第一章5.1二項式定理

--§5二項式定理5.1二項式定理.．2式..．.中,項？0答二項式系數(shù)與項的系數(shù)完全是不同的兩個概念．二項式系數(shù)是指Cn，C錯誤，…,C錯誤!,它只與各項的項數(shù)有關(guān),而與,b的值無關(guān)，而項的系數(shù)是0指該項中除變量外的常數(shù)部,它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)而且也與ab的值有關(guān)．2二項n與n展開式中第r？答

n第為C，nｂｎｂ

為錯誤１.二項式定理n（a+n＝C０n+C錯誤a-１＋…＋C錯誤n－r＋…C錯誤!bn這個公式n就稱為二項式定.２．二項式定理的有關(guān)概念1式在(a＋b）n＝C錯誤!aｎ+C錯誤!n－1bC錯誤!an－2+…＋C錯誤!an－rb+Ｃ錯誤bn中，右邊的項式叫作(a＋bn的二項展開式.(2二項展式的項----ｂｂ在二項展開中,C＼ｏ＼al(r,nn－rr叫作二項展開式的通項，用示，即通項為展開式的第r＋１項.

T表＋１Ｔr+1=錯誤an-rbr(其中0≤r≤n，r∈N,n∈N+)．此公式也稱為二項展開式的通項公.Ｔ３二項式系數(shù)r在展開式,每一項Ｃ錯誤a－ｂ的系數(shù)Ｃ錯誤稱為二項式系.r要點一二項式定理的正用、逆用例1（1求３x+錯誤４的展開;2簡(１)5+５(x－）4+10－１)３1０(1２（x－)．解(1)法一(3x+錯誤!C錯誤!(3錯誤!)４C錯誤!3錯誤!3·錯誤!＋C錯誤!（2誤錯誤誤·(誤錯誤誤=81２1０8x+５4+f(12)+錯誤．法二3x＋錯誤）4＝錯誤!＝f(1２（1４+083＋５42＋121）ｆ=12＋108x＋5４+＼(１２,)+錯誤.ｆ! !（2C錯誤（x-)5＋C錯誤（－4+Ｃ錯誤１)3+C錯誤(１! !+Ｃ錯誤-1)+錯誤－1=[(－１＋1]５-1=5－1.規(guī)方法運用二式理開項式,要記準(zhǔn)開的項式對較雜的二項式，有時先化簡再展開更簡捷;要搞清楚二項展開式中的項以及該項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別．逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求,要熟悉公式的特點、項數(shù)、各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù)．----跟蹤練１(1)展開2x+錯誤6;（2)化簡:１＋２C錯誤+C錯誤…2nＣ錯誤．ｒ解(１（２＼(）錯誤）6=錯誤（2＋1６ｒ!!26Ｃ錯誤錯誤錯誤錯誤）!!26x３=643+192２+401６0＋60+f(2,2）＋1.x３x(2原式＝1２C錯誤22錯誤+…+2nC錯誤＝(1+n=3n.要點二二項展開式通項的應(yīng)用例2若(錯誤+錯誤n展開式中前三項系數(shù)等差數(shù)列,求：（1）展開中含x的一次項；２展開式中的所有有理項．解即得＝8,或n＝1（去)．誤誤誤誤令4錯誤r＝１，得r4.ｘ所以x的一為T5=C４，82-4x＝錯誤!.ｘ３(2令4－４r∈,且0≤r≤8則r＝,4,８所以含x的有理項分別為T1＝ｘ３4，T５＝錯誤x，９＝錯誤.規(guī)律方法利用二項式的通項公式求二項展開式中具有某種特征的項是關(guān)于二項式定理的一類典型題型.常見的有求二項展開式中的第項、常數(shù)項、含某字母的r次方的項等.其通常解法就是根據(jù)通項公式確定Tr1中r或．----跟蹤練2已知二項式(x2+錯誤10.１第5；)求展開式中的常數(shù)項．解(１)(2+錯誤!)10的展開式的第５項為5＝Ｃ!·6·(!4＝２設(shè)第r＋１項為常數(shù)項，ｒ則ｒ2,…，10,令0-錯誤r＝0，得r＝８，所以誤誤第項為常數(shù)項，其值錯誤.要點三二項式定理的應(yīng)用例3(1用二項式定理證明:34n＋２+521能被４除；（2)求１92除以1０0的余.(1證明＝(14-2n＋１+52+1=142n+1-Ｃ錯誤!×14２n×5C錯誤!×12n-１×2－…+Ｃ錯誤!×1４×n－C錯誤×52n+1＋2n+1=14（42n－錯誤×1４２n1×5＋錯誤×142n2×52…+C錯誤×52n).１4的被4整除,所以３42＋52n＋１能被4整．9解一91９2=(1０-992＝10０2－C12×1０091×９+2，92×１０0９0×9９２－…-C錯誤×10×991＋９92１0９9２被0求9２以0的．∵9９2＝(10-１92＝１092錯誤×1９1+C錯誤×190-…+錯誤×1０２-Ｃ錯誤×1+(１92----＝1092－錯誤×1０9１錯誤×190－…錯誤×1２－９20＋1（192－C錯誤×１01＋C錯誤×1９…＋錯誤×１02－1０００1,∴被0除數(shù)為81，即12除以0的為8．法二由９１9２＝（90＋192＝C錯誤×9０９2+Ｃ錯誤!×90９1＋…+C錯誤9０2錯誤×9+1,可知前面各項均能被100整除只有末尾兩項不能被100整除由于C錯誤×９0＋１＝８２8＝8２00８1故９92以1０0為1．規(guī)律方法利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．跟蹤演練３求證5-1被7整除.明∵51５1＝9２)１１＝C錯誤451＋C錯誤49０×2…＋C錯誤×4×250+C錯誤×251-1．∴易知除（C錯誤×251-１外各項都能７整．又２５1－1=(３）7－（7+11７-１＝C錯誤×７１7錯誤×7+…+C錯誤×7＋C錯誤1＝７(Ｃ錯誤７1６＋錯誤715+…+C錯誤),顯然被7整除，所以(5１51-１)除.1．(1+24=b錯誤(a，b為有理)，則a＋b等( )A．33．29 C．２3 Ｄ1９答案B----解析∵(1+r（２)）4=1＋錯誤+12＋８錯誤＋=1712錯誤=a+b錯誤,又∵a，b為有理數(shù),∴a＝17,b＝1２.∴a＋2９.在(1－x5－(1－)6的中,含3的項數(shù)（)A．５B5Ｃ.-１０D．10答案D!解析1－5中3數(shù)Ｃ錯誤=0（1-６中3誤-1）!3=２0,（1-5-(1－x6的中3為.3３.（2x-25的．3）解先化簡再求展開式（2－f(３,22））錯誤（3)4(-3)＋C錯誤(４3)３－3）2＋5錯誤誤（5８ｘ＝3２５－12２+f(8０)-f1３5,４＋40７－錯誤８ｘ1．注意區(qū)分項的二項式系數(shù)與系數(shù)的概念．２.要牢記錯誤an-r是式第＋1項不認(rèn)第項．3.求定必通式一指具求令為特值.一礎(chǔ)標(biāo)１.2６式中x３的系? ?? ? ? ()Ａ20 ? .４0 ?.0 ?Ｄ.160----答案D解析法一設(shè)含3的項第＋1項,則6r,得6r３,中３為C３×２3=1６0．6二根的x與2為6,件3按3與3可,則中3為錯誤×2３＝16．2.(2１·江西(x２-錯誤5展開式中的常數(shù)項為? ?( ）A0 ?.80 ? Ｃ.0 ?．－4０答案Ｃ解析展開式的通項公式為Tr＋１＝C錯誤2)5－r（－錯誤）r=C錯誤x１０-５rｒ（-.由1-５r＝０，得２,所以常數(shù)項為T21=錯誤－22＝40.3（-＼(2)y）1０的展開式中6y４的數(shù)?? ?? ( )ｒA．8４0 ? ．-40 ???C.21０ －0案AＴr0解析在公式r＋＝C，1（-錯誤１0-r中,令r=4,（－錯誤10的展開式中x64項為Ｔr0４（２０3·遼寧)使3＋錯誤n(n∈N)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為( ）A.4 ?5 ???C．６??D.7答案B解析為由－錯誤＝0得n＝錯誤，所以２,n有最小值５．求3b＋2a６展式第3項的數(shù)為___＿___為_＿_＿.案４0 １5----6．2０·四理)二項式＋5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是__＿＿＿_用數(shù)字作答.答案１０解析設(shè)二項式(ｘ＋ｙ)5的展開式的通項公式為Tｒ+1,則Tｒ+1=＼aｌ(,5)５ryr,令r3,含２3的是C錯誤１0.7.已知在(r)＋f(22))ｎ的展開式中,第５項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為5∶3，求展開式中的常數(shù)項．解５＝錯誤錯誤n-4２4x１6Ｃ錯誤錯誤，T3＝C錯誤(錯誤）n22２x-4=４錯誤錯誤.由題意知錯誤錯誤，解得n=10．1Tr+1=r0(r())10－rr－２r＝2C錯誤錯誤，1令錯誤＝0,解＝２，∴展開式中的常數(shù)項為C＼ｏ＼l(２,0)22＝1８0．升.設(shè)S=（－1）3＋3（x1）２３(,則S等于? ?( )Ａ－ ? ．x-2）3 ??Ｃ.3 ?D.＋1）3答案C! !3解析S=Ｃ錯誤1）+C錯誤（x-12×1+C錯誤（x-1×12+C錯誤×13=! !3－１)+]3＝x,故選.·新課標(biāo)Ⅱ)已知(１a(１＋5的展開式中ｘ２的系數(shù)為５,則a等于( ）A.4 ．３ C．-2 D.-1答案D解析（１+ax）(1＋x）5的中2的為C錯誤＋a·Ｃ錯誤5解----得a－1．１0．對于二項式(錯誤3)n∈),有以下四種判斷：①存在∈Ｎ＊，展開式中有常數(shù)項；②對任意n∈N,展開式中沒有常數(shù)項；③對任意n∈N*,展開式中沒有在n∈Ｎ*,有x的一案①④析二式(錯誤３n的展開式的通項公式為Tr+1=錯誤4r－n由通項公式可知，當(dāng)n＝4r(r∈N和n4r-1（r∈Ｎ＊)時，展開式中分別存在常數(shù)項和一次項．1１.(錯誤＋錯誤n展開式第９項與第1０項二項式系數(shù)相,求的一次項系數(shù)．解C錯誤＝錯誤,＝1,Tr+1＝Ｃ錯誤錯誤·2·－錯誤,∴錯誤－錯誤=１,∴＝9，∴T１0＝錯誤·4·２９·x-3C錯誤２9·x,其一項系為C錯誤2.1１.在(2２－n的展開中第9項為數(shù)項,求：1１（1n的值；（2）開中5數(shù);(3含的整數(shù)次冪的項的個數(shù)．）解已知二項展開式的通項Tr+1=錯誤(錯誤2 n-r·(－錯誤))r(錯誤)n-rC）錯誤2n－錯誤r．１因為第9項為常數(shù)項，即當(dāng)r8時２n-（5,２０,解得＝1.(2令2－f52）r＝5,得r＝f(2,５（2５)＝6，以5的系（-1（錯誤)4錯誤＝錯誤．----（3）要使2n－錯誤r,即錯誤為整數(shù)，只需r為偶數(shù)，由于r0,1,2，…,０,故有6第13，5,7,9,１１項.三、探究與創(chuàng)新n13.已知(x)=(1＋2x)＋(1+4x）(m,n∈N＊)的展開式中含x項的系數(shù)為