借對稱求最短距離

關(guān)于借對稱求最短距離第1頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三最短距離問題考查知識點：“兩點之間線段最短”,“點關(guān)于軸對稱”。生活中的原型：“建奶站問題”，“牧馬人飲馬問題”等。出題背景變式：有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標軸、雙曲線、拋物線等。解題總思路：（不變的“宗”）：找點關(guān)于軸的對稱點，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”.

第2頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三在北師版七年級數(shù)學(xué)（下）的第123頁上：如圖，要在街道旁修建一個奶站，分別向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A、B到它的距離之和最短？數(shù)學(xué)模型1第3頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學(xué)問題1

已知：直線L和L的同側(cè)兩點A、B求作：點C，使C在直線L上，并且AC＋CB最小。第4頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三∴BC+AC

<BC’+AC’，即AC+BC最小．LBACA'C'∵直線L是點A、A’的對稱軸，

點C、C’在對稱軸上，∴AC=A’C，AC’=A’C’．在△BA

’C’中，BA’<

BC’+A

’C’，∴BC+AC

=A’C+BC

=

A’B．∴AC’+BC’=A’C’+BC’做法：作點A關(guān)于直線L的對稱點A'，連接A'B與直線L相交于點C，連接AC，則AC+BC最短。則點C就是奶站的位置依據(jù)？：以此題為“宗”的題目可以說層出不窮，如：第5頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三1.在正方形中探求線段和的最小值例1：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為

N連接BM交AC于N，連接DN，可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.第6頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式1：如圖所示，正方形ABCD的面積為36，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為()

面積為36，所以AB=BE=6第7頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式2：如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值為_______第8頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三2.在圓背景下探求線段和的最小值例2：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點D在AC上,弧AD=2弧CD，點P是半徑OC上一個動點，那么AP+PD的最小值是

.PADCOB第9頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式：已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點B是弧AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．2.在圓背景下探求線段和的最小值第10頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三3.在平面直角坐標系背景下探求線段和的最小值例3：在平面直角坐標系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當n=___時,AC+BC的值最小．第11頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三3.在平面直角坐標系背景下探求線段和的最小值

變式1：一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4),O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標．第12頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三令X=0得，Y=1，所以P點（0.1）第13頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式2：已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與Y軸交于點C。且對稱軸為直線X=-1，其中A點（-3,0），C點（0，-2）（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式．（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小．請求出點P的坐標．ACxyBO第14頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標．第15頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三4、在角的背景下探求線段和的最小值例4：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.第16頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式：如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，且∠AOB=45°,OP=2cm,在射線OA、OB上找點C、D，使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎？第17頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三第18頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學(xué)模型2如圖：C處為馬棚，D處為帳篷，牧馬人某一天要從馬棚牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定所走的最短路線。第19頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三

數(shù)學(xué)問題2如圖：C、D在∠AOB的內(nèi)部，在OA、OB上分別找點G、H，使得CG+GH+DH最短作法：1.作點C關(guān)于直線

OA的對稱點點F,2.作點D關(guān)于直線OB

的對稱點點E,

3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGH第20頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三例題：在直線m、n上分別求點M、N,使得四邊形PQMN的周長最小第21頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式1:如圖點A（a，1）、B（－1，b）都在雙曲線(x<0)上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ在直線的解析式是（）.A.y＝xB.y＝x＋1C.y＝x＋2D.y＝x＋3第22頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三第23頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三變式2：(2016貴陽)25.如圖，直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，過A，C兩點的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點B.（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點，在x軸、y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F，E的坐標.第24頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三第25頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三我的收獲：第26頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三[課堂小結(jié)]1、構(gòu)建“對稱模型”實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直PNPP2.關(guān)鍵：作對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用“兩點之間，線段最短”來解決第27頁，講稿共29頁，2023年5月2日，星期三測試題：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊