相似對角化矩陣及其求法

相似對角化矩陣及其求法本文檔共39頁；當前第1頁；編輯于星期一\17點57分

等價關系：二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關系，它具有很多良好的性質(zhì)。本文檔共39頁；當前第2頁；編輯于星期一\17點57分性質(zhì)：直接由定義容易推出本文檔共39頁；當前第3頁；編輯于星期一\17點57分２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉化為比較簡單的對角矩陣的運算．

相似變換是對方陣進行的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進行這一變換的相似變換矩陣．本文檔共39頁；當前第4頁；編輯于星期一\17點57分證明:本文檔共39頁；當前第5頁；編輯于星期一\17點57分此結論只是本文檔共39頁；當前第6頁；編輯于星期一\17點57分推論若階方陣A與對角陣本文檔共39頁；當前第7頁；編輯于星期一\17點57分證明三、利用相似變換將方陣對角化本文檔共39頁；當前第8頁；編輯于星期一\17點57分本文檔共39頁；當前第9頁；編輯于星期一\17點57分命題得證.本文檔共39頁；當前第10頁；編輯于星期一\17點57分

如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似（充分條件

)．推論1不能對角化的矩陣一定具有多重特征值。說明

如果的特征方程有重根，此時不一定有個線性無關的特征向量，從而矩陣不一定能對角化，但如果能找到個線性無關的特征向量，還是能對角化．本文檔共39頁；當前第11頁；編輯于星期一\17點57分設是n階矩陣A的互異特征值，即稱是特征值的代數(shù)重數(shù)；所對應的線性無關特征向量的個數(shù)稱為的幾何重數(shù)。結論：幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)。推論2

n階矩陣A可對角化的充要條件是本文檔共39頁；當前第12頁；編輯于星期一\17點57分本文檔共39頁；當前第13頁；編輯于星期一\17點57分例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解本文檔共39頁；當前第14頁；編輯于星期一\17點57分解之得基礎解系本文檔共39頁；當前第15頁；編輯于星期一\17點57分求得基礎解系本文檔共39頁；當前第16頁；編輯于星期一\17點57分解之得基礎解系故A不能化為對角矩陣.幾何重數(shù)

<代數(shù)重數(shù),本文檔共39頁；當前第17頁；編輯于星期一\17點57分A能否對角化？若能對角化，例2解本文檔共39頁；當前第18頁；編輯于星期一\17點57分解之得基礎解系本文檔共39頁；當前第19頁；編輯于星期一\17點57分所以

可對角化.本文檔共39頁；當前第20頁；編輯于星期一\17點57分注意即矩陣P

的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應．可見

P未必唯一。本文檔共39頁；當前第21頁；編輯于星期一\17點57分例3三階方陣A的三個特征值且對應的特征向量分別是解：本文檔共39頁；當前第22頁；編輯于星期一\17點57分本文檔共39頁；當前第23頁；編輯于星期一\17點57分利用對角矩陣計算矩陣多項式k個本文檔共39頁；當前第24頁；編輯于星期一\17點57分

利用上述結論可以很方便地計算矩陣A

的多項式

.本文檔共39頁；當前第25頁；編輯于星期一\17點57分本文檔共39頁；當前第26頁；編輯于星期一\17點57分解

(1)

可對角化的充分條件是

有

個互異的特征值．下面求出

的所有特征值．本文檔共39頁；當前第27頁；編輯于星期一\17點57分本文檔共39頁；當前第28頁；編輯于星期一\17點57分本文檔共39頁；當前第29頁；編輯于星期一\17點57分§5.3Jordan標準形介紹定理：任意n方陣A都存在n階可逆矩陣P，使得-----Jordan矩陣。其中稱為Jordan塊矩陣。為A的特征值,可以是多重的。本文檔共39頁；當前第30頁；編輯于星期一\17點57分例如稱為Jordan塊.稱為子Jordan陣。本文檔共39頁；當前第31頁；編輯于星期一\17點57分Jordon標準形相似變換矩陣P的求法以三階矩陣為例來分析說明：設A相似于由本文檔共39頁；當前第32頁；編輯于星期一\17點57分分別取解得這里僅

X1是A對應于的特征向量。例3求可逆陣P和Jordan陣，使得解：令本文檔共39頁；當前第33頁；編輯于星期一\17點57分A有特征值（二重）.即對于求解：即先?。ㄌ卣飨蛄浚?。再取本文檔共39頁；當前第34頁；編輯于星期一\17點57分于是注意：P，J不唯一。亦可取則（非特征向量）。本文檔共39頁；當前第35頁；編輯于星期一\17點57分方陣A的Jordan標準形的結構有以下特點：1.J中子Jordan陣的個數(shù)等于A互異特征值的個數(shù)；2.每個子Jordan陣的階數(shù)等于對應特征值的代數(shù)重數(shù)；3.每個子Jordan陣中Jordan塊的個數(shù)等于對應特征值的幾何重數(shù)。本文檔共39頁；當前第36頁；編輯于星期一\17點5