分離變量法的應(yīng)用

關(guān)于分離變量法的應(yīng)用第1頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三1非齊次邊界條件的處理：第2頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三2思考題非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問(wèn)題應(yīng)該如何求解？第3頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三3三維形式的直角坐標(biāo)分離變量以三維空間中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例，考慮齊次泛定方程：考慮如下形式的解：代入方程可得：第4頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三4這樣得到如下兩個(gè)微分方程：第二個(gè)微分方程可以進(jìn)一步分離變量，令：代入方程中整理可得：第5頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三5分析易得：時(shí)間部分的解為：空間部分（滿足邊界條件要求）的解通常為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。因此，三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題的完整解為：第6頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三6例8.5求解下列定解問(wèn)題：第7頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三7求解本征值問(wèn)題可得：第8頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三8相應(yīng)地，這時(shí)，有：同時(shí)可求出T：構(gòu)造特解并疊加得到：第9頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三9代入初始條件可得：故定解問(wèn)題：的解為：第10頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三10在利用分離變量法求解定解問(wèn)題的時(shí)候，對(duì)方程和邊界條件都要進(jìn)行變量分離。一般而言，能否應(yīng)用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，還和所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)系。這個(gè)時(shí)候要根據(jù)邊界情況來(lái)選取合適的坐標(biāo)系。在進(jìn)一步討論之前，我們引入正交曲線坐標(biāo)系的概念。第11頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三11例8.5

求解如下定解問(wèn)題：（P194，例4）第12頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三12正交曲線坐標(biāo)系由三族互相正交的曲面定義的坐標(biāo)系稱為正交曲線坐標(biāo)系。正交曲線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：例：柱坐標(biāo)系第13頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三13球坐標(biāo)系其他正交曲線坐標(biāo)系還有拋物柱面坐標(biāo)、橢球坐標(biāo)等。第14頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三14正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算符第15頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三15一般地，我們總可以對(duì)齊次泛定方程的時(shí)間和坐標(biāo)變量進(jìn)行分離（和坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)）?，F(xiàn)在我們就來(lái)考察在不同的正交曲線坐標(biāo)系下對(duì)Laplace方程如何進(jìn)行變量分離。第16頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三16柱坐標(biāo)系的情況第17頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三17第18頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三18第19頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三19球坐標(biāo)系的情況第20頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三20第21頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三21例8.5

求解如下定解問(wèn)題：（P194，例4）第22頁(yè)，講稿共24頁(yè)，2023年5月2日，星期三2