北京市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為“、b、c,若a=l,c=2百，匕sinA=asin|g—8),貝iJsinC=()

V21V21D.亙

A.Rr

771219

2.(x+y)(2x_?的展開(kāi)式中的系數(shù)為()

A.-30B.-40C.40D.50

3.已知全集。=11,集合A={x|y=lg(l-x)},B^<x\y=-j=?()

A.(l,-+w)B.(0,1)C.(0,+oo)D.[1,+℃)

4.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)

的概率為

111

A.—B.-C.—D.—

23612

5,已知復(fù)數(shù)二滿(mǎn)足(z—i)(—i)=5,則z=()

A.6iB.-6/C.-6D.6

6.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=(2+0(1-0(i是虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.叵

B.V10C.好D.75

22

7.某人2018年的家庭總收入為80000元，各種用途占比如圖中的折線圖，2019年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)

如圖中的條形圖，已知2019年的就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，則該人2019年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為()

40

35

30

25

20

15

10

5

儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)

A.21250元B.28000元C.29750元D.85000元

8.閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

9.已知x,yeR,貝！|“x<y"是，，二<1”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3

10.已知a是第二象限的角，tan（萬(wàn)+a）=--,則sin2tz=（

4

12122424

A.——B.---C.—D.——

25252525

H.復(fù)數(shù)z=T，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是

A.|z|=V5B.z的共扼復(fù)數(shù)為g+J

1122

C.z的實(shí)部與虛部之和為1D.z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限

12.某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成

樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）

A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+2,x<-1

13.已知?jiǎng)t/[/（4）]的值為.

log2x,x>3

JI兀

14.已知3cos2a=4sin（——a）,ae（—,萬(wàn)），貝！jsin2a=.

44

15.如圖，直線/是曲線y=/（x）在x=3處的切線，則:（3）=.

16.等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)尸，B4=I,PB=0，PC=2,ZA=90，則AA8C面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）誠(chéng)信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠(chéng)信教育，并用

周實(shí)際回收水費(fèi)

表示每周“水站誠(chéng)信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個(gè)

周投入成本

周期）的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

（I）計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)，

（D）若定義水站誠(chéng)信度高于90%的為“高誠(chéng)信度”，90%以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周

進(jìn)行調(diào)研，計(jì)算恰有兩周是“高誠(chéng)信度'’的概率；

（皿）已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng),

根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說(shuō)明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

18.（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線（與〃近似滿(mǎn)足4〃4,寬度為7切2.圓。為江中的一個(gè)半徑為2初?的

小島，小鎮(zhèn)A位于岸線4上，且滿(mǎn)足岸線《LOA,OA=3km.現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島。至對(duì)岸《的水上

通道ABC（圖中粗線部分折線段，8在A右側(cè)），為保護(hù)小島，3c段設(shè)計(jì)成與圓。相切.設(shè)

ZABC=zz--6>(0<6><|j.

（1）試將通道ABC的長(zhǎng)L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

（2）若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬(wàn)元，則建造此通道最少需要多少萬(wàn)元?

19.（12分）為貫徹十九大報(bào)告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿(mǎn)足人民日益增長(zhǎng)的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生

物小組通過(guò)抽樣檢測(cè)植物高度的方法來(lái)監(jiān)測(cè)培育的某種植物的生長(zhǎng)情況.現(xiàn)分別從A、3、C三塊試驗(yàn)田中各隨機(jī)抽

取7株植物測(cè)量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）：

A組10111213141516

3組12131415161718

。組13141516171819

假設(shè)所有植株的生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.從A、8、C三組各隨機(jī)選1株，A組選出的植株記為甲，8組選出的植株記為

乙，C組選出的植株記為丙.

（1）求丙的高度小于15厘米的概率；

（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（3）表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為〃o.從A、8、C三塊試驗(yàn)田中分別再隨機(jī)抽取1株該種植物，它們的高度依次

是14、16、15（單位：厘米）.這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為小，試比較Mo和外的

大小.（結(jié)論不要求證明）

11

X=一+一，

22x=1+cos6

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的參數(shù)方程為｛]（，為參數(shù)）和曲線C：〈,八

y=sin，

y=——t

V2

為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線/和曲線C的極坐標(biāo)方程；

jr5V

(2)在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是射線l[:0=a(a^[0,-])與直線I的公共點(diǎn)，點(diǎn)N是乙與曲線C的公共點(diǎn)，求%U

的最大值.

21.(12分)在AA8C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別是a/,c,已知A=+c?-立4兒=/.

33

(1)求。的值；

(2)若6=1,求AABC的面積.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|2x+a|-|x-3|(aeR).

⑴若a=-l,求不等式/(x)+l>0的解集；

(2)已知a>0,若/(x)+3a>2對(duì)于任意xeR恒成立，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得tan8=走，可得出B=g,然后利用余弦定理求出。的值，最后利用

36

正弦定理可求出sinC的值.

【詳解】

■.,/?sinA=<zsinf--5^=—acosfi--asinB>

(3J22

即sinAsinB=^-sinAcosS--sinAsinB，即3sinAsin8=GsinAcosA)

22

,/sinA>0,3sinB=V3cosB?tanB=—?：0<B<%，=j

36

1+12-2X1X2A/3X^=V7

由余弦定理得b=\/a2+c2-2accosB=

由正弦定理=7=工，因此，sinC_csinS_2Gx」_互.

sinCsinBsinL〃-幣-7

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中等題.

2、C

【解析】

先寫(xiě)出(2x-y)s的通項(xiàng)公式，再根據(jù)dy'的產(chǎn)生過(guò)程，即可求得.

【詳解】

對(duì)二項(xiàng)式(2x—y)s,

其通項(xiàng)公式為7；+1=C；(2x)5-'(-才=G25f(-1//了

(x+y)(2龍-y)5的展開(kāi)式中J?：/的系數(shù)

是。了一丁了展開(kāi)式中fy3的系數(shù)與尤3y2的系數(shù)之和.

令r=3,可得的系數(shù)為《22(7)3=-40；

令廠=2,可得的系數(shù)為c；23(-以=80；

故(x+y)(2x-y)s的展開(kāi)式中丁V的系數(shù)為80-40=4().

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

3,D

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合AB,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.

【詳解】

A={鄧-x>0}=(YO,1),B=(0,+oo),；4A=[l,+oo),

.?@網(wǎng)口6=[1次).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問(wèn)題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

c2c2

求得基本事件的總數(shù)為〃=卡"X6=6，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為加=第或用=2,

利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),

基本事件的總數(shù)為n=C學(xué)x4=6,

4

其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為m=C；C；&=2,

所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為。='=：,故選B.

n3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基

本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查

了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】

因?yàn)?z-z)(T)=5,所以z=上+i=6i

-i

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.

6、B

【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)Z,由此求得回.

【詳解】

依題意z=2+i-2i-i2=3-i，所以忖=^32+(-1)2=J6

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收入為80000元，且就醫(yī)費(fèi)用占10%得到就醫(yī)費(fèi)用80000x10%=8000,再根據(jù)2019年的

就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，得到2019年的就醫(yī)費(fèi)用，然后由2019年的就醫(yī)費(fèi)用占總收入15%,

得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人25%求解.

【詳解】

因?yàn)?018年的家庭總收入為80000元，且就醫(yī)費(fèi)用占10%

所以就醫(yī)費(fèi)用80000X10%=8000

因?yàn)?019年的就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，

所以2019年的就醫(yī)費(fèi)用12750元，

而2019年的就醫(yī)費(fèi)用占總收入15%

所以2019年的家庭總收人為12750+15%=85000

而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收入25%

所以?xún)?chǔ)畜費(fèi)用：85000x25%=21250

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程，寫(xiě)出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】

初始值〃=0,S=1

第一次循環(huán)：〃=1,S=lx:=!；

22

第二次循環(huán)：n=29S==-X—=

23-3

131

第三次循環(huán)：〃=3,s==—x—=二---)

344

14

第四次循環(huán)：〃二4,s==—x—:

45-5

151

第五次循環(huán)：n=5>s==—x—=二---1

566

16

第六次循環(huán)：〃=6,s==-x—=

67

17

第七次循環(huán)：〃=7,s==-x—:

181

S-X-

第九次循環(huán)：〃=8,8-9-9-

191

第十次循環(huán)：〃=9,S=-x—=—<0.1；

所以輸出S=9x\=0.9.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

xx

x<y,不能得到一<1,一<1成立也不能推出》<丁，即可得到答案.

yy

【詳解】

因?yàn)閄,ywR,

1x

當(dāng)x<y時(shí)，不妨取x=—l,y=__,_=2>1,

2y

故x<y時(shí)，一<1不成立，

y

X

當(dāng)二<1時(shí)，不妨取％=2,y=-i,則不成立，

y

綜上可知，“xvy”是“一<1”的既不充分也不必要條件，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.

10、D

【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2a，再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【詳解】

3

因?yàn)閠an〃r+a)=——,

sin。3

由誘導(dǎo)公式可得,tana二

cosa4

即sina=--cos6z,

4

因?yàn)閟in?or+cos2a=1,

所以cos2a=3，

由二倍角的正弦公式可得,

sin2a=2sinacosa=——cos2a,

所以sin2a=_3x3=24

22525

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中

檔題.

11、D

【解析】

13

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求得z=-+-i,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軌復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.

22

【詳解】

2+z_(2+f)(l+Q1+3/13.

由題意z=----=-----1---I

(1-Z)(1+Z)1-i222

3-13

則忖=z的共軌復(fù)數(shù)為z=3；—=i

22

復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和為2，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選D.

【點(diǎn)睛】

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似

于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式，再將分母實(shí)數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)

。+瓦（。力€尺）的實(shí)部為。、虛部為〃、模為八2+。、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（a,份、共飄為。一沅.

12、A

【解析】

通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.

【詳解】

由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.

本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50,所以（天沒(méi)有改變，

1__

根據(jù)方差公式S2=三［（%-X）2+…+（4-X）2］可知方差不變.

8

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

先求”4）,再根據(jù)/（4）的范圍求出即可.

【詳解】

由題可知/（4）=log24=2,

故/［〃4）］=/（2）=22-5=-1.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

1

14、——

9

【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡(jiǎn)可得sina+cosa=迪，平方可得sin2a.

3

【詳解】

,:3cos2a=4sin(----a)，：?3(cosa+sina)(cosa-sina)-2垃(cosa-sina),

4

o萬(wàn)1

則sina+cosa=------，平方可得sin2a=一1,

39

故答案為：一

9

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角恒等變換，倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

1

15、一.

2

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知直線/過(guò)點(diǎn)(3,3),,,3J,

3_3

可求出直線/的斜率心21，

3-02

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，r(3)=g.

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5

16、-

2

【解析】

利用余弦定理計(jì)算cosZPAB.cosWcr-ZPAB),然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AB=AC=x

由題可知：

PA2+AB2-PB2

cosZPAB=

2PAAB

cos(90°-ZPAB)=PA+AC=sjnZPAB

''2PAAC

由sin2NPAB+cos2ZPAB=1,

PA^l,PB=O,PC=2

化簡(jiǎn)可得：X4-6X2+5=0

則必=5或％2=I,即》=逐或x=l

由A3>Q4,所以x=J$

所以%sc=g.A3?AC=g

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理解三角形，仔細(xì)觀察，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17、（I）91%；（n>y；（in）兩次活動(dòng)效果均好，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（I）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；

（U）設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為4,則抽到“一般信度”的事件為8,則隨機(jī)抽取兩周，則有兩周為“高誠(chéng)信度”事件

為c,利用列舉法列出所有的基本事件和事件c所包含的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可；

（ni）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.

【詳解】

（I）表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x=----------------------------------------------------------------------x——=91%.

12100

（II）設(shè)抽至心高誠(chéng)信度”的事件為A,,則抽至IJ“一般信度”的事件為8,則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠(chéng)信度”事件為C,總

的基本事件為A&、AA、AA'AA、44、4Ap44、44、AA、AA、AR&8、兒氏、共15種,

事件C所包含的基本事件為A4、AA、AApAA、44、44、44、44、44、4?4共10種，

102

由古典概型概率計(jì)算公式可得，P(C)=—=-.

153

(ni)兩次活動(dòng)效果均好.

理由：活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度，由88%—94%和80%+85%看出，后繼一周都有提升.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式；考查運(yùn)算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典

概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

9—3cos0(7tA

18、(1)L(6)=>八-,定義域是％,彳.(2)6近百萬(wàn)

sin6I2J

【解析】

(1)以A為原點(diǎn)，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a(a>0),利用直線與圓相切得到

a=-------,再代入L=這一關(guān)系中，即可得答案；

sin6*

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；

【詳解】

以A為原點(diǎn)，直線4為％軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)A8=a(a>0),則B(a,0),0(0,3),Z2:y=7.

因?yàn)镹ABC=萬(wàn)一eo<e<T,

所以直線8c的方程為丁=12113。一。)，

即x?tan。-y一。tan6=0,

|-3-atan。|

=2,

因?yàn)閳A。與相切，所以\J1+tan20

□c3cose+asin。2“一加2-3cos，

即---------——=--?從而得q=———.

cos0cos0sin6

在直線BC的方程中，令y=7,得％=。+—7^=4+一7cos學(xué)3，

tan0sin0

所以8C—Jl+tarr。瓦xc|---.

cosesm，sine

b-r4nn-79-3COS^

所以L=AB+BC=a-\-----=---------

sin。sin。

227t

當(dāng)a=0時(shí)，cos^=-,設(shè)銳角/滿(mǎn)足cos4=§,則4<e<],

0—3cos3(兀、

所以L關(guān)于。的函數(shù)是〃。)=------,定義域是4,彳.

sin6V2)

(2)要使建造此通道費(fèi)用最少，只要通道的長(zhǎng)度即L最小.

“八、3sin?。一(9一3cose)cos。3—9cos。，八八

乙'(。)=-------------z----------=----z——6<0<—\

sin20sin~9(a2)

令L'(e)=O,得cos6=；,設(shè)銳角4,滿(mǎn)足cosq=g<|,得

列表：

e(%，a)a但9

u(e)—0+

L(G)減極小值增

rr/小】9-3cos^,3，后

所以e=4時(shí)，[L(e)]mm=sine28=6.,所以建造此通道的最少費(fèi)用至少為60百萬(wàn)元.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推

理能力、運(yùn)算求解能力.

210

19、(1)—；(2)—；(3)〃(><〃].

749

【解析】

設(shè)事件A,為，，甲是A組的第i株植物”，事件B,為“乙是B組的第i株植物”，事件G為“丙是C組的第i株植物"，i=l

2、…、7,可得出p(A)=P(4)=尸(￡)=]?

(1)設(shè)事件。為“丙的高度小于15厘米”，可得。且G、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果;

(2)設(shè)事件E為“甲的高度大于乙的高度”，列舉出符合題意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求

事件的概率；

(3)根據(jù)題意直接判斷4。和兒的大小即可.

【詳解】

設(shè)事件A,為“甲是A組的第i株植物”，事件B,為，，乙是3組的第i株植物”，事件G為“丙是C組的第i株植物"，，=1、

2、…、7.

2、…、7.

(1)設(shè)事件。為“丙的高度小于15厘米”，由題意知。=￡。。2，

2

又G與互斥，所以事件D的概率P(D)=P(C?。2)=P(G)+尸(。2)='；

(2)設(shè)事件E為“甲的高度大于乙的高度”.

5

由題意知E=UUA4U44DA2D4與UAJB2UA員D44D兒旦.

所以事件E的概率P(E)=P(ABJ+P(A4)+P(A￡)+P(44)+P(AE)

+尸(4與)+尸(4員)+R)+尸(44)+P(4旦)

=IOP(44)=IOP(4)P(4)=/

⑶〃0<〃L

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中等

題.

20、(1)Qsin(e+?)='^,Q=2COS6；(2)([。閘),皿=20+2

【解析】

(1)先將直線/和圓C的參數(shù)方程化成普通方程，再分別求出極坐標(biāo)方程；

(2)寫(xiě)出點(diǎn)M和點(diǎn)N的極坐標(biāo)，根據(jù)極徑的定義分別表示出|QV|和|OM|,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出撥的最大

值.

【詳解】

解：(1)l:x+y=—,pcos^+psin^=—,

即極坐標(biāo)方程為psin(e+?)=等，

C:(x-1)2+/=1,極坐標(biāo)方程0=2cos6.

1

(2)由題可知"/2、，N(2cosa,a)

sina+cosa

|ON\_pN_2cosa

兩二亡T~

2

sina+cosa

=4cos