CE=(Oララ)

已知平面ACD的一個(gè)法向量BP=(0,0,1)；

設(shè)平面力”的法向量〃=(x,ア,z),則

第7頁(yè)

x-y=O

れ?AC=0

,即<11,令ス=1,則ッ=l,z=T；

n?CE=0—y+—z=0

[22

所以平面ACE的ー個(gè)法向量為〃=（1,1,—1）

———BP?れ=一直

所以cos<BP,n>=.__..

H卜一3

昱

由圖可知二面角￡—/Cーハ為銳角,所以二面角E-ZC-O的余弦值為

（19）（本小題14分）

x2,

解:（I）依題意得。=2,b=l,所以橢圓C的方程為一+ザ=1

4-

c-y/a2—b2—V3,離心率的大小e=—=^—

a2

（II）因?yàn)楗雈,N是ヅ軸上不同的兩點(diǎn),兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為倒數(shù),

設(shè)A/,N坐標(biāo)為（〇,〃り,（。,〃），則〃=丄,根エ〇,〃H0

m

m

由ス（2,0）,"（〇,〃?）得直線スM的方程為ヅ=——x+m

一2

X22,

—+V=1

4.

m

y=——x+m

整理得（加2+1）ザ-2my=0或（加ユ+l）x2-4m2x+4m2-4=0

得交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為井=エ]

2.—

2m

同理交點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為ヅ0=-=—：~進(jìn)—=--

〃ー+1（丄ア+]m-+\

m

所以弘＞=ツ0エ0,直線P0與x軸平行

解法二:

設(shè)直線AM的方程為x=ル+2。H0）,直線スN的方程為x=$ッ+2（sH0）

第8頁(yè)

令X=O得ケ”=一2,M坐標(biāo)為（0,二）,同理N坐標(biāo)為（0,二ユ）

tS

因?yàn)?，N是ヅ軸上不同的兩點(diǎn),兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為倒數(shù),所以s/=4

げ2I

—+V=1

4-

x-ty+2

整理得。2+4）ザ+4卬=0或（12+4）x2-16x+16-4z2=0

得交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為ル,=二竺

,-4型

同理得ッ。""百スF

t

所以%>=ッ。。〇,直線尸。與X軸平行?

解法三:

設(shè)直線エ用的方程為ヅ=ム。ー2）,ムア〇,直線/N的方程為ヅ=&&一2）,あア。

令x=0得/坐標(biāo)為（0,-2ム）,同理N坐標(biāo)為（0,-2左2）

因?yàn)椤埃琋是ヅ軸上不同的兩點(diǎn),兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為倒數(shù),所以4ム&=1

.ピ2_i

代入橢圓方程得14’ノ

y=kx（x-2）

（4婷+l）x2—16婷x+16k；—4=0或（4ム2+リザ+必び=〇

2ケ國(guó)二所以“ヤ

4ムユ+14左ユ+1

得交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP=k}-（典二2-2）=二的ー

4ム2+14婷+1

同理得ッ。

4ん2)+14(—)2+1

4ムノ

所以%>=ッ2マ0,直線P0與x軸平行.

第9頁(yè)

(20)(本小題15分)

解:(I)f\x)=6x2-2ax

由/(0)=0,/(0)=2,得

曲線ヅ=/(x)在點(diǎn)(〇,/(〇))處的切線方程為ヅ=2

(II)定義域?yàn)镽，/'(x)=6x?-2ax=2x(3xー。)

令/'3=0,解得項(xiàng)=〇,ち=ヨ

若。=0,f'(x)=6x2>0,/(x)在R上單調(diào)遞增:

若?！?,在(ー哂。)上,f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增,在(0,會(huì)上,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

在［J,+oo)上，/'(x)>0,/*)單調(diào)遞增;

若。<0,t〇〇,ミ)上,/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,在(三,0)上,.，(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

在(0,+00)上,/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

(HI)若〇〉〇,函數(shù)/'(x)的單調(diào)減區(qū)間為10,?)單調(diào)遞增區(qū)間為(一00,0),(三,+oo］

當(dāng)りN1時(shí),即423,由(H)知，/(x)在［—1,0］上單調(diào)遞增,在［0,1］上單調(diào)遞減,

則g(x)_=max｛け(-1)|,|/(0)|,|/(I)|｝=max｛。,2,|4ー。|｝>3

當(dāng)り<1時(shí),即〇<a<3,/(X)在［—1,0］和口,1］上單調(diào)遞增,在［〇,馬上單調(diào)遞減，

/(X)在x=ヨ處取得極小值型)=2ーグ>0

則g(x)皿=max｛け(-1)|,|/(0)|,|/(I)||=max-,2,4ー研,

若g(x)3xN3，