安徽省十校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期開年考數(shù)學(xué)試題（解析版）

安徽省十校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一第二學(xué)期開年考

數(shù)學(xué)試題

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.命題“Vx>l，％T>1n"的否定為()

A.Vx<l,x-l<lnxB.Vx>l,x-l<lnx

C.3x<l,x-l<lnxD.3x>l,x-l<Inx

【答案】D

【解析】

【分析】利用全稱量詞命題的否定求解.

【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

因?yàn)槊}“Vx>1,x-1>Inx”是全稱量詞的命題，

貝!!“Vx>1,》一1>111》”的否定為“三了>1,工一1《111%”.

故選：D.

2.已知集合4={0,1,2},B=LreN|^l<oL則AB=()

A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，再利用交集定義直接求解.

x+1(x+l)(x—2)<0

詳解】由——40可得《°八解得—l4x<2,

x-21%-2。0

又因?yàn)閤eN,所以x=0,l,所以8={0,1},

則AB={0,l}.

故選:B.

3.已知a是實(shí)數(shù)，則“。<一1''是"。+,<-2”的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值及基本不等式，結(jié)合充分條件及必要條件的定義即可求解.

【詳解】當(dāng)。=—時(shí)，ClH—=-----2<—2;

2a2

當(dāng)且僅當(dāng)-4=二一，即。=-1時(shí)等號成立，

-a

所以當(dāng)a<—1時(shí)，aH—<—2成立，

a

所以“。<一1”是“a+!<-2”的充分不必要條件.

a

故選：A.

4.下列各式中，值為g的是()

A.2cos2150-1B.2sin750cos75°

tan30°+tanl5°

C.cosl80cos42°+sinl80sin42°D.-----------------

l-tan30°tanl5°

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式,結(jié)合特殊角三角函數(shù)值逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】2cos215°-l=cos30°=->故A錯(cuò)誤;

2

2sin75°cos75°=sinl50°=sin30°=-,故B正確;

2

cosl80cos42°+sin18°sin42°=cos(18°-42°)=cos(-24°)￥；,故C錯(cuò)誤;

tan300+tanl5°

tan(30°+15°)=1,故D錯(cuò)誤,

l-tan30°tanl5°

故選:B.

5.設(shè)a=4°2,b=c=log020.4,則小c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.h<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】利用基函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出b,c的范圍，結(jié)合中間值“1”比較得結(jié)論.

【詳解】.."=4°-2=2叫b==304，：.l<a<b-.

???k)g()21<log020.4<log020.2,AO<C<1,

c<a<b.

故選：A.

6.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+0),(iJ恒成立，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.

B.

C./（x）在區(qū)間f上單調(diào)遞增

D./（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)[手,。）對稱

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得當(dāng)x時(shí)，/（x）取到最大值，結(jié)合正弦函數(shù)的最值可求得°=：+2E（ZeZ）,即

/(x)=sin(2x+；,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可得：當(dāng)x=2時(shí)，/（X）取到最大值，

8

則2x]+e=W+2也仕eZ）,解得°=：+2E（AwZ）,

71

/(x)=sin2x+—+2knI=sin[2x+—.

44

（q）=sinO=O,故A不符合題意;

對A：

對B：???小+笥=而「2仆+為+工71

sin（2x+7t）=-sin2x,

8J4

故函數(shù)/[x+F)=-sin2x為奇函數(shù)，故B不符合題意;

對■C：4-2^7t-—<2%+—<2kn+—^keZ）,解得配一名E+四（女eZ）,

24288

37t7T

故/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為E+(ZGZ),

oo

兀兀7171

/xe，則取4=0,可得/(x)在區(qū)間層上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C符合

6?6856

題意;

117T

對D：???/二sin3兀=0,.1，。對稱，故D不符合題意.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=?-x—且滿足對任意的實(shí)數(shù)%,工馬，都有一"')<0成立,則

x-x

log?x-l,x>lt2

實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

B.

452

]_

C.D.—,1

422

【答案】c

【解析】

【分析】依題意可得/(x)是R上的減函數(shù)，從而得到不等式組，求解即可.

【詳解】由題意可得：/(X)是R上的減函數(shù)，

0<?<1

則《—>1解得一<&<一,

2a42

ci-\—2—1

4

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是?

_42_

故選：C.

8.荀子《勸學(xué)》中說：“不積陛步，無以至千里；不積小流，無以成江海在"進(jìn)步率''和"退步率''都是1%的

前提下，我們可以把（1+1%）%5看作是經(jīng)過365天的“進(jìn)步值”，（1—1%）.看作是經(jīng)過365天的“退步值”,

則經(jīng)過300天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的（）（參考數(shù)據(jù)：1g101?2.0043,lg99a1.9956,10。87M7.41）

A.22倍B.55倍C.217倍D.407倍

【答案】D

【解析】

（i+o.oi）300fioiY00

【分析】“進(jìn)步值”與“退步值”的比值，-------—，再兩邊取對數(shù)計(jì)算即得解.

（1-0.01）I99）

【詳解】由題意得，經(jīng)過300天時(shí)，“進(jìn)步值”為（l+l%）'00,“退步值''為（1一1%）3°°,

（i+o.oi）300non300

則“進(jìn)步值”與“退步值”的比值，=；—ooijoo=［氨J，

兩邊取對數(shù)可得lgr=300（lgl01-lg99）,

又1g101=2.0043,lg99?1.9956,Ig，=3x0.87,

/.r=（100!i7）3=7.413?407,

即經(jīng)過300天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的407倍.

故選：D.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.下列不等式成立的是（）

B.sin400<cos40

〃.8兀7K

C.sin—<cos—D.sin2<cos2

78

【答案】BC

【解析】

71兀

【分析】將選項(xiàng)中所需比較的角,根據(jù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間內(nèi)，再根據(jù)丫=《11》》=85%兩個(gè)函數(shù)

2'2

的單調(diào)性進(jìn)行判斷大小即可.

【詳解】解：由于函數(shù)y=cos尤在［I一71,0）\上單調(diào)遞增，且一耳jr〈一IT一記7T<o,

2

71］

所以COS<cos--卜故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)遞增,

sin400=sin40<sin50=cos40，故選項(xiàng)B正確;

.871.兀.兀

因?yàn)?>sin—=-sin—>-sin—=-

7762,

77r兀71]_

COS———cos—<-cos—=

8832,

.8兀7兀

所以sm——>cos——，故選項(xiàng)C正確;

78

兀

因?yàn)橐?lt;2〈兀，所以sin2>0>cos2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

2

故選:BC

10.已知函數(shù)/(x)=ln(Jl+x2，則()

A./（X）的定義域?yàn)椋?,+8）B./（X）的值域?yàn)?/p>

C./（x）是奇函數(shù)D./（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減

【答案】BCD

【解析】

【分析】判斷Jl+%2-X的正負(fù)即可判斷選項(xiàng)A的正誤;判斷f（x）+f（-x）與0的關(guān)系即可判斷選項(xiàng)C的

正誤;通過/(%)=In,\—=一In(Vl+x2+%

，判斷y=jm+x及y=Tnx的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合

A/1+X+x'

函數(shù)單調(diào)性即可判斷/（x）在（0,+8）上單調(diào)性,進(jìn)而判斷選項(xiàng)D的正誤;根據(jù)單調(diào)性求［0,+8）的值域，根據(jù)

奇偶性再求(y,o］的值域，即可判斷選項(xiàng)B的正誤.

【詳解】解:因?yàn)?+—＞丁,所以

即J1+1_%＞0恒成立，所以函數(shù)/(x)的定義城為R,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?(x)+/(-x)=ln(Ji+Y一次)+In(Jl+Y+x)=In(1+/一/)=0,

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù),故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)?(X)=In,——L—=一In(V1+X2+x),

71+x+x

且函數(shù)y=&+f+%在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又有y=-lnX在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)=—ln(jm+x)在(0,+e)上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)D正確；

因?yàn)椤υ冢?,+“)上單調(diào)遞減，所以/(x)2/(0)=0,

因?yàn)椤癤)是奇函數(shù)，所以“X)在(—,0］上單調(diào)遞增，所以/(x)＜”0)=0,

綜上/(%)的值域?yàn)镽,故選項(xiàng)B正確.

故選:BCD

11.如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心。距離水面的高度為2.5m.設(shè)筒

車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d(單位：m)(在水面下時(shí)，”為負(fù)數(shù))，若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)

開始計(jì)算時(shí)間，d與時(shí)間f(單位：s)之間的關(guān)系為d=Asin(狽+8)+外A＞0,口＞0,一萬＜夕＜5卜則

C.cos0=—D.b=2.5

【答案】ACD

【解析】

［分析］根據(jù)實(shí)際含義分別求A,co,h的值即可，再根據(jù)t=Q,d=Q可求得sin。,進(jìn)而判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

2X27c

【詳解】振幅A即為半徑，，A=4;筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，.?.啰=1丁=一；

6015

d+d.4+2.5+(2.5-4)八八一

h=-^——=---------------<=2.5；???/=(),d=0,二0=4sin0+2.5,

22

故選:ACD.

12.下列命題中，是真命題的是()

2

A.函數(shù)/(x)=lnx一--在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)

4

VxeR,x?>0

C.已知a>0,h>0,且。+人=1,^\y/a+4b<y/2

2

D.如果2弧度的圓心角所對的弦長為4,那么這個(gè)圓心角所對的弧長為——

sinl

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A,利用零點(diǎn)存在定理即可判斷；對于B,利用指數(shù)基與根式的互化即可判斷；對于C,利用

基本不等式即可判斷；對于D,利用弧長公式求解即可判斷.

2

【詳解】對于A,因?yàn)椤?)=ln2—1<0,/(3)=ln3-->0,

2

所以/(2卜/(3)<0,故函數(shù)〃力=1門一提在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)，故A正確；

4

對于B，故B正確；

對于C,因?yàn)?G+=l+2j^Wl+a+b=2,所以G+

當(dāng)且僅當(dāng)=1且a=b,即。=匕=1時(shí)，等號成立，故C正確；

2

22

對于D,設(shè)半徑為R,則sinl=—,解得R=——，

Rsinl

24

所以弧長三，故D錯(cuò)誤.

sin1sin1

故選：ABC.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知函數(shù)〃x)=x(10'+，7?[(r')是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)，尸.

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=x(10'+機(jī)/07)是偶函數(shù)，

所以/(-X)=/(%),即m?10*)=x(10'+m10-'),

即?⑺+X-10)解得力=-l.

故答案為：-1.

14.sin10cos20cos40二?

【答案】I

【解析】

【分析】將式子上下乘以2coslO,然后利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可.

【詳解】解：sin10cos20cos40

_2cosl0sin10cos20cos40__sin20cos20cos40_sin40cos40_sin80_1

2cos102cosl04cos108cosl08

1

故答案為:8-

(五、

15.已知暴函數(shù)“X)的圖象過點(diǎn)2,方-,且/(力一1)</(2—匕)，則匕的取值范圍是.

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】設(shè)塞函數(shù)/(x)=￡,將點(diǎn)代入求出。的值，再利用尋函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】設(shè)需函數(shù)〃力=尤"，aeR，

因?yàn)槟缓瘮?shù)/(x)的圖象過點(diǎn)24,所以也=2",解得a=—；,

<2)22

，、-工1

所以/(x)=x2="7=/(X)的定義域?yàn)?0,+8)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減,

因?yàn)?(?—1)</(2—匕)，所以乃一1>2—/?>0,解得1<人<2,

故答案為：(1,2)

16.已知aw0,函數(shù)/(x)=2Gsinxcosx+2cos2x-\-a,g(x)=?log(x+3)-2,G

2嗚

VX2G[1,5],有/(%)=g(X2)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】I，I

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡/(X),由三角函數(shù)的性質(zhì)求得/&)€[-1一。,2一句，由題意得

g(x),xe[l,5]的值域是[-1-a,2-a]的子集，結(jié)合g(x)的單調(diào)性分類討論求解即可.

【詳解】/(x)=2>/3sinxcosx+2cos2x-\-a=>/3sinlx+cos2x-a=2sin2x+-\-a,

-兀兀7兀：.sin(2%+H)e

?/石￡2x4---￡J/(x)￡[—1—a,2—Q].

166,~6I6J4

兀

3%!e0,-,V/w[l,5],有/(%)=g(A2)，

g(x),xe[l,5]的值域是[一l-a,2一句的子集.

-1-a<2a-2

①當(dāng)a>0時(shí)，xe[l,5],則g(x)e[2a-2,3a-2],此時(shí),3a-242-a,解得，

[a>03

-1-a<3a-2

②當(dāng)a<0時(shí)，XG[1,5],則g(x)w[3a-2,2a-2],此時(shí)<2。-242-。，無解.

a<0

綜合①②，ae

「1]

故答案為：-,1.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知集合A={x|2a-l<x<_a},B—|x||x—1|<c2j

(1)若a=-l,求

(2)若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(aA)u8={x|x<—3或%>一1}

(2)a>Q

【解析】

【分析】(1)當(dāng)。=-1時(shí)，寫出集合A,求出集合8,利用補(bǔ)集和并集的定義可求得集合(々A)B；

(2)分析可知A8,分A=0、AN0兩種情況討論，根據(jù)AB可得出關(guān)于實(shí)數(shù)”的不等式(組),

綜合可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

解：當(dāng)a=—1時(shí)，A={x|-3<x<l},則/A={x|x?-3或x21},

因?yàn)?={乂,-1|<2}={xk2<x-l<2}={x|-1<x<3},

因此，=或x>-l}.

【小問2詳解】

解：因?yàn)椤皒eA”是“xe6”的充分不必要條件，則AB,

當(dāng)A=0時(shí)，2。一1之一。，解得a21，此時(shí)滿足A8；

3

當(dāng)AX0時(shí)，2a—1<—a,解得a<—,

3

要使A8成立，wd-o<3,解得0Wa<1,

13

a<—

[3

當(dāng)a=0時(shí)，A={x[-l<a<0}B,合乎題意.

綜上所述，a>0.

18.已知函數(shù)/(x)=ACOS?X+9)[A>O,0>O,闞的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求不等式“X)22的解集.

【答案】(1)/(x)=4cos(3x-y)；

2kn2兀2kn

(2)---,----1----僅eZ)

393

【解析】

【分析】(1)根據(jù)最值求出A的值，再根據(jù)函數(shù)的周期求出。的值，再根據(jù)最小值點(diǎn)求出夕的值即得解;

(2)利用余弦函數(shù)圖象解不等式cos(3尤一即得解.

【小問1詳解】

4(47171、2,71271

由圖知，A=4,最小正周期T=+而:?8=斤=3.

IZLjr147c7T

由圖象過點(diǎn)得3乂§+0=7i+2E(k€Z),解得°=一1+2酎1(keZ).

71

<—/./(x)=4cos|3x--

1^12

【小問2詳解】

由/(x)=4cos^3x-y^>2,得cos(3冗一2；,

：.-+2kn<3x~^<^+2kji(keZ),解得率WxW凈咨(&eZ).

0*7T"7TTD"7T

即不等式/(x)N2的解集為+{kGZ)

12

19.已知。>0,b>0,且—I—=2.

ab

(1)求助+2的最小值;

(2)若4"=3"=/，求/的值.

【答案】(1)4；(2)t=6.

【解析】

【分析】⑴化簡2。+人=：?仕+22。+6),再利用基本不等式求解；

21ab)

(2)根據(jù)已知求出Q=log4，/=log3f，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡得解.

【小問1詳解】

12

?.?。>0力>0,-+-=2,

ab

.c71(121(.h_[b~4a.

??2a+/?=一,—I—|(2a+Z?)=—4H1---22+J—,—=4,

2[ab)y，2(ab)\ah

當(dāng)且僅當(dāng)2=超，即匕=2a=2時(shí)，等式成立，

ab

???加+人的最小值為4.

【小問2詳解】

,.?4"=3"=，，r>1,<2=log4r,Z?=log3Z,

1,,1,c

-=log,4,-=log,3,

ab

12,

.??一+—=log,4+2log,3=log,4+log,9=log36=2.

abz

所以產(chǎn)=36.

*.'/>!,z=6.

2V-1

20.已知函數(shù)十)=湎7r

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并用定義法證明；

(2)若不等式/(%?3')+/(3、一9'-4)<0對任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】⑴"X)在R上是增函數(shù)，證明見解析

(2)(-w,3)

【解析】

【分析】⑴利用單調(diào)性定義,對函數(shù)/(x)取值，作差，變形至幾個(gè)因式乘積，判斷正負(fù)后得出結(jié)論即可;

⑵先判斷一(X)的奇偶性，將不等式/33')+/(3'-9'-4)<0化為/(23)</(9'-3'+4),再根據(jù)

(1)中的單調(diào)性結(jié)論，變?yōu)閔3*<9'-3、+4恒成立，對不等式全分離后，利用基本不等式即可求得最值，進(jìn)而

求得&的取值范圍.

【小問1詳解】

在R上是增函數(shù)，

皿…/八2T11

1'^X^~2X+'+2~2~2X+1'

設(shè)王<々,貝"C=“一六”［嬴］)，

因?yàn)檎糴x?，所以2為一2&<0,2*+1>0,2丹+1>0,

所以/(%)一/(%2)<。,即/(%)</(%)，

故"X)在R上增函數(shù).

【小問2詳解】

由于/(_彳)=4-=1/、=_/(x),

''22-*+121+2'2x+'+2')

所以/(x)是奇函數(shù)，

因?yàn)椴坏仁?卜?3*)+/(3、一9'-4)<0對任意％eR恒成立，

所以不等式/卜?3")<-/(3"-9*-4)=/(9'-3'+4)對任意xeR恒成立，

由⑴知/(x)在R上是增函數(shù)，

所以只需不等式k-3'<9X-3'+4對任意xeR恒成立即可，

4

即不等式％<—1+3*+丁對任意xeR恒成立，

3(

即女<—1+3，+*對任意xeR恒成立，

因?yàn)椤?+3*+色2-1+2、3口q=3(當(dāng)且僅當(dāng)3、=2時(shí)等號成立)，

3、V3”

故(―1+3'+±］=3,所以《<3即可，

即實(shí)數(shù)人的取值范圍為(-oo,3).

21.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(0)=2,且對任意的yeR,都有

/(肛+l)=/(x>/(y)—2/(y)-2x+3.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x—求函數(shù)g(x)的值域.

【答案】(1)/(x)=x+2

9

(2)——,+oo

4

【解析】

【分析】(1)令x=y=0,可得出/(1)的值，然后再令y=0,可求得函數(shù)/(x)的解析式;

9

(2)令而i=令〃(f)=其中120,利用二次函數(shù)基本性質(zhì)求出入。)的值域,

4

即為函數(shù)g(x)的值域.

【小問1詳解】

解：令x=y=0,得〃1)=〃0>〃0)—2〃0)+3=22-2X2+3=3,即"1)=3.

令y=0,則/(l)=/(x〉/(O)-2/(O)—2x+3=2/(x)-2x-l,則/(x)=x+2.

【小問2詳解】

解：由(1)得，g(x)=%-^/(x)=x-Vx+2(%>-2).

1Y9

令Jx+2=t20,則犬=戶一2，所以，g(x)=f2—2-7=t