2023數(shù)學(xué)高考真題知識題型08三角恒等變換問題(教師版)

專題08三角恒等變換問題

【高考真題】

1.(2022?新高考II)若sin(a+￡)+cos(a+.)=2/cos(a+：)sinQ,貝(J()

A.tan(。—￡)=1B.tan(a+夕)=1C.tan(a—/?)=-1D.tan(a+/?)=—1

1.答案C解析由已知得，sinacos^+cosasiny?+cosacosjfi+sinasiny?=2(cosa-sina)sin/?,即sinacos￡

+cosasi印+cosacos￡+sinasin夕=0,即sin(a—p)+cos(a—p)=0.所以tan(a—y?)=-1.故選C.

2.(2022?浙江)若3sina—siM=?I5,則sina=,3s20=.

2.答案胃p1解析a+/)=l，：.sin/?=cosct,即3sina-COS^^A/TO,BP-\/T6(^^sin?-^^cos6()

=A/TO,令sin8=W^g,cos9=殳j俱，則qi6sin(a—。)=，1小，；?。一。=百+2%兀，Z￡Z,即0=夕+與+2々兀,

1VZ1VZ44

TT3\/T54.3-\/TO4

???sina=sin(M+/+2)7i)=cos：=，則cos2/?=2cos2/7—1=2sin2a—1=§.故答案為'”與

【知識總結(jié)】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l=>sina=±\f1—cos2a.

(2)商的關(guān)系：$畝a=gna(aWE+%MZ)).

cosa\,乙)

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

2E+n

角兀+a~a7i-a2-a

a(k^Z)

正弦sina-since一sinasinacosacosa

余弦cosa-cos。cosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，爾F號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

3.三角恒等變換

(1)和角差角公式：

cos(a+夕)=cosacosyff—sinasin夕,cos(a一份=cosacos^ff+sinasin夕，

sin(a+4)=sinacos/?+cosasinQ,sin(a一夕)=sinacos^—cosasin/?,

.八tana+tan夕八tana-tan/?

tan(O[+)=

^l-tanatan/tan(a—”)=i+ranatan/?-

(2)二倍角公式：

sin2a=2sinacosa,

cos2a=cos2a—sin2?=2cos2ct_1=1—2sin2a,

2tana

tan2a=

1—tan2a*'

(3)降器公式：

.1—cos2a1+cos2a

sino.—3?cos(X-?

(4)輔助角公式：

asinx+/?cosx="\/a2+Z?2sin(x+^),其中tan(p—^-

【同類問題】

題型一給角求值

1.tan105°等于()

A.2—小B.一2一小C.小一2D.—在

tan600+tan45°5+1(小+1>4+2小

1.答案B解析105°=tan(60°+45°)=2

1-tan60°tan45。一1一小一尖一小)(1+小)--2

一事.

1—卷L。。等于(

2.)

B.1

A.1D.

C.22

sin10°_______sin10°cos10°________2sin100cos10°_________sin20°

2.答案B解析

1—V3tan10°cos10°—V§sin10°.(1…近.L4sin(30°—i0°)一4

41-cos10°—"y-s,n10J

3，化間tan27.5°-7sin27.50+cos27.5°等于()

A.坐B.茅C.^3

D.2

tan27.50+lsin27.50+cos27.5°

3.答案B解析原式=

tan27.5°—8sin27.50+1sin27.5°—8sin27.5°cos27.5o+cos27.5°1—2sin215°

1_2小

cos30。=3,

4.sin4(r(tan10。-5)等于()

A.2B.-2C.1D.-1

..._(sin10°r-Asin10°—>\/3cos10°

r=400-—sin

4.答案D解析sin40°-(tan10°—V3)sin\COSIO^APJ=sin40°-cos10。~

2(jsin100-22"COS100)2(COS60°-sin10°-sin60°cos100)2sin(10°-60°)

40°-------------------------------=sin40°---------------------------------------------=sin400---~~--=

o-2sin50。-2sin40。cos40。一sin80。

4°cos100-cos10°-cos100-

5.cos20°-cos400?cos100°=

5.答案—!解析cos20°-cos40°cos100°=—cos200-cos400-cos80°=

o

|sin40°-cos40°-cos80°|sin80°-cos80°[sin160°

sin20°cos20°-cos40°-cos80°o

sin20°sin20°sin20°sin20°

|sin20°

o1

sin20°8,

cos40°,,/土、L

6.-------------1的值為()

cos25°Vl-sin40°

A.IB.小c.小D.2

cos220o-sin220°cos20°+sin20°亞cos25°r-

6.答案C解析原式=?

cos250(cos20°-sin20°)cos25°cos25°=32

tan67.5」嬴懸的值為（）

7.

A.1B.y[2C.2D.4

sin67.5°sin67.5°cos67.5°sin267.5°-cos267.5°

7.答案C解析tan67.5°

tan67.5°cos67.5°sin67.5。cos67.5°sin67.5°sin67.5°cos67.5°

cos67.5°

-cos135°

-----=2.

1.

2s,n135°

小一tan12。

8.求值:

(2cos212°-l)sin12°

Esin12。

中cos12°小cos120-sin12。2sin(60°—12°)2sin48。

8.答案8解析原式=

cos24°sin12°-cos24°sin120cos12°|sin48°:sin48°

l-2cos2153°

9.已知根=2sin18°,若/?22+H=4,則。等于（）

A.T

B.c.ID.

9.答案B解析因為m=2sin18°,，/+〃=4,所以〃=4—"戶=4—45出2]8。=48$218°,因此

l-2cos2153°—cos306°—cos54°—sin36°2

2sin18°-2cos18°2sin36°2sin36°2,

10.（多選）下列各式中，值為3的是（）

l+cos!

tan22.5。

A.cos哈—sin哈C.2sin195°cos195°D.

1-tan222.5°-2-

。答案BC解析cos哈-Sin哈…（2X色=c°sA當(dāng)故A錯誤;言言予與言恚

|tan45°故B正確；2sin195°cos195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°

l+cos!

2+^\/5[2+^^

=；,故C正確;4,故D錯誤.

-2-42

題型二給值求值

（2021?全國乙）cos2^—cos喑等于（）

11.

1B.坐

A.5*DY

57r

11.答案D解析因為cos克=sin

71

=cosd=2,

12.（2020?全國I）已知（0,71）,且3cos2a—8cosc=5,貝!|sina等于（）

止

在21

-c-

A.3B.33D.9

12.答案A解析由3cos2a—8cosa=5,得3（2cos2g—1）—8cosa=5,即3cos%—4cosa—4=0,解

2

得cosa=-q或cosa=2（舍去）.又因為a￡（0,n）t所以sin?>0,所以sina

亞

3-

（2019.全國II）已知a￡（0,習(xí)，2sin2a=cos2a+1,則sina等于（）

13.

12小

A?5

5?5

13.答案B解析由2sin2a=cos2a+1,得4sinacosa=1—2sin2a+1,即2sinacosa=1—sin2a.因

為a￡（0,解得sina=~^.

,所以cossin2?,所以2sina\]]-sin2a=l-sin2a,

（2021.全國甲）若升tan2kcosamif一

14.=,則tana等于（）

BYc-乎D.乎

ELcsin2a2sinacosacosa匕匕?2sinacosa

14.答案A解析方法一因為tan2a=---^~=~,—>?1，且tan2a=所以不五嬴

cos2a1—2sin2a2—sina

cosa因為aC（0,所以cosV15sina

解得sintana=-----

2-sinaa=4，cosais?

2sina

2tanacosa_2sinacosa_2sinacosa且cosa

方法二因為tanla—tan2a—所以

1—tan2a1sin2acos2a—sin2a1—2sin2a'

cos2a

2sinacosacosa解得sina=^.因為a￡（0,3,所以cosa=^^,sinaVis

tana—

1-2sin2a2-sinacosa15,

若cos（7—a"）=1,則cos停+2a）等于（）

15.

2277

-_-u-_-

A.9B.99D.9

15.答案C解析cos^—/.cos^—=sin1(專一=§皿(鼻+〃)=：,1.cos伶+2a)=1

-2sin2^+a)=l-|=j.

16.已知sin(a—])+小cosa=；,則sin(2a+§等于()

22_7

D.

~9

-cosasin|+V3cos?4.-.|sina-^cosa

16.

+]=cos2(a

=2cos2^a~1=2X(；＞—1=一,

17.已知=2cos(兀一a),則tan)

1

A.—3B.C.D.3

3

，tan(；+a)=

17.答案C解析即tana=—2,

71.

tan[十tana

1-21

7Cl-lx(-2)3e

1—tan不ana

18.已知a,即兀)sin(a+^)=-I，sin(^—^)=y|,貝ijcos(a+^=

18.答案一1|解析因為明￡￡仔，兀），所以竽V仁+廬2兀,與＜用一土牛，因為sin（a+/?）=—sin%—彳）

=H，所以cos（a+Q）=,,COS,一皆=一專,所以cos（a+?=cosa+Q—（4-；）]=cos（a+/）cos（，一；）

+的3+#sinb司=3（_菊十（_券*《

19.已知cos（0+*=[^,夕0（0,。貝I」sin（20—9=.

A_ozx1+cos（26+2）]/\A

19.答案得上解析由題意可得cos2（0+?=-----1——古，cos（20+?=—sin28=V，即

sin2T.因為cos[+；）=喘＞0,裝（0,。所以0＜若，2隹（0,習(xí)，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)

系式，可得cos26=,,由兩角差的正弦公式，可得sin（26-1）=sin2%oscos28sin畀5＜；—

4-3^3

10

20.設(shè)a,夕￡(0,n),sin(a+6)=專，aii

tan-=",則cos6=

_.?aca

2sin^cos12tan5

20.答案一黑解析因為ta若上4JCJ,

,所以sina=2sin^cos^=5，cosa=cos?-

OJ22

s?iir,十1cos-5i1十1t.anf

cos2^-sin-TI-tan-Tq八/八，冗、

sin2?=--------------二=---------~=7ez,4).又?e(0,兀)，所以〃￡匕，彳)，又少￡(0,7i),所以a

cos-2i-sin^1十tan-y

+尸G。學(xué).又sin(a+P)=^e(0,；),所以a+蚱假，n),所以cos(a+￡)=—11,所以cos'=

cos[(a+/?)-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+^)sina=-77.

題型三給值求角與多選題

21.已知4,B均為鈍角，且sin）+cos（A+1二3臚,疝8=鳴，則A+B等于（）

3兀-5兀-7兀-7兀

A?7B?ac.yD.y

21.答案C解析因為sin4+cos（A+/）=’~您K所以^—y^+^cosA—^sinA=5即:

乙1kz/J41\J4

nA=氣運，解得sinA=乎，因為A為鈍角，所以

邛5.由sinB=至jp.所以cos(A

yio且3為鈍角，得cosB=_71—sin%=一

10，

+8)=cosAcosB—sinAsin8=(—乎乎.又4,8都為鈍角，即

所以4+5￡(兀，2兀)，所以4+5=彳.

22.已知a,//均為銳角，cosa=2^,sin/?=]§,則cos2a=,2a-p=.

22.答案|T解析因為cosa=^^，所以cos2a=2cos2。-1=；.又因為均為銳角，sin/?=4g,

所以sin1==廠，cosp=[1,因此sin2a=2sinacosa=-所以sin(2a—yff)=sin2acos/?—cos2asinp

=￥*4i—吳害=坐因為a為銳角，所以0<2"兀?又cos2a>0,所以0v2a與又夕為銳角，所

ITTT\/3JT

以一]<2a一加節(jié)，又sin(2a—/?)=2?所以2a一4=§.

23.已知a,萬￡（0,71）,且tan（a一尸）=；,tan4=一劣，則2a—￡的值為

3兀4力in*.c?etan(?—5)+tanp271

23.答案-T斛析?lana=lan[(a—份+，|=^一~;一~/"’=---；一-7=7>0,且?！?0,兀),

4Hl-tan(a-^)tan^1+9；3

?八兀r??入2tana33c.ec兀tan0=一；<O,眸g,兀)，/.^<^<7c,

.?0<a<T.又,tan2a=~尸=---77V=T>0,..0<2a<z.

21—tan-a42

3.1

4+7

tan2a~~tan0_3K

-n<2a一夕<0.*.*tan(2a—p)=7一1,?.2Q一夕=-T

1+tan2?tanp

1i--4x-7

24.已知銳角a,￡滿足sina=乎，cos/?=與限，則a+4等于（）

A.苧B.；或竽C.；D.2E+*%GZ）

24.答案C解析由sina=乎，cos夕=?噂且a,夕為銳角，可知cosa=^^,sin^=^^,故cos（a

+￡）=cosotcos6一sinasin0一坐=坐,又0<1+￡<兀，故a+￡=彳.

25.已知方程9+3以+3〃+1=03>1）的兩根分別為12回，ta”，且匿尸￡（一爭。則儀+4=

tana+tanB=-3a,tana+tan￡—3a

25.答案y解析依題意有，所以tan(a+4)=

tana-tanB=3a+1,1—tanatanp1—3a+1

tana+tan5<0,兀n

1.又所以tana<0且tan°<0,所以—r<a<0且一大<6<0,即—K<a+^<0,結(jié)合tan(a

tana-tan/?>0,22

371

+優(yōu)=1,得a+4=一彳.

26.設(shè)a,夕￡[0，呼且滿足sinacos/?—cosasin/y=1,則sin(2a—五)+sin(a—2夕)的取值范圍為.

26.答案[―1,1]解析由sinacosQ—cosasin4=1,得sin(a一份=1,又a,￡￡[0,兀],—n<a—

0<a<7t,

作兀，.,.a一夕=白，.丁兀即1.??sin(2a—Q)+sin(a—2/?)=sin(2a—a+?)+sin(a—2a

20^S=a一云冗，2

+7t)=cosa+sina=^2sin^a+^).*.*^<a<7c,/.^<a+^<^,—l<V2sin^a+^)<l,即sin(2a—￡)+

sin(a—2尸)的取值范圍為[—1,1].

27.已知九，y￡(0，3)，sin(x+y)=2sin(x—y),則x—y的最大值為()

Tt7T7171

A.B.C.D.

3648

=

27.答案B解析isin(x+y)2sin(x-y)#sinxcosy+cosxsiny=2sinxcosy—2cosxsinyf則tanx=

3tany,所以tan(x—y)=一苦,當(dāng)且僅當(dāng)tan,=乎時等號成立，

-----+3tany

tany*

由于/(x)=tanA?在大￡(0,守上單調(diào)遞增，又x,y￡(0，"則不一丁的最大值為去

28.(多選)下列四個選項中，化簡正確的是(