北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（含答案）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期一?？荚?/p>

數(shù)學(xué)2023.3

(考試時(shí)間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合人={刈/W4},集合8={x|x>0},則4B=

(A)S，-2](B)[-2,0)(C)[-2,+oo)(D)(0,2]

(2)若a>0>6,則

(A)/(\\>\b\(C)-<-(D)\n(a-b)>0

B)aab

n

(3)設(shè)(l+x)"=〃o+。]%+〃2工2++anx,若々2=%，則〃=

(A)5(B)6(C)7(D)8

(4)已知點(diǎn)A(-l,0),3(1,0).若直線>=依-2上存在點(diǎn)P,使得NAP3=90。，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(A)(-8,-方](B)[后,+8)(C)[Y市1(D)(-00,fV3,+<?)

(5)已知函數(shù)/(x)=d+x,則“.+w=0”是“/(玉)+/*2)=0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(6)過(guò)雙曲線-7-馬=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)尸作一條漸近線的垂線，垂足為A.若N4R9=2NAOF

a-b-

(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為

(A)—(B)—(C)2(D)組或2

233

(7)在長(zhǎng)方體A8C￡>-AgGA中，AG與平面A3。相交于點(diǎn)加，則下列結(jié)論一定成立的是

(A)AMLBD(B)A^MLBD

(C)AM=-MCt(D)MB=MD

(8)聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)

模型是函數(shù),/'(*)=$抽犬+}[112》*61<),則下列結(jié)論正確的是

(A)F(x)的一個(gè)周期為兀(B)F(x)的最大值為3

2

(C)/'(X)的圖象關(guān)于直線》=兀對(duì)稱(D)/(x)在區(qū)間[0,2河上有3個(gè)零點(diǎn)

(9)如圖，圓M為△ABC的外接圓，AB=4,AC=6,N為邊8c的中點(diǎn)，則=

(A)5

(B)10

(C)13

(D)26

(10)已知項(xiàng)數(shù)為k(keN)的等差數(shù)列［a?］滿足4=1,

第(9)題

*Wa“(〃=2,3,,k).若4+&++a?=8,則左的最大值是

(A)14(B)15(C)16(D)17

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)若2=上，則|刃=—.

1+1

log,X,

(12)函數(shù)〃x)=5的值域?yàn)橐?

3",x<\

(13)經(jīng)過(guò)拋物線》2=4y的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A,8兩點(diǎn)，若|AB|=4,則△048(O為坐標(biāo)原

點(diǎn))的面積為一.

(14)在△ABC中，〃=4&，b=m,sinA-cosA=0.

①若加=8,則。=___；

②當(dāng)機(jī)=一(寫(xiě)出一個(gè)可能的值)時(shí)，滿足條件的AyWC有兩個(gè).

(15)某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：

x(t)=X?cosh(\[abt)-^匕sinh(>/a^f),

y(f)=Yocosh(x/iife/)-sinh(Vo^r),

其中正實(shí)數(shù)X。，為分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，，為戰(zhàn)斗時(shí)間；x(t),y⑴分別為紅、藍(lán)兩方f時(shí)

刻的兵力；正實(shí)數(shù)〃，。分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)：coshx=±Q和

2

sinhx=分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗

2

演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T(mén).

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若X°>%且則x(f)>y(f)(0qwT)；

②若X。>%且則T=Un序士4；

a丫X。-%

Xob

③若/>一，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利;

toa

Y

④若黃〉,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利.

丫0a

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC-AB|G中，叫_1平面A8C,0,E分別為AC,的中點(diǎn)，AB=BC=45,

AC-AA1-2.

(I)求證：AC_L平面8DE；

(ID求直線DE與平面4陽(yáng)所成角的正弦值;

(III)求點(diǎn)。到平面A班的距離.

(17)(本小題13分)

設(shè)函數(shù)f(x)=Asin<yxcos<yx+cos%x(A>0,ft>>0),從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選

擇兩個(gè)作為已知，使得/(x)存在.

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(H)求fW在區(qū)間［0,^］上的最大值和最小值.

條件①：/(x)=/(—x)；

條件②：/(x)的最大值為3；

2

TC

條件③：/(X)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為5.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計(jì)分.

(18)(本小題13分)

某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選出一二三

等獎(jiǎng)若干.為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

獲獎(jiǎng)人數(shù)

性別人數(shù)

一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

男牛.200101515

女生300252540

假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立.

(I)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；

(H)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表

示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望歐；

(III)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為Po；從該地區(qū)高

一男生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為化；從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽

到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為P2,試比較Po與包產(chǎn)的大小.(結(jié)論不要求證明)

(19)(本小題15分)

已知函數(shù)/。)=/一"-1(?eR).

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(x)>0對(duì)xe(0,+<?)恒成立，求a的取值范圍；

(HI)證明：若/(x)在區(qū)間(0,m)上存在唯一零點(diǎn)看,則/<a-2.

(20)(本小題15分)

已知橢圓E:二+匕=1(0<"4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(及,-1).

4n

(I)求橢圓E的方程及離心率；

(II)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)為A,直線/:x=,孫+1與E相交于M,N兩點(diǎn)，直線A"與直線x=4相交于

點(diǎn)Q.問(wèn)：直線NQ是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.

(21)(本小題15分)

己知有窮數(shù)列Aq。，仆(代€e萬(wàn)云3)滿足。”{一1,0,1}?=1,2,,N).給定正整數(shù)機(jī)，若存在正

整數(shù)S"(SH/),使得對(duì)任意的左€{0,1,2,,7/7-1),都有則稱數(shù)列A是"一連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.

(I)判斷數(shù)列A:-l,1,0,1,0,1,-1是否為3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？是否為4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？說(shuō)明理由；

(II)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；

(IH)若數(shù)列A:qg，,心不是4一連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列A：?！暗?，數(shù)列&嗎,%，,即，0與

數(shù)列&嗎,陰,，心,1都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且%=0,求心的值.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(DC(2)A(3)A(4)D(5)C

(6)B(7)C(8)D(9)C(10)B

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(11)V2(12)(-8,3)(13)2

(14)4夜6(答案不唯一)(15)①②④

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(本小題14分)

解：(I)在三棱柱A6C-A片G中，

因?yàn)锳4,_L平面ABC,

所以A4,_LAC.

又D,E分別為AC,AG的中點(diǎn)，則OE//AA,,

所以AC_LDE.

因?yàn)锳B=BC,所以AC_LB￡>.

乂BDDE=D,

所以AC_L平面瓦明......

(II)由(I)知AC_LE>E,AC±BD,DE//AA,.

又441_L平面A8C,

所以。E_L平面

因?yàn)?Ou平面/WC,

所以DELBD.

所以兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則D(0,0,0),4(1,0,0),8(0,2,0),5(0,0,2).

所以加=(0,0,2),AB=(-1,2,0),A￡=(-1,0,2).

設(shè)平面的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z),

m?AB=0,一x+2y=0,

則即

一x+2z=0.

機(jī),AE—0,

令y=l,則x=2,z=l.于是m=(2,1,1).

設(shè)直線與平面4正所成角為a,則

sina=|cos〈，〃，費(fèi)〉|=1^1=漁

|m||DE|6

逅

分

所以直線DE與平面ABE所成角的正弦值為6

邁

(III)因?yàn)橹本€DE與平面"E所成角的正弦值為6

所以點(diǎn)O到平面A3E的距離為d=OE,sinc=逅......14分

3

(17)(本小題13分)

解：選條件②③.

(I)/(x)=Asin(oxcoscox+cos2a)x

COS25+1

=-sin2cox+

22

I4211A1

=J-----sin(2s+e)+—(其中cos(p=—^,sin^>=-----).

v427^177

根據(jù)條件②可知，函數(shù)條x)的最大值為+4=3.

V422

又A>0，所以A=Q.

根據(jù)條件③可知，函數(shù)/(x)的最小正周期為7=三=兀，所以。=1.

2co

JT1

所以/(x)=sin(2x+"7)+；?.......7分

(II)由OWxW二，得巴<2%+工

2666

1-7T4

則--Wsin(2x+-)W1,所以0W/(x)這一.

262

當(dāng)2X+B=?，即X=［時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為0；

662

當(dāng)2X+B=1,即x=2時(shí)，/(x)取得最大值，最大值為］............13分

6262

(18)(本小題13分)

解：(I)設(shè)事件A為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，抽到的2名學(xué)生都獲一等

獎(jiǎng)”，

則P(A)=f5=工......4分

C200c3oo240

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.

記事件B為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”,

事件C為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”.

由題設(shè)知，事件B,C相互獨(dú)立，

且P(8)估計(jì)為10+15+15J,p(c)估計(jì)為25+25+40=2

200530010

____]qOQ

所以尸(X=0)=P(BC)=P(B)P(C)，估計(jì)為(l--)x(l--)=—；

51050

P(X=1)=P(BCBC)=P(B)P(C)+P(歷P(C),

—x(1——)+(1-—)x—=—;

51051050

I33

P(X=2)=P(BC)=P(B)P?,估計(jì)為gx石=立.

所以X的分布列為

X012

28193

P

505050

noIqa]

故估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX=OX|^+1X*+2X4=5......10分

(111)外>嗎也......13分

(19)(本小題15分)

解：(I)因?yàn)?(x)=e"-ax-l(xeR),所以尸(x)=2/*-a.

①若”0,則r(x)>0,所以/(X)在區(qū)間(YQ,yo)上單調(diào)遞增.

②若a>0,令f'(x)-0,Wx=—In—.

22

當(dāng)X€(-oo」ln3)時(shí)，f'(x)<0,

22

所以/(%)在區(qū)間(Yo-ln4)上單調(diào)遞減；

22

當(dāng)(,1119,+00)時(shí)，f'(x)>0,

22

所以〃x)在區(qū)間(g嗚,+oo)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)“W0時(shí)，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(YO,*O)；

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(v，[ln￡),單調(diào)遞增區(qū)間為(工小三,”).

2222

.....5分

2rf2x

(H)①若々W2,當(dāng)x>0時(shí)，2e>2,f(x)=2e-a>0f

則/(x)在區(qū)間(0,位)上單調(diào)遞增.所以f(x)>/(0)=0.

所以符合題意.

②若。>2,則一In—>0.

22

由(I)可知f(x)在區(qū)間(0」ln@)上單調(diào)遞減，

22

所以當(dāng)xe嗎嗚)時(shí)，/(x)</(0)=0,不符合題意.

綜上，a的取值范圍為(fo,2]...........11分

(III)若在區(qū)間(0,物)上存在唯一零點(diǎn)%,

e%-1

則a>2,x>0e2-1=0,即。=-----.

0/

欲證：x0<a-2f

_e2t°_1

只需證：x<----------2,

()%

22

只需證：e*>(x0+1),

即證：e%>.+l.

由(II)知，e2，—2x-l>0在區(qū)間(。，物)上恒成立，

所以e*-x-l>0在區(qū)間(。，田)上恒成立.

所以e%>x0+1.

所以與<a-2...........15分

(20)(本小題15分)

解：(I)因?yàn)闄E圓日土+工=1(0<〃<4)過(guò)點(diǎn)(后,-1),

4n

所以2+4=1,得”=2.

4n

所以橢圓石的方程為二十.=1.

42

因?yàn)閍?=4,b2=2f

所以c=y/a2—b~=\/2.

所以橢圓E的離心率e=￡=也......5分

a2

(II)直線NQ過(guò)定點(diǎn)(2,0).理由如下：

[x-my+1,

由jx?+2y2—4得(加2+2?2+2⑺—3=0.

顯然，△>().

設(shè)”(芭，乂)，N(x2,y2),則y+%=—X%=――'?

m+2m+2

直線4M的方程為丫=三七(x+2).

令x=4,得y=4,則。(4,4).

%+2+2

------必

,+2=69一%(3+2)

所以直線NQ的斜率為牖o且左NQ工。.

4—%(4—x2)(Xj+2)

所以直線NQ的方程為y-％=6%-%1+2%_々).

(4—x2)(再+2)

令y=0,則彳=4_2(4口)U-t?

-6%-y2a+2)

=々[6--y2a+2)]-%(4-x?)(%+2)

6%-%(%+2)

=6--4%(/+2)

6y,-y2(x,+2)

=6(加%+1)--4%(%y+3)

6.K-必(陽(yáng)i+3)

=2,盯)，2+6,-12%

-myty2+6yt-3y2

2/n(-^—)+6(-4^)-18^

______療+2療+2______

/3、?2機(jī)、八

_皿2+6(2-9%

/%+2nt+2

2

—18/??—18(/??+2)y2一2

2

—9m—9(m+2)y2

所以直線NQ過(guò)定點(diǎn)(2,0)............15分

（21）（本小題15分）

解：（I）數(shù)列A是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，不是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.理由如下：

因?yàn)?+A=%+*（%=。/，2）,所以A是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.

因?yàn)?，4為一1，1，。，1；

%,%,44，。5為1，0，1，0；

%,。4，%，4為°，1，。，1;