中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課

關(guān)于中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課第1頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法利用逆向思維

,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理

.必須多次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證:

取點(diǎn)再取異于的點(diǎn)對(duì)為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見(jiàn)對(duì)任意即得所證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2.

設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在證:

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至使即有少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.且試證存在證:

欲證因

f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有將①代入②,化簡(jiǎn)得故有①②即要證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4.

設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證:

令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:

所給條件可寫(xiě)為(03考研)試證必存在想到找一點(diǎn)c,使證:

因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知,必存在第9頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例6.

設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明證:由泰勒公式得兩式相減得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率2.解決最值問(wèn)題

目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化

最值的判別問(wèn)題3.其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.4.補(bǔ)充定理(見(jiàn)下頁(yè))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)函數(shù)在上具有n階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)時(shí)證:

令則利用在處的n

－1階泰勒公式得因此時(shí)定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;第13頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三

.在區(qū)間

上是凸弧;拐點(diǎn)為提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;則函數(shù)

f(x)的圖(2)

設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例8.

證明在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故當(dāng)

x>0時(shí),從而在上單調(diào)增.得第15頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例9.

設(shè)在上可導(dǎo),且證明f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn).

證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因因此也至多只有一個(gè)零點(diǎn).思考:

若題中改為其它不變時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例10.

求數(shù)列的最大項(xiàng).證:設(shè)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得令得因?yàn)樵谥挥形ㄒ坏臉O大點(diǎn)因此在處也取最大值.又因中的最大項(xiàng).極大值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束列表判別:第17頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例11.

證明證:

設(shè),則故時(shí),單調(diào)增加,從而即思考:

證明時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)更好?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:第18頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例12.

設(shè)且在上存在,且單調(diào)遞減,證明對(duì)一切有證:

設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例13.

證:

只要證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.第20頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例14.

證明當(dāng)x>0時(shí),證:

令則法1

由在處的二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與1之間)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三法2列表判別:即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三法3利用極值第二判別法.故也是最小值,因此當(dāng)時(shí)即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三例15.

求解法1利用中值定理求極限原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三解法2

利用泰勒公式令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)，講稿共28頁(yè)，2023年5月2日，星期三解法3

利用羅必塔法則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)