復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則第1頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三則定理2.5

若(1)(2)若B≠0,則有(3)一、極限的四則運(yùn)算法則第2頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三證時(shí),有取則當(dāng)時(shí),有當(dāng)(1)由可知使得當(dāng)時(shí),有因此第3頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三(2)使得

由

及定理2.2

知，

及

及第4頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三有

又由

知,使得當(dāng)取則對(duì)于上述>0,有/2C因此時(shí),有當(dāng)其中第5頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三(3)

由

及定理2.2知，

及使得當(dāng)時(shí),有由于

及所以由(2),需證當(dāng)B≠0時(shí)因此從而(3)式成立.第6頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三若則有注運(yùn)算法則,有相應(yīng)的結(jié)論.及x→∞時(shí)函數(shù)極限的四則例如,對(duì)于數(shù)列極限,對(duì)于數(shù)列極限有以下結(jié)論:數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此結(jié)論可由定理2.5直接得出.第7頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三(極限運(yùn)算的線性性質(zhì))

若

以上運(yùn)算法則對(duì)有限個(gè)函數(shù)成立.推論和μ是常數(shù)，則

于是有——冪的極限等于極限的冪第8頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三求

解例1極限運(yùn)算的線性性質(zhì)結(jié)論：

冪的極限等于極限的冪第9頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三解例2商的極限等于極限的商第10頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三一般地，

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,注若不能直接用商的運(yùn)算法則.請(qǐng)看下例:結(jié)論：

第11頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三解商的極限法則不能直接用例3由極限定義x→1，x≠1,

約去無窮小因子法第12頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三“抓大頭”分析可以先用x3同時(shí)去除分子和分母,然后再取極限.例4解第13頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論：為非負(fù)常數(shù))消去無窮大因子法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以消去無窮大因子,然后再求極限.第14頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例5解分析型，先通分，再用極限法則.第15頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例6解無窮多項(xiàng)和的極限公式求和變?yōu)橛邢揄?xiàng)第16頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三定理證(有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小)則第17頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例如，=0第18頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理2.6設(shè)當(dāng)時(shí),又則有①注1°定理2.6中的條件：不可少.否則，定理2.6的結(jié)論不一定成立.原因：第19頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三反例雖然所以第20頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三則2°定理2.6的其他形式(1)(2)則有第21頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三由定理2.6，知在求復(fù)合函數(shù)極限時(shí),可以作變量代換，得到且代換是雙向的，即第22頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例7求解

令于是從而原式=從左向右用①式①第23頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)極限四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去零因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法：設(shè)中間變量，變量代換.或先有理化后約分第24頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1.在自變量的某個(gè)極限過程中，若存在，不存在，那么(1)是否一定不存在？為什么?(2)是否一定不存在？(3)又加條件：是否一定不存在？思考題2.第25頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三答：

一定不存在．由極限運(yùn)算法則可知：必存在，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．思考題解答(1)是否一定不存在？為什么?1.在自變量的某個(gè)極限過程中，若存在，不存在，那么第26頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三答：不一定.反例：①②(2)是否一定不存在？1.在自變量的某個(gè)極限過程中，若存在，不存在，那么第27頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三答：一定不存在.（可用反證法證明）(3)又加條件：是否一定不存在？1.在自變量的某個(gè)極限過程中，若存在，不存在，那么2.解原式第28頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三備用題

例3-1解先有理化再約去無窮小

第29頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例3-2解因?yàn)樯鲜綐O限存在第30頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三第31頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三解可以先用同時(shí)去除分子和分母,然后再取極限.例4-1第32頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例4-2解根據(jù)前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項(xiàng)式,且求故第33頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例5-1已知試確定常數(shù)解∵∴分子的次數(shù)必比分母的次數(shù)低故即第34頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三