2023人教A版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)參考題3

復(fù)習(xí)參考題3

復(fù)習(xí)鞏固

1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=Jx-2Jx+5；

【答案】(1)[2,+co)；(2){x|x..4且戶5}

【解析】

【分析】要使函數(shù)有意義，則偶次方根的被開方數(shù)大于等于零，分母不為零，即可

得到不等式組，解得即可，需注意定義域?yàn)榧?，需寫成集合或區(qū)間的形式；

,----,------fx-2..Ofx.2

【詳解】解：(1)要使函數(shù)^=足！??7?有意義，則uC，即U，解

x+5..()[x.,-5

得工.2,故函數(shù)的定義域?yàn)閇2,+8).

Jr-4[x-4..Ofx.4

(2)要使函數(shù)丁=注:有意義，則(即解得"4且xw5,

|x|-5[兇一5彳0[XH±5

故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x..4且xw5}.

1—X

2已知函數(shù)/⑴=幣‘求:

(1)/3)+1("-1)；

(2)/(。+1)("-2).

2

【答案】⑴百

a

(2)

。+2

【解析】

【分析】

(1)直接代入數(shù)據(jù)化簡得到答案.

(2)直接代入數(shù)據(jù)化簡得到答案.

1—Q2

【詳解】⑴/⑷+1=用+=而

//1—（。+1）a

⑵八"+1）=用7丁*5

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)表達(dá)式，屬于簡單題.

1-UV2

3.設(shè)/(幻=上與，求證:

\-x-

(1)/(-X)=/(X)；

(2)/(-)=-/(%).

X

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)將-、代入川,所得表達(dá)式與小)=魯比較即可得證.

|1V--

(2)將一代入/(*),所得表達(dá)式與/(*)=匕=比較即可得證.

x\-x

1+1）21+x2

【詳解】(1)/(一幻==fM.

1一（一X）21-x2

所以/（一x）=f（x）；

\+x2

（2）/（-）

2=一/O）,

X1-x

所以/d)=—〃x).

X

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知函數(shù)/(x)=4/一日一8在[5,10]上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【答案】(7,40][80,4W)

【解析】

【分析】由題意結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意得，^-<5^->10,解得，心40或左280,

88

故人的范圍（F,40]U[8（）,M）.

5.已知幕函數(shù)y=/（x）的圖象過點(diǎn)[2,孝），試求出此函數(shù)的解析式，并畫出圖

象，判斷奇偶性、單調(diào)性.

【答案】/（》）=H，函數(shù)的圖象見解析，了⑴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，在（°，+a）

上遞減.

【解析】

【分析】

設(shè)/（》）=/,代入點(diǎn)（2,得到函數(shù)解析式，再畫出圖像，判斷奇偶性和單調(diào)性

得到答案.

【詳解】依題意設(shè)/（%）=/,則2"=*,解得々=一,，所以/⑶:/上

22

函數(shù)/（A-）=fl的圖像如圖，

/（X）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，函數(shù)/'（X）在（（）,+力）上遞減.

【點(diǎn)睛】本題考查了基函數(shù)的解析式，圖像，奇偶性，單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于

幕函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

6.某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔''的固定成本為

20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函

400x--Z(0<x<400)

數(shù)H(x尸2'),其中x是“玉兔''的月產(chǎn)量.

80000,(x>400)

(I)將利潤/(x)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益=總成本

+利潤)

--x2+300x-20000,((M400)

【答案】(1)/(%)=2

-100x+60000,(%>400)

(2)300,250007C.

【解析】

【分析】(1)由題意，由總收益=總成本+利潤可知，分怎k400及x>400求利潤,

利用分段函數(shù)表示；

(2)在嗯/400及x>400分別求函數(shù)的最大值或取值范圍，從而確定函數(shù)的最大

值.從而得到最大利潤.

【小問1詳解】

由題意，當(dāng)噴火400時，/(x)=400x-O.5%2-20000-100x=300x-0.5x2-20000;

當(dāng)X>400時，/。)=80000-100x-20000=60000-100%;

.--x2+300x-20000,(Oiljv400)

故/(x)=j2；

-100x+60000,(%>400)

【小問2詳解】

當(dāng)瞬k400時，/(x)=300x-0.5x2-20000；

當(dāng)x=300時，f(x)1mx=/(300)=25000(元)

當(dāng)x>400時，/(x)nm</(400)=20000)

25000>20000,

???當(dāng)x=300時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元.

綜合運(yùn)用

x（x+4）xN0

7已知函數(shù)/*）=MI）：二。‘求了⑴的值.

(。+1)(。+5),a>-l

【答案】/⑴=5"(-3)=21J(a+1)=<

(Q+1)3—3),a<—\

【解析】

【分析】

討論。+1“和a+l<0,直接代入數(shù)據(jù)計算得至惜案.

【詳解】/⑴=lx(l+4)=5J(—3)=—3x(—3—4)=21.

當(dāng)a+120即a2-1時，/(a+1)=(。+1)(。+1+4)=(a+1)(。+5).

當(dāng)a+l<0即a<T時，/(a+l)=(a+l)(a+l—4)=(a+I)(a—3).

1、（a+l）（a+5）,a>-\

：./（a+l）=〈

（a+l）（a—3）,a<—\

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

8.證明：

（I）若f（x）=ar+b,則/（』）；/（1）

⑵若則g（巖卜g（一；g⑷.

【答案】（I）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（I）直接代入數(shù)據(jù)化簡得到證明.

（2）代入數(shù)據(jù)得到g=；（片+x；++b,

g（叱g（/）=*；+目+。（宥"根據(jù)

；（x；+考+2%%2）-g（X：+考”0得到證明.

方+々)=。(芯+々)+8_aX]+b+ax?+b_/（一）+/（々）

【詳解】(1)/

222

（2）g（g^]=*；+x；+2X|X2）+a（g^）+b,

+叫=#;+只)+《七習(xí)+氏

+ax2

因?yàn)?(片+E+2芭尤2)_((片+6)=_；(玉_%2『《。，

貝l]；（x；+君+2xtx2j+a"-；""）+Z?Vg（x；+x；）+a-L；々]+1.

所以g(巖卜必嚴(yán).

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的大小比較，意在考查學(xué)生的計算能力.

9.請解決下列問題：

(1)已知奇函數(shù)/(x)在值旬上單調(diào)遞減，那么它在［-a-旬上單調(diào)遞增還是單調(diào)

遞減？

(2)已知偶函數(shù)g(x)在口,加上單調(diào)遞減，那么它在a］上單調(diào)遞增還是單調(diào)

遞減？

【答案】(1)奇函數(shù)/(x)在［-"-0上也是減函數(shù)

(2)偶函數(shù)g(x)在［-"-0上是增函數(shù)

【解析】

【分析】

(1)奇函數(shù)f(x)在［-b,-a］上也是減函數(shù)，任取-匕4玉<&4-。，則

a<-x2<-Xi<b,計算/(百)>/(馬)得到證明.

(2)偶函數(shù)g(x)在［一包一〃］上是增函數(shù)，任取-力4苞4-。，則

a<-x2<-xx<b,計算g(%)<g(x2)得到證明.

【詳解】(1)奇函數(shù)f(X)在［-函一0上也是減函數(shù),

證明如下：任取-b<xl<x2<-a,貝!J。<—x2<一玉Wb.

因?yàn)?(X)在例上是減函數(shù)，所以/(一%2)>/(f).

又了⑴為奇函數(shù),所以/(r)=-/(x),于是一/(9)>―/(3),即/(3)>/(%).

所以,f\x)在［-b,-a］上是減函數(shù).

(2)偶函數(shù)g(x)在［-仇-a］上是增函數(shù),

證明如下：任取一。<玉<工2<，則。<一々<一斗".

因?yàn)間(x)在［。,加上是減函數(shù)，所以g(-/)>g(-王).

又g(x)是偶函數(shù)，所以g(—x)=g(x).于是g(xJ<g(X2).

所以g(x)在［-b,-a］上是增函數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，意在考查學(xué)生的推斷能力.

10.某地區(qū)上年度電價為0.8元/(kW-h),年用電量為akW-h,本年度計劃將電

價下降到區(qū)間［0.55,0.75］(單位：元/(kW?h)內(nèi)，而用戶期望電價為0.4元/

(kW-h).經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增用電量和實(shí)際電價與用戶的期望電價的差成

反比(比例系數(shù)為％).該地區(qū)的電力成本價始終為0.3元/(kW-h).

(1)寫出本年度電價下調(diào)后電力部門的利潤了(單位：元)關(guān)于實(shí)際電價》(單

位，元/(kW-h))的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)左=0.2”，當(dāng)電價最低定為多少時，仍可保證電力部門本年度的利潤比上

年至少增長20%?

【答案】(1)y=(^l+a)(x-0-3)，xe［0.55,0.75］；

(2)0.6元/(kW-h)吐

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合反比例的定義進(jìn)行求解即可:

(2)根據(jù)題意得到不等式組，解不等式組進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)y=j-477+a](x—0-3)，[0.55,0.75]

Ix—().4J

⑵當(dāng)』.2。時，二冷+。"。3）

(0.2a

<L-0.4+a(x-0.3)>a(0.8-0.3)(l+20%)

由題意可得:

0.55<x<0.75

%2—1.lx+0.320

整理得:解得0.6WxV0.75

0.55<x<0.75

所以當(dāng)電價最低定為0.6元/（kW?h）時，仍可保證電力部門本年度的利潤比上年

至少增長20%

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了一元二次不等式的解法應(yīng)用，考查了數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力.

拓廣探索

11.經(jīng)濟(jì)學(xué)家在研究供求關(guān)系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸

來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應(yīng)曲線，哪條

表示客戶希望的需求曲線？為什么？

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)隨著產(chǎn)品數(shù)量的上升，單價的變化情況得到答案.

【詳解】題圖（1）中的曲線表示廠商希望的供應(yīng)曲線;

題圖（2）中的曲線表示客戶希望的需求曲線.

從題圖(1)觀察，隨著產(chǎn)品數(shù)量的上升，單價越來越高，可見是廠商希望的供應(yīng)

曲線；

而題圖(2)恰恰相反，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量逐漸上升時，單價越來越低，由此判斷是客戶

希望的需求曲線.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，意在考查學(xué)生對于函數(shù)圖像的理解和掌握.

12.試討論函數(shù)y=x-，的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，并畫出函數(shù)圖象.

X

【答案】定義域?yàn)閧X|XHO},值域?yàn)榉苍?-8,0),(0,物)上為增函數(shù)，奇函數(shù),

圖像見解析

【解析】

【分析】

計算函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，畫出函數(shù)圖像得到答案.

【詳解】定義域?yàn)閧XIXHO},值域?yàn)镽

e(-oo,0),且看<*2，則乂一%=%一---一/一--=—~

XI^2)玉々

Vx1,x26(-00,0),/.xtx2>0,-x2<0,xtx2+1>0,.?.%—為<0，即X<必.

y=x-』在(-8,0)上為增函數(shù).

X

Vxp%2e(0,+8),且為<超，則y一%=——%)°內(nèi)+1).

XjX2

)

XpX2€(0,4-00,且玉<x2,:.x{x2>0,x1x24-1>0,x,-x2<0.

X-%<°.即>1<%-，〉=%-！在(°，+8)上為增函數(shù).

X

設(shè)/(x)=y=x+個幻…

一/(x).

/(x)=y=是奇函數(shù).

X

y=的圖像如圖.

X

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，圖像，意在考查學(xué)生

對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

13.如圖，Q48是邊長為2的正三角形，記一33位于直線x=r(r＞0)左側(cè)的圖

形的面積為了?).試求函數(shù)＞=/(。的解析式，并畫出函數(shù)＞=/(。的圖象.

函數(shù)圖象見解析;

【解析】

【分析】在求/⑺的解析式時，關(guān)鍵是要根據(jù)圖象，對［的取值進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾?/p>

后分類討論，給出分段函數(shù)的解析式后，再根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象.

【詳解】解：（1）當(dāng)時，

如圖，設(shè)直線X=f與.。分別交于。、。兩點(diǎn)，則|OC|=『,

CDBCFT.r-

又---=---=,.,*|CD|=>/3/,

OCOE

f(r)=；|OC|.|C0=；i.①=爭

(2)當(dāng)l<f,,2時,

如圖，設(shè)直線x=r與.OAB分別交于M、N兩點(diǎn)，則|AN|=2-

又出理出石

|A7V|\AE\1

11/o/0

?，./(r)=--2-V3-—(2-r)2=-—r+2V3z->/3

2222

(3)當(dāng)r>2時，/Q)=百

爭2,0<小

綜上所述/⑺一骨+2后一G,i<a2

房>2

14.某商場經(jīng)營一批進(jìn)價為30元/件的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單

價x(單位：元)與日銷售量y(單位：件)之間有如下表所示的關(guān)系.

X30404550…

y