Noi初賽問(wèn)題求解專題

LET’SMAKETHINGSSIMPLEANDCOOL從離散數(shù)學(xué)

解析

問(wèn)題求解——ByDirak嵊州市城關(guān)中學(xué)宋子健CONTEST一覽SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA2目標(biāo)排列組合和基礎(chǔ)原理：排列，組合，鴿巢，容斥淺談常見(jiàn)模型：Catalan，全錯(cuò)位數(shù)學(xué)建模：排序問(wèn)題演練：習(xí)題CombinatorialSIMPLEANDCOOL離散數(shù)學(xué)3WWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA名詞解釋：離散數(shù)學(xué)即組合數(shù)學(xué)，一般研究圖論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、數(shù)理邏輯等離散對(duì)象，所謂離散即不連續(xù)。排列數(shù)P(n,m)：從n個(gè)數(shù)中取m個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，所可能取得的情況種數(shù)。計(jì)算公式：引申：m個(gè)數(shù)的全排列種數(shù)為m！組合數(shù)C(n,m)：從n個(gè)數(shù)中取m個(gè)數(shù)所可能的情況種數(shù)計(jì)算公式：引申：C(n,m)=c(n,n-m)4離散數(shù)學(xué)CombinatorialWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINASIMPLEANDCOOL容斥原理

用韋恩圖表示為右圖。A、B、C為三個(gè)獨(dú)立的集合，得：即：將所有元素合并，再去掉重復(fù)計(jì)算的部分，即為總共的元素個(gè)數(shù)。Combinatorial鴿巢原理也稱抽屜原理。有n個(gè)鴿巢和(kn+1)只鴿子，將鴿子放進(jìn)鴿巢，則至少有一個(gè)鴿巢有(k+1)只及以上的鴿子?？捎梅醋C法證明。實(shí)際問(wèn)題中的鴿子和鴿巢往往要抽象得多，常需要根據(jù)題意自己構(gòu)造。SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA5離散數(shù)學(xué)WWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINACatalan數(shù)

設(shè)有一(n+2)邊形（只考慮凸多邊形），則可以畫出(n-1)條不相交的對(duì)角線將其分割成n個(gè)三角形，設(shè)所有可能的情況種數(shù)為，且定義。

先以一條邊為底邊，顯然該邊所在的三角形會(huì)把n邊形分成兩個(gè)部分（如圖是一種可能的情況），設(shè)左邊有(k+2)條邊，則右邊有(n+2)-(k+2)-1=(n-k-1)條邊。

根據(jù)乘法原理，這樣可能的情況數(shù)為

由于k的大小可以從0變化到n-1，∴得：

6常見(jiàn)模型MODELSIMPLEANDCOOLMODEL數(shù)列即著名的Catalan數(shù)列。用生成函數(shù)的知識(shí)可得它的通項(xiàng)公式：常見(jiàn)Catalan應(yīng)用：由1和-1各n個(gè)組成的數(shù)列滿足對(duì)于任一正整數(shù)k,該數(shù)列可能種數(shù)n個(gè)元素的出棧順序可能數(shù)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)可能形態(tài)數(shù)……

SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA78常見(jiàn)模型MODELSIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA全錯(cuò)位排列

有1~n號(hào)信箱和1~n號(hào)郵件，每一封郵件都沒(méi)有放進(jìn)所對(duì)應(yīng)的信箱，求放郵件的可能情況種數(shù)。利用容斥原理：

得通項(xiàng)公式：利用遞推法：MATHMODELING【例1】對(duì)于一個(gè)有5個(gè)元素的數(shù)組，最少需要幾次比較才能保證數(shù)組有序？【答案】

7次【分析】

由于原題的解析太(看)繁(不)瑣(懂)，我們引入決策樹(shù)的概念來(lái)解決題目。我們對(duì)元素進(jìn)行比較時(shí)只有兩個(gè)結(jié)果：a>=b或a<b,由此根據(jù)兩個(gè)結(jié)果引發(fā)兩種不同的決策，因此該決策樹(shù)是二叉樹(shù)。因?yàn)橛?個(gè)元素，最后排列結(jié)果有5！=120種，即該決策樹(shù)有120個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，因?yàn)槿~子節(jié)點(diǎn)的深度就是所需的比較次數(shù)，而120>2^6，因此深度為6次或更少的決策樹(shù)葉子節(jié)點(diǎn)沒(méi)有120個(gè)，不能確定排列順序。故答案為7次。

對(duì)于n個(gè)元素的排列，需要比較次數(shù)學(xué)建模SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA9MA孟TH吹M嶄OD拖EL何IN杯G【例示2】將數(shù)鑼組{委8,盡23蹈,4克,1醬6,的77澆,-鑒5,斧53榜,1蛇00亮}中書(shū)的元鼓素從肆小到該大排神列，央至少巖需要交換擋幾次寧？【答幣案】5次【分同析】排列秧后的獨(dú)數(shù)組藏為{辭-5孩,4刑,8紅,1抱6,濤23料,5朽3,并77蟻,1貝00披}。答發(fā)現(xiàn)蹦元素限位置甩的變訓(xùn)化如疫圖：SI輩MP喘LEAN海DCO男OLWW咬W.SB凱JS熄HW獄K.C我OM外|霜|虹+18孔13篩57蕩11呼45|OY抄SBST歷RE井ET親1卡23舞45仍,OY造SB娃I客S們MA鏟DE奶I安N銜CH達(dá)IN符A10數(shù)學(xué)現(xiàn)建模11數(shù)學(xué)開(kāi)建模MA酒TH泰M持OD閥EL伙IN慢GSI亂MP鞋LEAN浪DCO萄OLWW透W.SB沉JS伍HW鋒K.C床OM促|(zhì)金|瞞+18朽13肆57但11搭45|OY恐SBST電RE顏ET更1浪23稀45誦,OY伏SB辦I掌S母MA惰DE丘I勤N駐CH拉IN扮A我們米畫一新個(gè)有壺向圖銳，從淡初始栗狀態(tài)啦位置塊上的竊數(shù)向吳排列嗓后位依置上報(bào)的數(shù)卸引一英條有址向邊鳥(niǎo)。發(fā)現(xiàn)歪形成貞了幾拉個(gè)環(huán)射（包儲(chǔ)括自驕指的波節(jié)點(diǎn)便）。遵如果辜要在習(xí)最少搜次數(shù)優(yōu)內(nèi)排脫序，慮顯然陡兩個(gè)寄環(huán)中率的元素貴交換懶位置烈是沒(méi)逝有意惠義的繩（因火為肯富定還摩要換冠回來(lái)京），花因此垂只需益要將眨各個(gè)陡環(huán)交委換好癢順序即稱可。撈顯然斜一個(gè)柔包含引k個(gè)忽元素啟的環(huán)誕排序橫需要孟交換處(k泛-1捎)次傅，所肌以總金共要奔交換碧5次通。對(duì)于煩N個(gè)賠元素升的數(shù)先組，宏設(shè)形惕成n牧個(gè)環(huán)朝，第扛i個(gè)隆環(huán)有恐k[繭i]嗽個(gè)元鋼素。派則需欠要交抄換：(k宋[1田]-輔1)橫+(憐k[行2]店-1素)+賤…+兵(k鹽[n繳]-贈(zèng)1)堆=N抹-n稿次亂。EX缸PE柳RI妖EN序CE撒經(jīng)核驗(yàn)WW創(chuàng)W.SB德JS茂HW櫻K.C艙OM狐|壞|趨+18該13刺57年11勸45|OY迎SBST珍RE脫ET辨1什23專45殺,OY紡SB咳I意S辜MA鞋DE釋I幣N間CH罰IN檔ASI怨MP哪LEAN恰DCO如OL12EX奏ER拆SI捐CESI表MP廉LEAN柜DCO俊OLWW采W.SB天JS池HW陶K.C穗OM傍|繪|途+18哪13蒜57疼11長(zhǎng)45|OY怪SBST笨RE陜ET劇1繁23旱45詢,OY烈SB慘I饞S客MA珠DE竹I憶N濤CH吧IN類A習(xí)題13在圓徒周上態(tài)有7注個(gè)點(diǎn)增，在呀任兩陪個(gè)點(diǎn)扎之間疲連一持條弦頭，假涂設(shè)任窯三條底弦不錘交于紅一點(diǎn)辛。問(wèn)千把7文邊形桌分成友幾個(gè)泄三角乘形定義嗽字符浪串的門基本笨操作走為：蛾刪除吩一個(gè)浸字符始、插離入一刪個(gè)字?jǐn)胤头瓕⒁荒簜€(gè)字沉符修麗改成另一吉個(gè)字獻(xiàn)符這耀三種貌操作懷。將宵字符穿串鴉A丟變成偶字符著串肚B習(xí)的最樂(lè)少操州作步毀數(shù)，啊稱為銜字符串境A數(shù)到煙字符猛串泰B互的編古輯距舊離。嶼字符醒串"叢AB筆CD即EF慨G"搖到字怖符串憲"B臟AD險(xiǎn)EC筒G"雜的編輯曲距離賺為_(kāi)粉__切__賽__售_。II咐I.懶在凝N繼OI御期驅(qū)間，棍主辦乏單位離為了罰歡迎危來(lái)自幸全國(guó)剝各地禾的選艦手，至舉行耐了盛更大的筑晚宴碼。在強(qiáng)第十御八桌窄，有棕5違名她大陸樸選手巧和終5劇名港贈(zèng)澳選迷手共涂同進(jìn)秀膳。棚為了察增進(jìn)袍交流旺，他托們決憐定相盼隔就欣坐，智即每屈個(gè)大遣陸選蝴手左這右相浴鄰的遭都是黃港澳喪選手細(xì)、每勝個(gè)港盼澳選降手左恒右相頂鄰的那都是嘗大陸倦選手充。那您么，秘這一遵桌共狹有_羞_(dá)_展__宗__張__排種不顯同的奶就坐邊方案券。注督意：豎如果丸在兩步個(gè)方障案中嗚，每磁個(gè)選啞手左吊邊相粒鄰的林選手扁均相叉同，羊則視善為同聽(tīng)一個(gè)倦方案冒。IV努.議現(xiàn)有美80融枚硬蘭幣，艦其中釣有一植枚假挽幣，炕重量舌較輕漂，給獄你一覺(jué)個(gè)天絹平，找最少腹需要遙稱量捕幾次懂才能浴找出沾假幣織？14送學(xué)納習(xí)資沙料哦旬，祝蓮早日順轉(zhuǎn)V每ij魔os剛/C另++↓↓挽↓↓扔↓↓SI舟MP支LEAN湯DCO速OLWW奇W.SB偽JS霞HW敬K.C姓