北師大版八下數(shù)學第2章全章教學案（含解析）

第二章一元一次不等式與一元一次不

等式組

本/章/整/體/說/課

?教學目標

知識與技能

1.經(jīng)歷將一些簡單的實際問題抽象為不等式的過程，進一步體會不等式的模型思想，建立符號意識.

2.結(jié)合具體問題,了解不等式的意義.

3.探索并掌握不等式的基本性質(zhì).

4.理解不等式(組)的解及解集的含義;會解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示一元一次不等式

的解集;會解一元一次不等式組，并會用數(shù)軸確定其解集.

5.通過經(jīng)歷用數(shù)軸表示不等式(組)的解集的過程，體會數(shù)形結(jié)合思想.

6.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式,解決簡單的實際問題，并能根據(jù)具體問題的實際

意義，檢驗結(jié)果是否合理，發(fā)展應用意識.

,過程寫^孝

經(jīng)歷將一些實際問題抽象為不等式的過程，體會不等式也是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關(guān)系的有效模

型,感受不等式、方程、函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，研究用不等式解決實際問題的方法.

”情感態(tài)度與價值觀r

1.初步體會不等式、方程、函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.

2.進一步感受數(shù)學和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學的價值.

?教材分析

不等式是現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種數(shù)學表示形式，它不僅是現(xiàn)階段學生學習的重點內(nèi)容，而且也是學

生后續(xù)學習的重要基礎.本章在學生學習了一元一次方程、二元一次方程組和一次函數(shù)的基礎上，開始研究

簡單的不等關(guān)系，通過前面的學習，學生已初步體會到生活中量與量之間的關(guān)系是眾多而且復雜的,面對大

量的同類量，最容易使人想到的就是它們有大小之分.在此之前,學生已初步經(jīng)歷了建立方程模型和函數(shù)關(guān)

系解決一些簡單的實際問題的“數(shù)學化”過程，為分析量與量之間的關(guān)系積累了一定的經(jīng)驗，以此為基礎展開

不等式的學習，順理成章.

本章首先通過具體實例建立不等式，探索不等式的基本性質(zhì)，了解一般不等式的解、解集以及解不等式

的概念，然后具體研究一元一次不等式的解、解集、解集的數(shù)軸表示，一元一次不等式的解法以及一元一次

不等式的簡單應用，通過具體實例滲透一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.最后研究一

元一次不等式組的解、解集和一元一次不等式組的解法.

根據(jù)學生現(xiàn)有的認知基礎和認知特點，本章的設計主要有下列特點：

(1)提供豐富的實際背景.如等周問題、測樹圍研究樹齡問題、打折銷售問題等，這些都為學生探索實際

問題中的不等關(guān)系提供了生動、豐富的背景.通過研究這些問題，可以進一步發(fā)展學生的符號意識，提高學生

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，發(fā)展模型思想.

(2)突出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.不等式與方程、函數(shù)一樣，都是反映客觀事物變化規(guī)律及其關(guān)系的模型，

函數(shù)能夠刻畫事物之間對應變化的過程，方程能夠刻畫某個變化過程的一瞬間,而不等式則刻畫變化過程中

同類量之間的一個普遍現(xiàn)象.本章教科書充分注意了這三者之間的聯(lián)系，并專設一節(jié)“一元一次不等式與一

次函數(shù)’，意在引導學生初步體會從整體中把握部分的思維方法，滲透函數(shù)、方程、不等式等重要的數(shù)學思想,

發(fā)展幾何直觀.

具體來講，第1節(jié)“不等關(guān)系”，用實例引入，使學生在歸納的過程中認識不等式模型，體會到生活中的不等

關(guān)系大量存在，并初步建立用不等式模型解決簡單實際問題的應用意識.第2節(jié)“不等式的基本性質(zhì)”，類比等

式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，讓學生經(jīng)歷類比、猜想、嘗試、歸納、得出結(jié)論的合情推理過程，探

索不等式的三條基本性質(zhì),使學生能夠?qū)⒉坏仁竭M行簡單轉(zhuǎn)化.第3節(jié)“不等式的解集”，用煙花引火線的實例

引入,在建立不等式之后研究其解集及數(shù)軸表示，讓學生結(jié)合實際意義來理解不等式的解集,并引導學生感

受不等式的解與方程的解的異同.第4節(jié)“一元一次不等式"，經(jīng)歷認識一元一次不等式的概念、求解一元一

次不等式，以及應用一元一次不等式的過程，逐步積累數(shù)學活動經(jīng)驗.本節(jié)設計了大量實際問題，如打折銷售、

知識競賽等，意圖是進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識.第5節(jié)“一元一次不等式與一次函數(shù)”，研究一元一次不

等式與一次函數(shù)的聯(lián)系，發(fā)展學生對數(shù)學的綜合認識,建立數(shù)學學科內(nèi)部知識之間的聯(lián)系，完善學生的認知

結(jié)構(gòu)，并運用這種聯(lián)系解決一些簡單的實際問題,發(fā)展學生的應用意識.第6節(jié)“一元一次不等式組”，將解一元

一次不等式組的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式的問題，再借助數(shù)軸確定其解集.

?教學重難點

【重點】

1.不等式的基本性質(zhì).

2.不等式（組）的解法.

3.不等式（組）的解集及不等式（組）解集的數(shù)軸表示.

4.不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.

【難點】

1.經(jīng)歷將一些實際問題抽象為不等式的過程.

2.不等式及不等式組的解法.

3.根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式（組），解決簡單的實際問題.

?教學建議

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生交流、互動和共同發(fā)展的過程，教學中,要將學生推到學習的前沿，

注重發(fā)揮學生的學習主體性和主觀能動性.

1.關(guān)注與舊知識的聯(lián)系，提高思維能力.

有效的教學一定要從學生已經(jīng)知道了什么開始.教學過程中，要關(guān)注不等式、函數(shù)、方程的內(nèi)在聯(lián)系，

不等關(guān)系與相等關(guān)系的辯證關(guān)系，要類比等式（方程）進行不等式的教學，這樣不僅有利于學生認識不等式，而

且可以使學生體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上把握知識，發(fā)展學生的辯證思維.例如，在研究不等式的基

本性質(zhì)時，可以類比等式的基本性質(zhì)，并比較其異同.

2.設置豐富的問題情境，體會知識的發(fā)生、發(fā)展過程.

教學中，要充分發(fā)揮教科書中“做一做“‘想一想”“議一議”等欄目提供的問題情境，組織學生進行探究性學

習.例如，在“不等關(guān)系”一節(jié)的教學中,要讓學生經(jīng)歷探索不等式模型的形成過程，要給學生留有充分的思考

與活動時間，使其初步體會學習不等式的價值，通過充分經(jīng)歷觀察、試驗、歸納、類比、概括和數(shù)學表示的

過程，自然過渡到“模型化”，教師不要急于求成，要關(guān)注學生學習能力的提高.

3.恰當把握打牢基礎與培養(yǎng)能力的關(guān)系.

不等式的基本性質(zhì)、不等式（組）的解法及不等式（組）解集的數(shù)軸表示是學生后續(xù)學習的重要基礎和必

備技能，一定量的練習是完全必要的，但不宜停留在簡單的模仿訓練與機械記憶的層次上，更不必強調(diào)解不

等式（組）的步驟，要引導學生能夠說出一個不等式為什么可以從一種形式變?yōu)榱硪环N形式，它的解集為什么

能在數(shù)軸上表示，為什么可以通過數(shù)軸迅速準確地確定不等式組的解集，發(fā)展其代數(shù)變形能力、說理能力和

數(shù)形結(jié)合能力，養(yǎng)成步步有據(jù)、準確表達的良好學習習慣.在教學過程中，對學生求解不等式（組）的基本訓練

要自始至終加以關(guān)注，而不宜一步到位突擊訓練.如解決一些實際問題時，建立不等式模型之后要關(guān)注其求

解過程、結(jié)果的準確性、解釋結(jié)果的合理性，在這個過程中,使學生進一步體會解不等式（組）與解方程（組）

的異同.

4.恰當把握實際背景題目的難度，關(guān)注學生多角度的思考.

對于一元一次不等式（組）的應用，最重要的是幫助學生建立不等意識，學習將實際問題數(shù)學化.有實際背

景的題目的難度要控制在教科書例題、習題的難度以下，不要人為加大難度.相應地，教師要鼓勵學生自主探

索與合作交流，引導學生主動地從事觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等活動.同時，要鼓勵解法的多樣

性，如對某些實際問題，學生可用方程、函數(shù)知識處理，只要學生的解法合理，就應當予以鼓勵，不必強求統(tǒng)一

重要的是發(fā)展學生的思維策略，促進學生一般數(shù)學觀的建立.

5.關(guān)注學生的個體差異，提高學生的學習積極性.

教學過程中，要尊重學生的個體差異，關(guān)注學生的學習情感和自信心的建立.《標準》指出:“學生的個體

差異表現(xiàn)為認知方式與思維謀略的不同，以及認知水平和學習能力的差異，教師要及時了解并尊重學生的個

體差異，滿足多樣化的學習需要本章教學要提倡解決問題策略的多樣化,發(fā)展學生的學習個性，允許出錯，

對學習有困難的學生，教師要耐心傾聽他們的看法，適時引導,增強其學習的興趣和自信心.對于學有余力的

學生，要多提供一些材料，指導他們自學,發(fā)展他們的數(shù)學才能.例如，對于本章“讀一讀”中一元一次不等式組

的應用的學習，教師可以提供有關(guān)簡單線性規(guī)劃的材料讓學有余力的學生閱讀,嘗試解決一些簡單的實際問

題，從中體會最優(yōu)化思想.

?課時劃分

1不等關(guān)系1課時

2不等式的基本性質(zhì)1課時

3不等式的解集1課時

4一元一次不等式2課時

5一元一次不等式與一次函數(shù)2課時

6一元一次不等式組2課時

回顧與思考1課時

課/時/教/學/詳/案

1不等關(guān)系

—一整體設.

一,教學目標

,知識寫技能?

1.感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式的意義.

2.初步體會不等式是研究量與量之間關(guān)系的重要模型.

r過程寫方法■

1.經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發(fā)展學生的符號感與數(shù)學化的能力.

2.在探索中發(fā)展學生歸納、猜想的能力及有條理地表達的能力.

'情崽黑度身護函」

培養(yǎng)學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點,并尊重與理解他人見

解，從交流中受益.

①教學重難點

【重點】

1.不等式概念的總結(jié).

2.建立不等關(guān)系.

【難點】從現(xiàn)實情境中建立不等關(guān)系.

Q教學準備

【教師準備】多媒體課件.

【學生準備】預習課本有關(guān)知識.

舊教學過程

況新課導入

導入一：

師:我們學過等式,等式的定義是什么？

生:表示相等關(guān)系的式子叫等式.

師:我們知道量與量之間的相等關(guān)系可以利用等式來描述.同時，我們也知道現(xiàn)實生活中還存在著許多

不等關(guān)系.比如，研究表明同學們每天睡覺的時間要不少于9小時;體育考試中合格的分數(shù)要不低于60分.請

同學們也舉一些含有不等關(guān)系的例子.（同學們各抒己見）

生1:每天我都比弟弟早起5分鐘.

生2:我的年齡不小于13歲.

生3:我的體重不低于30公斤.

［設計意圖］通過這一活動，使學生體會到不等關(guān)系如相等關(guān)系一樣處處存在,培養(yǎng)學生觀察生活、樂于

探究的品質(zhì).

導入二：

教師用課件出示商品圖片，如:手機、電視、冰箱、電腦、電話等，說明規(guī)則:男、女生各派一名代表，看

教師出示的商品,猜商品的價格，時間為一分鐘，誰在一分鐘之內(nèi)猜出的商品多，誰就獲勝.男先女后.

如:教師出示一部彩屏手機的圖片，請學生猜價格.“高了”指所猜價格大于手機真實價格,“低了”指所猜價

格小于手機真實價格，只有1460元才和這部手機的真實價格相等.

通過游戲,大家也發(fā)現(xiàn)了相等是一種特殊情況，而不等是一般情況.現(xiàn)實生活中存在著大量的不等關(guān)系，

研究這些不等關(guān)系有助于我們把握事物的變化規(guī)律.

［設計意圖］使學生認識到現(xiàn)實生活中存在大量的不等關(guān)系，明確學習不等式的必要性，同時激發(fā)學生

的學習興趣.

國新知構(gòu)建

一、不等式的概念

思路一

［過渡語］同學們，我們?nèi)绾斡檬阶觼肀硎静坏汝P(guān)系呢?現(xiàn)在我們來看下面的問題.

【課件1】（1）如果某等腰三角形的底邊長為acm,這邊上的高為4cm,且這個三角形的面積不大于8

cm2,那么a應該滿足的關(guān)系式為（注意“不大于"的含義）；

（2）鐵路部門對旅客隨身攜帶的行李有如下規(guī)定:每件行李的長、寬、高之和不得超過160cm.設行李

的長、寬、高分別為acm,bcm,ccm,請你列出行李的長、寬、高滿足的關(guān)系式.

【課件2】某中學準備在學校飯廳新添一個通風口，四周用長為xm（q5）的裝潢條鑲嵌（不計接縫）,

現(xiàn)有兩種設計方案,如下圖所示.

（1）填寫下表:

通風口規(guī)格X滿足的關(guān)系式

正方形面積不大于1m2

圓的面積不大于1.5m2

（2）探究:

正方形的圓的面S正與S圓

xAx\

面積向2積向2的關(guān)系

1

4

5

【課件3］通過測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以估算出它的樹齡.通常規(guī)定以樹干離地面1.5m

的地方作為測量部位.某樹栽種時的樹圍為6cm,在一定生長期內(nèi)每年增加約3cm,設經(jīng)過，請你列出x滿足

的關(guān)系式.

總結(jié):一般地，用符號1（或"（或，"）連接的式子叫做不等式.（特別地，不等號還包含“*”）

［設計意圖］通過運用不等式表示不等關(guān)系，加深對不等式的理解,會用不等式表示實際問題中的不等

關(guān)系.

思路二

［過渡語］既然不等關(guān)系在現(xiàn)實生活中并不少見，那么大家肯定接觸過不少，如何用式子表示不等關(guān)系

呢?請看下面的問題.

【課件1】如圖所示，用兩根長度均為/cm的繩子分別圍成一個正方形和一個圓.

（1）如果要使正方形的面積不大于25cm2,那么繩長/應滿足怎樣的關(guān)系式？

（2）如果要使圓的面積不小于100cm2,那么繩長/應滿足怎樣的關(guān)系式？

（3）當上8時,正方形和圓的面積哪個大？￡12呢？改變/的取值再試一試，由此你能得到什么猜想？

【課件2】通過測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以估算出它的樹齡.通常規(guī)定以樹干離地面1.5m

的地方作為測量部位.某樹栽種時的樹圍為6cm，在一定生長期內(nèi)每年增加約3cm,設經(jīng)過，請你列出x滿足

的關(guān)系式.

總結(jié):一般地，用符號力（或（或k）連接的式子叫做不等式.（特別地，不等號還包含“*”）

［設計意圖］通過問題直接建立不等關(guān)系，體會同類量之間最常見的是比大小問題，并發(fā)展學生的歸納

猜想能力.在解決這一串問題的過程中,讓學生體會不等式與方程、函數(shù)一樣，也是刻畫事物變化規(guī)律的重要

模型，并初步感知最優(yōu)化思想.

二、例題講解

［過渡語］剛剛我們學習了什么是不等式,現(xiàn)在我們通過下面的例題來看看同學們理解得怎么樣.

（補充例題）用不等式表示下列關(guān)系.

(1)a是正數(shù)；

(2)a是負數(shù);

(3)a與6的和小于5;

(4)x與2的差不小于-1;

(5)x的4倍不大于7;

(6)y的一半小于3.

解:⑴a>0.

⑵*0.

⑶a+6<5.

(4)*221

⑸4/7.

(6)六3.

［設計意圖］對本節(jié)知識進行鞏固練習，及時反饋，使學生會運用適當?shù)牟坏忍柋硎静坏汝P(guān)系.

叵課堂小結(jié)

本課我們主要學習了根據(jù)題意列出不等式，并由此總結(jié)出不等式的概念.在列不等式時,要特別注意''不

大于,，“不小于,，等詞語的含義通過表示不等關(guān)系的式子歸納出不等式的概念

.檢測反饋

1.下面給出了5個式子:(D3>0;②4x+3y>0;③43;④*1;⑤a243.其中不等式有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

解析:根據(jù)不等式的定義可知不等式為①②⑤.故選B.

2.a,b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,下列結(jié)論中正確的是()

4~~K-

A.a>0,6<0B.a<0,￡t>0

C.ab>0D.以上均不對

解析:根據(jù)數(shù)軸上的位置可知3>0,伏0,所以物0.故選A.

3.a是非負數(shù)的表達式是()

A.a>0B.as0

C.a<0D.|a|>0

解析:非負數(shù)就是大于或等于零的數(shù).故選B.

4.用不等號連接下列各組數(shù)：

⑴--；

(2)總+10.

解析:兩個負數(shù)絕對值大的反而小.因為<，所以->-；因為收0,所以好+1>0.

答案:⑴〉(2)>

5/的3倍與x的4倍的和是負數(shù)用不等式表示為.

答案：3六4A<0

6.一所中學的男子百米賽跑的紀錄是11.7秒，假設一名男運動員的百米賽跑成績?yōu)閤秒,如果這名運動

員破紀錄，那么；如果這名運動員沒破紀錄，那么

答案:界11.7危11.7

7.用適當?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系：

(1)日的2倍比a與3的和小；

(2)y的一半與5的差是非負數(shù)；

(3)x的3倍與1的和小于x的2倍與5的差.

解:⑴2小尹3.

⑵產(chǎn)520.

⑶3x+1<2*5.

8.用不等式表示下列關(guān)系：

(1)一個數(shù)的平方是非負數(shù)；

(2)某天的氣溫不高于25°C.

解:⑴設這個數(shù)為X則*N0.

(2)設這天的氣溫為f℃,則w25.

區(qū)板書設計

1不等關(guān)系

一、不等式的概念

二、例題講解

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第38頁隨堂練習的1,2題.

【選做題】

教材第38頁習題2.1的1,2題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.下列不等關(guān)系一定正確的是()

A.|a|>0B.-A^O

C.(A+1)220D.#>0

2.小林在水果攤上稱了2斤蘋果，攤主稱了幾個蘋果說:“你看秤，高高的.”如果設蘋果的實際質(zhì)量為x斤，用不

等式把這個“高高的'’的意思表示出來是()

A.A>2B.烈2C.A>2D.A<2

【能力提升】

3.若0<小1,則用連接a,1,的結(jié)果為.

4.從234,5,6中任取兩個數(shù)組成一組數(shù)，其中兩數(shù)之和小于10的數(shù)組共有組.

5.有如下圖所示的兩種廣告牌,其中圖(1)是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的，圖(2)是一個長方形，從圖形上確

定這兩個廣告牌面積的大小關(guān)系,這種大小關(guān)系可以用含字母a力的不等式表示為

(1)(2)

【拓展探究】

6.用不等式表示下列關(guān)系:e與力的和大于a的2倍且小于8的3倍.

7.某班同學去春游花了250元包租了一輛客車,如果參加春游的同學每人交8元錢租車費,還不夠，如果每人

交9元，還用不了.用不等式表示出上述問題中存在的不等關(guān)系.

8.工人小王4月份計劃生產(chǎn)零件270個，前10天平均每天生產(chǎn)5個,后來改進技術(shù)，提前3天超額完成任務.

設小王10天之后平均每天生產(chǎn)零件x個,請你試著寫出x所滿足的關(guān)系式.

9.某次數(shù)學測驗，共有16道選擇題，評分方法是:答對一題得6分，不答或答錯一題扣2分.某同學要想得分為

60分以上，他至少應答對多少道題？(只列關(guān)系式)

10.比較下面每小題中兩個算式結(jié)果的大小(在橫線上填或“二"),并回答問題.

(1)32+42_______2x3x4;

(2)22+22-2x2x2;

(3)12+2x1x；

(4)(-2)2+522x(-2)x5;

(5)+2xx.

觀察上面的算式,請你用含字母3/的式子來表示上面算式反映的一般規(guī)律.

【答案與解析】

1.C

2.C(解析:“高高的”的意思是蘋果的實際質(zhì)量大于2斤.故選C.)

3.*1<(解析:用特殊值法解決.設字:，則=2,所以.故填a<1<.)

4.8(解析:將所有情況列舉出來，然后判斷即可.)

5.9+優(yōu)>的的功(解析:由圖可看出圖(1)的面積是莊+優(yōu)圖(2)的面積是ab.再根據(jù)圖形面積的大小關(guān)系，可

得〃+優(yōu)>必(小功.故填a^+t^>ab(3>b).)

6.解:2*尹/?<3。.

7.解:設參加春游的同學共有x人，根據(jù)每人交8元錢租車費,還不夠，可得8A<250;根據(jù)每人交9元，還用不了,

可得9A>250.

8.?:5x10+(30-10-3)A>270.

9.解:設該同學應答對x道題，依題意有6^(16-A)X2>60.

10.解:⑴〉(2尸(3)>(4)>(5)>班當年6時取等號).

15一教學反思

電成功之處

本節(jié)課充分通過學生舉例和老師的選例，讓學生體會在現(xiàn)實生活中除了存在許多等量關(guān)系外，更多的是

不等關(guān)系的存在,并通過感受生活中的大量不等關(guān)系，初步體會不等式是刻畫量與量之間關(guān)系的重要數(shù)學模

型.經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發(fā)展了學生的符號感與數(shù)學化的能力.

1)不足之處

本節(jié)課還是有很多的不足，學生平時缺少鍛煉，使得課堂氣氛沒有達到最好的效果.學生在進行自主合

作探究時，特別是在進行討論時,有時討論會偏離中心，提出一些與本節(jié)課內(nèi)容無關(guān)的問題.

Q再教設計

在教學中,充分相信學生的潛力，讓學生真正成為學習的主體,讓學生的思維在數(shù)學課堂上盡情地馳騁,

老師要做好課堂的引導者、參與者、合作者，與學生平等地進行交流與學習.

舊教材習題解管

隨堂練習(教材第38頁)

2.解:⑴宓0.^)oa,c>b.(3)x+17<5x.(4)小隹2期設這兩個數(shù)分別為a和。).

習題2.1(教材第38頁)

1.解:(1)3x+8>5x.(2)^>0,⑶S>&(S表示地球上的海洋面積,8表示地球上的陸地面積).

(4)42M1>初2(仍表示鉛球的房量,他表示籃球的質(zhì)量).

3,解:(1)600X+100(10-M“200.(2)8x+4(10-x)M72.

4.解:⑴0<髏5.⑵0cHi0.

一備課資源

(3)知識解讀

深化對不等式的認識

不等式是現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種數(shù)學表示形式，它不僅是現(xiàn)階段學生學習的重點內(nèi)容，而且也是學

生后續(xù)學習的重要基礎.本章教科書首先通過具體實例建立不等式，探索不等式的基本性質(zhì),了解一般不等

式的解、解集以及解不等式的概念，然后具體研究一元一次不等式的解、解集、解集的數(shù)軸表示,一元一次

不等式的解法以及一元一次不等式的簡單應用，通過具體實例滲透一元一次不等式、一元一次方程和一次

函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，遵循由淺入深的原則，體現(xiàn)數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想.

本章教科書在學生學習了一元一次方程、二元一次方程組和一次函數(shù)的基礎上,開始研究簡單的不等

關(guān)系.通過前面的學習,學生已初步體會到生活中量與量之間的關(guān)系是眾多而且復雜的，但面對大量的同類

量，最容易使人想到的就是它們有大小之分.在小學，學生已經(jīng)學過一些關(guān)于不等關(guān)系的相關(guān)知識，知道生活

中大量存在著不等關(guān)系，了解，”等符號的用法和意義，能比較兩數(shù)的大小，并能用數(shù)學語言表達.在相關(guān)知

識的學習過程中，經(jīng)歷了建立方程模型和函數(shù)關(guān)系解決一些實際問題的數(shù)學化過程，初步具備了將生活中的

數(shù)學現(xiàn)象抽象為數(shù)學問題或數(shù)學模型的能力，為分析量與量之間的關(guān)系積累了一定的經(jīng)驗，并在學習過程中

形成了一定的合作交流能力，為進一步展開不等式的學習奠定了基礎.

q經(jīng)典例題

例1班級50名學生上體育課，老師出了一道題目:現(xiàn)在拿來一些籃球，如果每5人一組玩一個籃球,

那么有些同學沒有球玩;如果每6人一組玩一個籃球,那么就會有一組玩籃球的人數(shù)不足6人.你們知道有幾

個籃球嗎？

甲同學說:如果有x個籃球，那么有5A<50.

乙同學說:而且有6A>50.

丙同學說:還有6儼1)<50.

你明白他們的意思嗎？

解:甲同學說的意思是:如果每5人一組玩一個籃球,那么玩球的人數(shù)少于50人，即有些同學就沒有球玩.

乙同學說的意思是:如果每6人一組玩一個籃球,那么就會有一組玩籃球的人數(shù)不足6人.

丙同學說的意思是:如果每6人一組玩一個籃球，除了一個球以外，剩下的球每6人玩一個，還有幾人（不

足6人）玩另外一個籃球.

E0一位意大利數(shù)學家游玩了比薩斜塔后，提出了一道有趣的問題.他說:比薩斜塔共有8層,其中頂

層有12根石柱，中間6層，每層的石柱一樣多，底層石柱只有中間每層石柱的一半，而且中間每層和底層的石

柱數(shù)都是5的倍數(shù).告訴你比薩斜塔由200多根石柱構(gòu)成，但不會超過250根.則比薩斜塔由多少根石柱構(gòu)

成？

解:設比薩斜塔的底層有x根石柱，那么中間6層每層各有2x根廁比薩斜塔共有（13心12）根石柱.

由于中間每層和底層的石柱數(shù)都是5的倍數(shù)，即x是5的倍數(shù)，因此x可取5,10,15,20,....

當x取5,10時，總石柱數(shù)13x+12<200,不符合題意;當x取20時,13x+12>250,也不符合題意;當A=15

時,13A+12=207,符合要求.

因此比薩斜塔由207根石柱構(gòu)成.

2不等式的基本性質(zhì)

日整體設計

Q教學目標

知識與技能

1.經(jīng)歷通過類比、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的探索過程，初步體會不等式與等式的異同.

2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能初步運用不等式的基本性質(zhì)將比較簡單的不等式轉(zhuǎn)化為或'那W’的

形式.

“過程筋一

1.能說出不等式為什么可以從一種形式變形為另一種形式，發(fā)展其代數(shù)變形能力,養(yǎng)成步步有據(jù)、準確

表達的良好學習習慣.

2.通過類比等式的基本性質(zhì)研究得到不等式的基本性質(zhì)，體會類比的數(shù)學思想.

3.進一步發(fā)展學生的符號表達能力，以及提出問題、分析問題、解決問題的能力.

嚴髓糠身

1.通過學生自我探索，發(fā)現(xiàn)不等式的基本性質(zhì),提高學生學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的自信心.

2.尊重學生的個體差異，關(guān)注學生對問題的實質(zhì)性認識與理解.

Q教學重難點

【重點】探索不等式的基本性質(zhì)，并能靈活地掌握和應用.

【難點】能根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行化簡.

Q教學準備

【教師準備】多媒體課件.

【學生準備】復習上一節(jié)不等關(guān)系的知識及等式的基本性質(zhì).

舊教學過程

區(qū)新課導入

導入一：

請班上同學站在不同的位置上比高矮.在最高的同學和最矮的同學同時站在地面上、矮的同學站在桌

子上、高的同學站到樓梯的下一層三種不同的情況下比較高矮.怎樣比較才公平？

［設計意圖］讓學生體會當兩位同學同時增高或同時減少相同的高度時，比較才是公平的，高的同學仍

然高，矮的同學仍然矮，這是不可能改變的事實.

導入二：

師:我們學習了等式，并掌握了等式的基本性質(zhì)，大家還記得等式的基本性質(zhì)嗎？

生:記得.等式的基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或整式,所得的結(jié)果仍是等式.等式

的基本性質(zhì)2:在等式的兩邊都乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結(jié)果仍是等式.

師:不等式與等式只有一字之差，那么它們的性質(zhì)是否也有相似之處呢？本節(jié)課我們將研究不等式的基

本性質(zhì).

［設計意圖］基于學生對等式的基本性質(zhì)的認識，采用類比的方式進行教學，使學生接受起來匕匕較容易.

國新知構(gòu)建

一、不等式的基本性質(zhì)

思路一

［過渡語］同學們，你們還記得等式的基本性質(zhì)嗎?請用字母表示出來.不等式也有類似的性質(zhì)嗎?先猜

一猜.

小組活動，共同探究，解決下列問題：

(1)用等號或不等號完成下面的填空.

已知2<3,那么：

2x53x5;

2x3x;

2x(-1)3x(-1);

2x(-5)3x(-5);

2x3x.

(2)用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

(3)與同伴交流你的結(jié)論，并展示.

生1:等式的基本性質(zhì)1用字母可以表示為:若年2則再8生。類似地，不等式的兩邊都加(或減)同一個

整式，不等號的方向不變.用字母表示為:若井白則a±ob±c.

生2:等式的基本性質(zhì)2用字母可以表示為：若小。，則ab0G=（6O）.經(jīng)過前面的探索，可類似地得到:

如果不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變;不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的

方向改變.用字母表示為:若a>0,c>O,則aobc??若a>0,c<0,則ac<bc,<.

總結(jié):不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加（或減）同一個整式,不等號的方向不變；

不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù),不等號的方向不變；

不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù),不等號的方向改變.

［設計意圖］通過等式的基本性質(zhì)類比得到不等式的基本性質(zhì)，由特殊的數(shù)值到用字母代表數(shù),并從中

歸納出一般性結(jié)論，進一步發(fā)展學生的符號感和提出問題、分析問題、解決問題的能力.

思路二

［過渡語］等式的基本性質(zhì)我們已經(jīng)掌握了,那么不等式的基本性質(zhì)是否和等式的基本性質(zhì)一樣呢？

請大家探索后發(fā)表自己的看法.

生:已知3<5,且3+2<5+2,3-2<5-2,所以3+K5+a,3-a<5-a即在不等式的兩邊都加（或減）同一個整式，

不等號的方向不變.

師:很好.不等式的這一條性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)相似.下面繼續(xù)進行探究.

生1:已知3<5,且3x2<5x2,3x<5x,所以3生5a即在不等式的兩邊都乘同一個數(shù),不等號的方向不變.

生2:不對.如3<5,但3x（-2）>5x（-2）,所以他的總結(jié)是錯的.

師:看來大家有不同意見，請大家互相討論后舉例說明.

生3:已知3<4,且3x3<4x3,3x<4x,3x（-3）>4x（-3）,3x（-5）>4x（-5）,由此看來,在不等式的兩邊都乘同一個

正數(shù)時，不等號的方向不變;在不等式的兩邊都乘同一個負數(shù)時，不等號的方向改變.

師:非常棒,那么在不等式的兩邊同時除以某一個數(shù)時（除數(shù)不為0）,情況會怎樣呢？請大家用類似的方

法進行推導.

生:當不等式的兩邊都除以同一個正數(shù)時，不等號的方向不變;當不等式的兩邊都除以同一個負數(shù)時，不

等號的方向改變.

師:由此，大家可以總結(jié)得出不等式的基本性質(zhì)2和基本性質(zhì)3,同學們要學會靈活運用.

總結(jié):不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加（或減）同一個整式,不等號的方向不變；

不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù),不等號的方向不變；

不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù),不等號的方向改變.

［設計意圖］以問題的形式引導學生用類比的方法先猜想不等式的基本性質(zhì)，再通過具體數(shù)值驗算性

質(zhì)，最后總結(jié)、歸納出性質(zhì).在整個教學過程中，學生均處于主導地位教師只是從旁指引.

二、例題講解

［過渡語］剛剛我們學習了不等式的基本性質(zhì)，下面我們通過幾個例題來看看同學們理解得怎么樣.

（補充例題）用兩根長度均為/cm的繩子分別圍成一個正方形和一個圓.我們猜想，無論繩長/取何值，圓

的面積總大于正方形的面積，即〉.你能利用不等式的基本性質(zhì)解釋這一結(jié)論嗎？

解向題意可知解0,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2,

此不等式兩邊都乘凡可得〉.

（教材例題）將下列不等式化成“4目'或'賬目'的形式：

（1）*5>-1;（2）-2A>3.

解:（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,

兩邊都加5碧4-1+5,即A>4.

（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,

兩邊都除以-2,得e

［設計意圖］在講解例題的過程中，要求學生說出每一步變形的依據(jù)，能說出一個不等式為什么可以從

一種形式變形為另一種形式，養(yǎng)成步步有據(jù)、準確表達的良好學習習慣，并通過這種方式達到熟練掌握不等

式的基本性質(zhì)的目的.

［知識拓展］不等式的基本性質(zhì)有三條，而等式的基本性質(zhì)有兩條.它們的區(qū)別和聯(lián)系是：

（1）區(qū)別:在等式的兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）時，等式仍然成立;在不等式的兩邊都乘（或除

以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）時會出現(xiàn)兩種情況，若乘（或除以）的是正數(shù)，則不等號方向不變，若乘（或除以）的是

負數(shù)，則不等號的方向改變.

（2）聯(lián)系:不等式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)都討論的是在兩邊都加（或減）、都乘（或除以，除數(shù)不為0）

同一個數(shù)時的情況,且不等式的基本性質(zhì)1和等式的基本性質(zhì)1相類似.

叵課堂小結(jié)

1.不等式的基本性質(zhì)的推導.

2.不等式的基本性質(zhì).

基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加（或減）同一個整式,不等號的方向不變；

基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù),不等號的方向不變；

基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù),不等號的方向改變.

3.利用不等式的基本性質(zhì)進行簡單的化簡.

⑷檢測反饋

1.如果辦旅。,那么下列結(jié)論中錯誤的是（）

A./7>9</>9B.-rrf>-n

C>D>1

答案:C

2.若不供0,則下列各式中一定正確的是（）

C<0D.-a>-d

答案:D

3.由不等式aob可以推出xv,那么a的取值范圍是（）

A.a<0B.a<0C.aNOD.a>0

答案:B

4.若比較下列各式的大?。?/p>

（1）//>3/>3;

(2)-5<n-5rr,

(3)--；

(4)3-62-rrt

(5)0m~rr,

(6)---

答案:⑴<(2)>(3)>(4)>(5)>(6)<

5.用">"或填空.

(1)如果*2<3,那么X.5;

(2)如果-麻-1,那么X;

(3)如果4-2,那么X-10;

(4)如果-41,那么X-1.

答案:⑴<(2)>(3)>(4)<

6.由/得到a*>ay的條件是.

答案：*0

7.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化成“4或"界"的形式.

(1)4A>3X+5;(2)-2A<17.

解:⑴A>5.(2)A>-.

8.若〈，試判斷a的正負性.

解:根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,

兩邊都乘-12,得3a>4a.

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,

兩邊都減去3a，得0>a,

即a<0,所以a為負數(shù).

區(qū)板書設計

2不等式的基本性質(zhì)

一、不等式的基本性質(zhì)

二、例題講解

場布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第41頁隨堂練習的1,2題.

【選做題】

教材第42頁習題2.2的1,2題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.如果40,那么尹f與a的大小關(guān)系是（）

A.a^t>aB.a+Ka

C.尹企aD.不能確定

2.如果v,那么石必須滿足（）

A.a*OB.a<0

C.a>0D.a為任意實數(shù)

3.已知有理數(shù)a&c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則下列式子正確的是（）

Kcb>abB.aoab

C.cb<abD.e'b>升b

4.下列說法：

①若小b,則-會-6;

②若題《）,則A<0,六0;

③若x<0,><0,貝ijxy<Q;

④若"乃則2a<a^b;

⑤若則>；

⑥若v,則x>y.

其中正確的說法有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

5.2石與3a的大小關(guān)系（）

A.2a<3石B.23>3a

C.2a=3aD.不能確定

【能力提升】

6.若m/>叼儼則下列結(jié)論:①x+y>0;②六A<0;③護0;④<0.其中正確結(jié)論的序號為.

7.滿足?24?12的非負整數(shù)有_____.

8.若dQbjdvO,則x.

9.如果*7<-5,那么x;如果?>0,那么x.

10.當x_____時，代數(shù)式2x?3的值是正數(shù).

［拓展祠一

H.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化成“冷W'或的形式.

（1）0.3x<-0.9;（2）x<x-4.

12.下列各式分別在什么條件下成立？

⑴⑵同>a

【答案與解析】

1.A（解析:.DO,.??根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1可得尹/與方的大小關(guān)系是尹介a故選A.）

2.C

3.A（解析油數(shù)軸可知a>0,c</?<0,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可知A正確.故選A.）

4.B（解析:①不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，所以①正確;②若則xj異號，所

以②不正確;③若XV。,六0,負負相乘得正，則刈>0,所以③不正確;④若小/?,則才?**/?,即2/尹6,所以④

正確;⑤若然0<。則〈，所以⑤不正確;⑥若V,不等式兩邊同時乘2,再減去1,得至以xv?N兩邊再同時除以?1,不

等號的方向改變,則得到公乂所以⑥正確.故正確的說法有3個.故選B.）

5.D（解析:要分a>0,a<0和a=0三種情況討論，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)來確定2石與3a的關(guān)系.故選D.）

6.④（解析:根據(jù)題意可判斷出內(nèi)0,/>0,所以￥六0;六心0;用片0;<0.*+_/的符號不能確定.所以④正確,故填

④.）

7.0,1,2,3,4,5

8.<（解析:因為配2<0,儀>0一定成立,所以有木0.根據(jù)不等式的基本性質(zhì):不等式的兩邊都乘（或除以）同一個

負數(shù)，不等號的方向改變，在3的兩邊同時除以負數(shù)a即可得到烈.故填V.）

9.<2<0

10.>（解析:若代數(shù)式2*3的值是正數(shù)，則得到一個關(guān)于x的不等式2*3>0,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得*.

故填>.）

11.解：（1）不等式的兩邊都除以0.3,得/-3.（2）不等式的兩邊都減去X,得歡?4,在此不等式的兩邊都乘2,

得x<-8.

12.解:⑴在不等式外■的兩邊同時加上a,得到2a>0,在此不等式的兩邊同時除以2彳導到全>0,即當a>0時,

不等式■石成立.（2）,.M>0，H>a.,.邠.即當?6時,不等式成立.

舊教學反思

Q成功之處

本節(jié)課通過復習等式的基本性質(zhì),類比得出不等式的基本性質(zhì).教學中設置問題,通過與等式的基本性

質(zhì)相對比，引導學生自己先猜想不等式的基本性質(zhì)，再通過具體數(shù)值驗算性質(zhì)，最后自己總結(jié)、歸納、完善性

質(zhì)并能用字母表示出來.在接下來講解例題與練習的過程中，學生對不等式每一步變形的依據(jù)都能夠正確回

答，充分掌握了不等式的基本性質(zhì).

Q）不足之處

對于不等式的基本性質(zhì)的應用，采用老師問學生答的形式，沒有照顧到全體學生.不等式基本性質(zhì)的總

結(jié)沒有放手讓學生自己進行概括.

Q再教設計

利用學生的好奇心設疑、解疑，組織有效的教學活動，使學生積極參與，大膽猜想，在自主探索和合作交流

的過程中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，力求在整個探究學習的過程中充滿師生之間、生生之間的交流和互動，

體現(xiàn)教師是教學活動的組織者、引導者、合作者，學生才是學習的主體.

5教材習題解答

隨堂練習（教材第41頁）

I.解:⑴A>3.(2)A>-.(3)A<6.

2.解:(1)不成立.(2)不成立.(3)成立.(4)成立.

習題2.2(教材第42頁)

1.(1)<(2)<(3)>(4)<

2.解:⑴心-4.(2)A>9.(3)A<-15.(4)A<-6.

3.解:⑴a<a+2.⑵當a>0時,2<2+a;當a=0時,2=2+a當a<0時,2>2+a(3)當a>0時,a<2a;當a=0

時,a=2a當a<0時,a>2a.

?備課資源

【勺教學建議

不等式的基本性質(zhì)是八年級下冊第二章第二節(jié)的內(nèi)容.本節(jié)課是建立在學生已經(jīng)認識了不等關(guān)系的基

礎上來學習的，是進一步學習解不等式及應用不等式解決實際問題的重要依據(jù),因此本節(jié)課的內(nèi)容在這一章

中占有重要位置.本節(jié)課的教學指導思想是從學生的實際認知水平及知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，讓學生自主獲取知識.

本章是在學生學習了一元一次方程、二元一次方程組和一次函數(shù)的基礎上,開始研究簡單的不等關(guān)系.

學生已經(jīng)掌握了等式的基本性質(zhì)，同時經(jīng)歷了解一元一次方程、二元一次方程組的研究過程及方法，為進一

步學習不等式的基本性質(zhì)奠定了基礎.學習時可以類比七年級上冊學習的等式的基本性質(zhì).

經(jīng)歷通過類比、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的探索過程，初步體會不等式與等式的異同，掌握不等

式的基本性質(zhì).

【和經(jīng)典例題

例1有兩個分數(shù):4=,8=,4與B哪個大？

解：：=*=X=12.5+<13,

=X=X=13.33+>13,

［解題策略］利用倒數(shù)比較大小是一種重要方法.

例2討論下列式子是否正確.

(1)如果那么a^c^b^c,

(2)如果那么a-c<b-c,

(3)如果那么ac<bc,

(4)如果且c*0,那么〉.

解：(1)符合不等式的基本性質(zhì)1,所以(1)正確.

(2)符合不等式的基本性質(zhì)1,所以(2)正確.

(3)已知當兩邊都乘c時，沒有指明c的符號是正還是負，若c為正，則不等號方向不變，若c為負，

則不等號方向改變，若c=0,則有aabc,正是因為c的符號的不確定性，所以導致不等號的方向可能變，也可

能不變，或應改為等號.所以(3)錯誤.

(4)雖然GO,但不知道c是正數(shù)還是負數(shù)，所以不能確定不等號的方向是否改變，若O0,則有<，若c<0,

則有〉，所以(4)錯誤.

［解題策略］在利用不等式的基本性質(zhì)2和基本性質(zhì)3時,關(guān)鍵是看不等式的兩邊都乘(或除以)的是一

個什么性質(zhì)的數(shù),從而確定不等號是否改變.

3不等式的解集

日整體設計

Q教學目標

知識與技能

1.能根據(jù)具體情境理解不等式的解與解集的意義.

2.能在數(shù)軸上表示不等式的解集.

1.培養(yǎng)學生從現(xiàn)實情境中探索、發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題的能力.

2.經(jīng)歷求不等式的解集的過程，通過嘗試把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，引導學生體驗用數(shù)軸表示

不等式的解集具有直觀的優(yōu)越性,增強學生數(shù)形結(jié)合的意識.

糠與俗《殖

通過從實際問題中抽象出數(shù)學模型、探索求不等式的解集的過程，讓學生認識數(shù)學與人類生活的密切

聯(lián)系，體驗數(shù)學活動充滿了探究性和創(chuàng)造性.

(°教學重難點

【重點】

1.理解不等式