LMI工具箱介紹 程五彬

利用MATLABLMI工具計(jì)算保持線性系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時(shí)滯

0引言

線性矩陣不等式(LMI)工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個(gè)高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式，使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個(gè)線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行數(shù)值求解。

LMI工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于：1.以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；2.獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息；3.修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；4.求解三個(gè)一般的線性矩陣不等式問題；5.驗(yàn)證結(jié)果。1LMI與H∝魯棒控制問題

許多有關(guān)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的問題都可歸結(jié)為L(zhǎng)MI方程的求解，下面舉例進(jìn)行介紹。在論文《改進(jìn)的Markov切換系統(tǒng)區(qū)間時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性與H∞分析》(趙旭東編寫)中的定理1主要內(nèi)容如下：已知時(shí)滯馬爾可夫切換系統(tǒng)

給定常數(shù)h1、h2,對(duì)任意時(shí)滯d(t)，上述系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的。如果存在n×n階矩陣Pi>0，Q1i>0，Q2i>0，Q3i>0，Ri>0，Si>0，Ti>0，Z1>0，Z2>0，Q1>0，Q2>0，Q3>0,Lki，Mki，Nki，Hki，k=1,...,5，使得對(duì)任意i=1,...,N，以下矩陣不等式成立，即為證明定理1中結(jié)果具有較低的保守性，考慮以下算例。考慮以上具有兩模態(tài)的時(shí)滯馬爾可夫跳躍系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)如下：為了將定理1中結(jié)果與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果進(jìn)行比較，首先設(shè)定h1=0，u11=-0.1，u22=-0.8，對(duì)于給定u值，滿足式(4)～(8)的最大時(shí)滯h2可以通過求quasi凸優(yōu)化問題得到。表1給出了比較結(jié)果。2Matlab中的LMI工具箱確定LMI系統(tǒng)的函數(shù)a.(1)setlmis([])或者setlmis(lmi0)在通過lmivar以及l(fā)miterm描述一個(gè)LMI系統(tǒng)之前，利用setlmis初始化其內(nèi)部表示。為一個(gè)已經(jīng)存在的LMI系統(tǒng)中添加新描述，使用后者，其中l(wèi)mi0表示已存在的LMI系統(tǒng)，之后的lmivar和lmiterm被用來在lmi0中添加新的變量和項(xiàng)。b.[x,ndec,xdec]=lmivar(type,struct)為L(zhǎng)MI問題定義矩陣變量，其中type和struct是描述該矩陣變量的必須參數(shù)。type確定變量X的類型，struct描述變量X的內(nèi)容。type=1：此時(shí)X是具有塊對(duì)角化對(duì)稱矩陣。X對(duì)角線上的每一個(gè)矩陣Di必須是方陣，注意標(biāo)量也1×1的方陣。此時(shí)的矩陣變量X大體結(jié)果如下：如果X具有n個(gè)對(duì)角塊，那么struct是一個(gè)n×2的矩陣：m=struct(i,1)表示第i個(gè)方陣(Di)的大小，比如Di是5×5的方陣，則struct(i,1)=5n=struct(i,2)表示Di的內(nèi)容，n=-1表示Di是零矩陣，n=0表示數(shù)量矩陣，n=1表示滿的對(duì)稱矩陣(或無結(jié)構(gòu)的對(duì)稱矩陣)。type=2：表示X是一個(gè)m×n的長(zhǎng)方形矩陣，此時(shí)struct=[m,n]，很簡(jiǎn)單。type=3：表示其他結(jié)構(gòu)，一般用于復(fù)雜的LMI系統(tǒng)，正常情況使用的比較少，此時(shí)若X(i,j)=0，struct(i,j)=0，若X(i,j)=xk則struct(i,j)=k，若X(i,j)=-xk則struct(i,j)=-k，其中xk表示第k個(gè)決策變量。舉個(gè)例子說明下，考慮有3個(gè)矩陣變量的LMI系統(tǒng)，其中X1是3×3的對(duì)稱矩陣，X2是2×4的矩陣，X3具有下面的形式其中Δ是一軍個(gè)任或意的5×崗5的對(duì)研稱矩泡陣，δ1和δ2是標(biāo)凳量，I2是2×桌2的單撒位矩奇陣，堆利用lm致iv問ar定義柱上述紹三個(gè)嶄矩陣傲變量鴉如下給：%%定義X1X1=l升mi預(yù)va洋r(演1,滴[3帆,1咬])促;%%定義X2X2=l囑mi嬸va矩r(匹2,盛[2值,4床])輪;%%定義X3X3=l鏈mi象va逗r(曲1,冷[5葬1唯;1烈,0爹,2蹲,0賀])覆;%注意娛此時(shí)華的X3冷(3桶,3嬌)是算尊標(biāo)量豈的，譜原因免有二營(yíng)：一披是它愉不滿封也不敘全為社零，憤二是翼只需撕要δ2一個(gè)均數(shù)據(jù)晃即可世確定鳥。c.lm預(yù)it引ag=ne辣wl舞mi功能袋：增姐加新讀的LM介I到當(dāng)裕前描條述的LM吸I系統(tǒng)混中，付并給槍予其族標(biāo)識(shí)心號(hào)lm偽it吃ag。輸發(fā)出：lm面it披ag：新米的LM槍I的標(biāo)圣識(shí)號(hào)唐。d.lm犁it生er嘩m(獵te媽rm置ID忠,A跑,B汁,f鈴la竭g)確定LM腦I中每友一項(xiàng)鄭的內(nèi)筍容，等包括基內(nèi)外織因子團(tuán)、常昨數(shù)項(xiàng)農(nóng)以及撇變量捕項(xiàng)。米需要畝注意咳的是受，在榮描述竹一個(gè)換具有袖分塊聚對(duì)稱何的LM枯I時(shí)，債只需腹要確庫定右階上角尿或者逮左下拍角即論可，柜其它左項(xiàng)的跡內(nèi)容枝可以爺根據(jù)焦線性孔矩陣籍不等終式的仍對(duì)稱傍性得粉到。下面別結(jié)合輛例子侄來介悟紹，推考慮LM圖I，給鈴出這克個(gè)LM畝I的描殼述買：其中奴，X1和X2分別漏是ty縫pe洋=2和ty瞧pe顧=1的矩甩陣變別量，x3是一搶個(gè)標(biāo)夜量(再次歡說明蔽，Ma螺tl春ab將標(biāo)雞量視閘為1×1的對(duì)辣稱矩堤陣)%確定LM支I左邊蔥的項(xiàng)(即不醬等號(hào)雅較小溉的那先邊，貝再次箭強(qiáng)調(diào))，還租有記狠住只稀要描肆述一夢(mèng)半即付可lm晴it桐ag=ne披wl事milm丙it篩er伸m(圾[lm飼it鑼ag1諸1在X2斑],葉2*狠A,完A’);lm侄it仇er撫m(剛[lm仿it胸ag1裂1砌x3餃],舍-1公,E鏡);lm范it渣er曠m(男[lm別it液ag1臟1亂0]濕,D吸*D’);lm廉it消er拳m(爆[lm形it鼠ag2秘1-奧X1恩],字1,擦B)還;lm偏it號(hào)er扔m(恩[lm升it魯ag2宋2率0]火,-織I)況;%同理男描述捆右邊月的項(xiàng)毛，注卻意零秧矩陣歲可以鑒不描壤述。lm餡it拾er某m([澇-lm扶it牛ag0沃0賭0]姐,M稿);充%描述LM炭I右邊豈的外由因子lm侄it化er京m([幅-lm臘it洞ag1肯1澤X1而],陶C,碧C’,’s’);lm濤it櫻er覽m([鑼-lm換it鳳ag2貧2延X2沃],留-f宿,1貞)e.lm耽is路ys=ge盯tl細(xì)mi妄s功能任：如杠果LM嶼I系統(tǒng)放已經(jīng)坊用lm攤iv要ar和lm蝦it映er努m進(jìn)行泄了完存整描此述，晉則通增過ge微tl克mi盤s獲取容當(dāng)前LM弟I系統(tǒng)勇的內(nèi)偏部描屑述，侮注意喝這個(gè)膨命令乘是必殘須的印。f.雅[tm學(xué)in,xf俱ea謙s]尾=fe烤as肝p(lm錦is，op鞠ti圣on刃s，ta幫rg違et稍)功能夜：求計(jì)解LM生I系統(tǒng)叔定義抵的線裕性矩狗陣不賤等式副約束薪條件有問題壤的可格解性穩(wěn)。如殃果問皮題是?？山庾鸬模簞t輸雹出xf梯ea央s將是利待