2023年高考數(shù)學一輪復習（藝考）第06講事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式高頻考點（原卷版）

第06講事件的相互獨立性、條件概率與全概率

公式（精講）

目錄

第一部分：知識點精準記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：相互獨立事件的概率

題型二：條件概率

題型三：全概率公式的應用

第一部分：知識點精準記憶

知識點一：相互獨立事件

對任意兩個事件/與6,如果P（/8）=°（/）P（8）成立，則稱事件/與事件6相互獨立（mutually

independent）,簡稱為獨立.

性質(zhì)1：必然事件不可能事件0與任意事件相互獨立

性質(zhì)2：如果事件/與8相互獨立，則/與5，7與B,7與豆也相互獨立

則:尸（/同=尸（42（磯產(chǎn)（初）=“卜⑻,P（）辦咐所）

知識點二：條件概率

P（BM）=P（"3）

1、定義：一般地，設“，8為兩個隨機事件，且°（/）＞°,我們稱尸（“）為在事件〃發(fā)生

的條件下，事件8發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2、乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件〃與8,若P（/）＞°,則P（/6）=P⑷?P（8M）

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.我們稱上式為概率的乘法公式.

3、條件概率的性質(zhì)

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設則

①P（QM）=1；

②如果3和C是兩個互斥事件，則尸（8UC|/）=p（61/）+P（C|A）.

③設公和6互為對立事件，則尸向⑷=1-尸（81，）.

④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：0?P⑻⑷41.

知識點三：全概率公式

1、定義：一般地設&4,4…4是一組兩兩互斥的事件，41）42四--114=0,且p（4）＞°,

p（8）=fp（4）p（6|4）

'=1,2,3,4…〃，則對任意的事件8=0,有,=!，我們稱此公式為全概率公式.

2、全概率公式的理解

全概率公式的直觀意義：某事件8的發(fā)生有各種可能的原因％（i=L2,3,4…〃），并且這些原因兩兩互

斥不能同時發(fā)生，如果事件8是由原因4所引起的，且事件4發(fā)生時，氏4：必同時發(fā)生，則尸（8）與

P（R八fp（84）=￡p（4）P⑻4）

有關(guān)，且等于其總和I

“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個總和，需已知概率0（'4）,或已知各原因4發(fā)生的概率

0（4）及在4發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率尸（814）.通俗地說，事件B發(fā)生的可能性，就是其原因4發(fā)生

的可能性與已知在4發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的可能性的乘積之和.

第二部分：典型例題剖析

I

題型一：相互獨立事件的概率

典型例題

乂TI本期M維'IX供紗為恒儀刎際

例題1.（2022?北京豐臺?高二期中）如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面分別標以數(shù)字1到8,

任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設該數(shù)字為x.若設事件｛="x為奇

數(shù)”，事件8="x為偶數(shù)"，事件C="x為3的倍數(shù)”，事件。=“x43”，其中是相互獨立事件的

是（）

A.事件A與事件￡B.事件8與事件C

C.事件A與事件。D.事件。與事件。

例題2.（2022?湖北?應城市第一高級中學高二階段練習）袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的2個白球，1

個黑球，從中不放回地摸球兩次，用A表示事件“第1次摸得白球”，8表示事件“第2次摸得白球”，

則A與8是（）

A.互斥事件B.相互獨立事件C.對立事件D.不相互獨立事件

例題3.（2022?上海楊浦?高三期中）已知力、8是獨立事件，尸（力）=0.3,尸（8）=0.5,則0（/05）=

例題4.（2022?全國?高一課時練習）擲一枚骰子一次，判斷“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”是

不是相互獨立事件.

同類題型歸類練

1.（2022,河南?鄭州十九中高二開學考試）擲一枚骰子，記事件N表示事件”出現(xiàn)奇數(shù)點"，事件8表示事

件"出現(xiàn)4點或5點"，事件C表示事件"點數(shù)不超過3",事件。表示事件"點數(shù)大于4",有下列四個結(jié)論：

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①事件/與8是獨立事件；②事件8與C是互斥事件；③事件C與。是對立事件；④.其中

正確的結(jié)論是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.（2022?廣東江門?高一期末）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件4="第一枚硬幣正面向上"，事件8=

"第二枚硬幣反面向上"，下列結(jié)論中正確的是（）

A./與8為相互獨立事件B.4與B互為對立事件

P（4）=P⑻

C./與8為互斥事件D.

3.（2022?江西?景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））下列各對事件中，不互為相互獨立事件的是（）

A.擲一枚骰子一次，事件出現(xiàn)偶數(shù)點"；事件N"出現(xiàn)3點或6點”

B.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件加"第一次摸到白球"，事件N

"第二次摸到白球"

C.一個家庭中有兩個小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件正｛一個家庭中既有男孩又有女孩｝,

事件N=｛一個家庭中最多有一個女孩｝

D.一個家庭中有三個小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件小｛一個家庭中既有男孩又有女孩｝,

事件N=｛一個家庭中最多有一個女孩｝

4.（多選）（2022?全國?高二單元測試）擲一枚骰子，記事件/表示事件"出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件8表示事件

"出現(xiàn)4點或5點"，事件C表示事件“點數(shù)不超過3",事件。表示事件”點數(shù)大于4",則（）

A.事件/與8是獨立事件B.事件8與C是互斥事件

C.事件。與。是對立事件D.DoAcB

題型二：條件概率

典型例題

例題1.（2022?吉林?長春吉大附中實驗學校高二階段練習）從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取兩

個數(shù)，事件N="有一個數(shù)是奇數(shù)“，B="另一個數(shù)也是奇數(shù)”，則尸（用/）=（）

1

212

A.3B.5C.2D.3

（2022?全國?高二課時練習）已知"用"）=《，則|P（/8）=（）

例題2.

34]2_6_

A.4B.5C.25D.25

例題3.（2022?北京豐臺?高二期末）同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍骰子，觀察向上的點數(shù)，記“紅骰

子向上的點數(shù)為1”為事件A,“兩枚骰子的點數(shù)之和等于6”為事件8,則P（同"）=（）

1

A.3B.6C.12D.36

例題4.（2022?河南濮陽?高三階段練習（理））袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個小球，小球上分別

標有數(shù)字4,5,6.每次從袋中隨機摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.設事件A為

“三次記下的號碼之和是15”，事件8為“三次記下的號碼不全相等”，則，（用"）=（）

622_1

A.7B.，C.27D.7

例題5.（2022?全國?高三專題練習）甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，

先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以N表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再從乙罐中隨機取出一

球，以8表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則下列說法錯誤的是（）

尸（4）=：=1P⑻合口「（m

A.5B.5C.25D.2

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同類題型歸類練

1.（2022?吉林油田第十一中學高二期末）某射擊隊員練習打靶，已知他連續(xù)兩次射中靶心的概率是0.4,

單獨一次射中靶心的概率是0.8.在某場比賽中，該隊員第一次已經(jīng)中靶，則第二次也中靶的概率是（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

331

P（AB）=—P（A）=-P（B）=_p（niA\-

2.（2022?陜西?綏德中學高二階段練習（文））已知10,5,5,則尸（圻句-

（）

±±21

A.50B.2C.I。D.4

3.（2022?廣東?高三階段練習）某科技公司聯(lián)歡會進行抽獎活動，袋中裝有標號為1,2,3的大小、質(zhì)地

完全相同的3個小球，每次從袋中隨機摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.規(guī)定"三

次記下的號碼都是2"為一等獎.已知小張摸球"三次記下的號碼之和是6”,此時小張能得一等獎的概率為

（）

212_

A.6B.C.7D.27

4.（2022?全國?高三專題練習）甲、乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶、農(nóng)夫山泉、雪碧這3

種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件N="甲選擇農(nóng)夫山泉"，事件5="甲和乙選擇

的飲品不同"，則P（M'）=（）

1112

A.4B.2c.3D.3

5.（2022?江西?蘆溪中學高二開學考試）有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從

中依次抽2件，則在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（）

252

A.3B.5C.9D.3

題型三：全概率公式的應用

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典型例題

例題1.（2022?全國?高三專題練習）已知某地市場上供應的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠

產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的

概率是（）

A.0.92B.0.93C,0.94D.0.95

例題2.（2022?江蘇南京?高二階段練習）學校食堂分設有一、二餐廳，學生小吳第一天隨機選擇了某

餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計：第一天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6,第一天選擇二餐廳

就餐第二天選擇一餐廳就餐的概率為0.7,那么學生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（）

A.0.18B.0.28C,0.42D.0.65

例題3.（2022?全國?高三專題練習）設某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)

1

有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為茄，

現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0Q8,則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為（）

XJ_J_J_

A.5B.10C.15D.20

例題4.（2022?全國?高三專題練習）某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為

0.5,知道正確答案時，答對的概率為100%,而不知道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他答對題目

的概率為.

例題5.（2022?全國?高三專題練習）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占30%,次品率為5%；第二批占

70%,次品率為4%,將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件.則取到這件產(chǎn)品是合格品的概率為

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同類題型歸類練

1.（2022?全國?高二課時練習）有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3,0.2,0.1,

0.4,遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0.則他遲到的概率為（）

A.0.65B.0.075

C.0.145D.0

2.（2022?福建?