利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

關(guān)于利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性第1頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三（4）.對數(shù)函數(shù)的導數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導數(shù):

（3）.三角函數(shù)：

（1）.常函數(shù)：(C)/

0,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：

(xn)/

nxn1一復習回顧：1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式第2頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三2.導數(shù)的運算法則（1）函數(shù)的和或差的導數(shù)

(u±v)/＝u/±v/.

（3）．函數(shù)的商的導數(shù)（）

/=(v≠0)。（2）．函數(shù)的積的導數(shù)

(uv)/＝u/v+v/u.第3頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三定理設函數(shù)y=f(u)，u=(x)均可導，則復合函數(shù)y=f((x))也可導.且或或復合函數(shù)的求導法則即：因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)第4頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三3.

函數(shù)的單調(diào)性:

對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的增函數(shù).對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的減函數(shù).第5頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三二、新課講解:

我們已經(jīng)知道,曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導數(shù).從函數(shù)y=x2-4x+3的圖像可以看到:

yxo11－1

在區(qū)間(2,+∞)內(nèi),切線的斜率為正,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),即>0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)為增函數(shù).

在區(qū)間(-∞,2)內(nèi),切線的斜率為負,函數(shù)y=f(x)是減函數(shù),即<0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,2)內(nèi)為減函數(shù).2mn2第6頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則：1．如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f’(x)>0，則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù)，(a，b)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間；2．如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f’(x)<0，則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù)，(a，b)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間；若在某個區(qū)間內(nèi)恒有則為常數(shù)第7頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例1．如圖，設有圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O點勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，它的圖象大致是下列四種情況中的哪一種？D第8頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：由于是勻速旋轉(zhuǎn)，陰影部分的面積S(t)開始和最后時段緩慢增加，中間時段S增速快，圖A表示S的增速是常數(shù)，與實際不符，圖A應否定；圖B表示最后時段S的增速快，也與實際不符，圖B也應否定；圖C表示開始時段與最后時段S的增速快，也與實際不符，圖C也應否定；圖D表示開始與結(jié)束時段，S的增速慢，中間的時段增速快，符合實際，應選D。第9頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例2．確定函數(shù)f(x)=x2－2x+4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).解：f’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴當x∈(1，+∞)時，f’(x)＞0，

f(x)是增函數(shù).令2x－2＜0，解得x＜1.∴當x∈(－∞，1)時，f’(x)＜0，

f(x)是減函數(shù).第10頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例3:討論f(x)=x3-6x2+9x-3的單調(diào)性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,當或時,f(x)是增函數(shù).令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,當時,f(x)是減函數(shù).第11頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(1,3)內(nèi)是減函數(shù).10331yx而我們可以從右邊的函數(shù)的圖象看到上面的結(jié)論是正確的.（一）利用導數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1):求導數(shù)(2)解不等式>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.第12頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例4．證明函數(shù)f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù).證明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，∵x>0，∴x2>0，∴－＜0.即f’(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù).第13頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例5．求函數(shù)y=x2(1－x)3的單調(diào)區(qū)間.解：y’=[x2(1－x)3]’=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2[2(1－x)－3x]=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.∴y=x2(1－x)3的單調(diào)增區(qū)間是(0，)第14頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三

令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵x=1為拐點，∴y=x2(1－x)3的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)，(，+∞)第15頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三練習題1．函數(shù)y=3x－x3的單調(diào)增區(qū)間是(

)(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C第16頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三2．設f(x)=x＋(x<0)，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)C第17頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三3．函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0，1)上是(

)(A)單調(diào)增函數(shù)(B)單調(diào)減函數(shù)(C)在(0,)上是減函數(shù)，在(,1)上是增函數(shù)(D)在(,1)上是減函數(shù)，在(0,)上是增函數(shù)C第18頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三4．函數(shù)y=x2(x+3)的減區(qū)間是

，增區(qū)間是.(－2，0)(－∞，－2)及(0，+∞)5．函數(shù)f(x)=cos2x的單調(diào)區(qū)間是

.(kπ,kπ+),k∈Z第19頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三6．函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間是

.(0，1)7．證明：函數(shù)f(x)=ln(cosx)在區(qū)間(－,0)上是增函數(shù)。證明：f’(x)=(cosx)’=－tanx.當x∈(－,0)時,－tanx>0,即f’(x)>0,∴函數(shù)f(x)=ln(cosx)在區(qū)間(－,0)上是增函數(shù)。第20頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三8．當x>1時，證明不等式：證明：設f(x)=顯然，f(x)在[1，∞)上連續(xù)，且f(1)=0．f’(x)=∵x>1,∴>0，于是f’(x)>0.

故f(x)是[1，+∞)上的增函數(shù)，應有：當x>1時，f(x)>f(1)=0，

即當x>1時，第21頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三五、小結(jié):1.在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先要確定函數(shù)