選修41幾何證明選講公開課一等獎市優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件

選修4－1幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)一、平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也

．推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必

．推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線

．相等平分第三邊平分另一腰二、平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段

．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段

．成比例成比例三、相似三角形的判定及性質(zhì)1．判定定理2.性質(zhì)定理1．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，圖形中共有x個三角形與△ABC相似，則x的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：由題意知，△ACD和△CBD與△ABC相似，故x＝2.答案：B2．(課本習(xí)題改編)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC且＝2，那么△ADE與四邊形DBCE的面積比是()答案：C3．如圖，F(xiàn)為?ABCD的邊AD延長線上的一點，DF＝AD，BF分別交DC，AC于點G，E，EF＝16，GF＝12，則BE的長為()A．6 B．8 C．12 D．15解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8，故選B.答案：B4．(課本習(xí)題改編)如圖，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，則BC的長為________．解析：?E為AD的中點，M為BC的中點．又∵EF∥BC?EF＝MC＝12cm.∴BC＝2MC＝24cm.答案：24cm5．(2012年湖南十二校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點E，F(xiàn)分別為線段AB、AD的中點，則EF＝________.解析：連接DE，可知△AED為直角三角形，則EF是Rt△DEA斜邊上的中線，其長等于斜邊長的一半，為.考向一平行線分線段成比例定理的應(yīng)用[例1]如圖，△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，過A作AH∥BE.連接ED并延長交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的長．1．(2013年天津武清模擬)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，則DE＝________.答案：6考向二相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用[例2](2013年大連四校聯(lián)考)如圖，設(shè)M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于點F，EM交BD于點G.(1)寫出圖中三對相似三角形，并對其中一對作出證明；(2)設(shè)α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的長．[解析]

(1)依題意可知△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM.∵∠AMF＝∠B＋∠D，∠BGM＝∠DME＋∠D，又∠B＝∠A＝∠DME＝α，∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM.2．如圖，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E，F(xiàn)兩點，證明：AF·AD＝AG·BF.證明：因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA. 從而有＝，即AF·AD＝AG·BF.考向三射影定理的應(yīng)用[例3]如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，試證明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.[證明](1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.【創(chuàng)新探究】巧構(gòu)相似三角形求面積之比【典例】(2011年高考廣東卷)如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________．【思路導(dǎo)析】

延長線段AD與BC構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)定理求解．【解析】

將線段AD與BC延長交于點H(如圖所示)．根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方，可得，故梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為7∶5.【答案】

7∶5【高手支招】借助圖形判斷三角形相似的方法：(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊