27有限群群代數(shù)的不可約基

2.7有限群群代數(shù)的不可約基◆復(fù)習(xí)：群空間：群元素為基(自然基)，其線性組合構(gòu)成群空間

(定義了群元素的加法)矢量：群函數(shù)代數(shù)：線性空間上定義矢量乘法線性空間對(duì)矢量乘法封閉且滿足乘法分配律群代數(shù)：群空間上定義矢量乘法群元素間按群的乘積規(guī)則數(shù)與數(shù)間按數(shù)的乘法封閉性分配律正則表示：每個(gè)有限群都有的重要的真實(shí)表示除了平庸群{E}外，有限群的正則表示都是可約的1正則表示的約化中，每個(gè)不可約表示的重?cái)?shù)=表示的維數(shù)因此，把正則表示進(jìn)行約化也是計(jì)算有限群不等價(jià)不可約表示的一種方法◆有限群群代數(shù)的不可約基把正則表示約化得到的群元素的線性組合為什么研究：?系統(tǒng)哈密頓量各簡(jiǎn)并能級(jí)的函數(shù)空間是對(duì)稱群的不變空間，即群元素作為算符作用的到H的函數(shù)基上仍在H的函數(shù)空間內(nèi)2?把不可約基作用到H的本征函數(shù)上能把H的本征函數(shù)投影成屬于對(duì)稱群不可約表示的函數(shù)基?這樣就解決了按照群論方法選擇哈密頓量本整函數(shù)基的計(jì)算問(wèn)題（即定態(tài)波函數(shù)按不可約表示分類問(wèn)題）?有些物理問(wèn)題，這種方法非常有用，如分子振動(dòng)能譜的研究常用這種方法計(jì)算屬不可約表示的函數(shù)基一、有限群正則表示的約化?由群元素線性組合成一個(gè)新的基3Φjμr稱為屬不可約表示Dj

μ行的函數(shù)基，三個(gè)指標(biāo)與上節(jié)規(guī)定相同，r用于區(qū)分mj個(gè)Dj?群元素S作為算符作用到新基上，得到表示Dj(S)正則表示D(S)可約r區(qū)別重?cái)?shù)4?群元素S還可以從右作用到新基上因左乘、右乘群元素的運(yùn)算是獨(dú)立進(jìn)行的故右乘群元素不會(huì)改變矢量基在左乘群元素作用下的性質(zhì)即φjμr

S仍屬不可約表示Dj

μ行，這樣mj個(gè)矢量基φjμr

構(gòu)成對(duì)右乘群元素不變的子空間，對(duì)應(yīng)群G的一個(gè)mj維表示行指標(biāo)μ區(qū)分重復(fù)表示?討論兩個(gè)表示Dj與Dj的關(guān)系D(S)與D(S)分別是左乘、右乘群元素得到的兩個(gè)等價(jià)表示（即表示的基相同，只是組合方式不同）約化后，每個(gè)不可約表示的重?cái)?shù)仍是表示維數(shù)mj

即約化后不可約表示Dj與Dj也等價(jià)5把矢量基作適當(dāng)組合，可使兩個(gè)表示相同這一過(guò)程不算證明，只是說(shuō)明為此，在有限群G的群代數(shù)中可以選擇一組矢量基，稱為不可約基，滿足計(jì)算不可約基的基本方程式?在正則表示約化時(shí)，屬同一不可約表示的若干組基的選擇有任意性，|Y|≠0即可上式對(duì)不可約基的選擇提出了合理的條件，即當(dāng)Dj(S)的標(biāo)準(zhǔn)形式選定后，屬同一不可約表示的所有基，除了允許乘一個(gè)只依賴j的因子外，不再有其他任意性6?計(jì)算不可約基的時(shí)候，原則上S要取遍所有群元素，但實(shí)際操作中，只取生成元就夠了，有時(shí)為了方便，可多取若干元素?應(yīng)用到物理問(wèn)題上：設(shè)哈密頓量H的能級(jí)E是m重簡(jiǎn)并，本征函ψρ(x)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)空間?上節(jié)介紹了群論方法將這些函數(shù)基組合成對(duì)稱群G的不可約表示的基，但是，若對(duì)稱群G的不可約基已知，將其中的群元素S換成變換算符PS，作為投影算符作用到函數(shù)基上，則φjμr

ψρ(x)(≠0)就是屬不可約表示的函數(shù)基7二、D3群群代數(shù)的不可約基?D3群是最簡(jiǎn)單的非阿貝爾群（6階群）?D3群：3個(gè)類，乘法表，特征標(biāo)表前面已給出生成元：D(?T),A(?S0)

二維表示：?D3群群代數(shù)的不可約基φjμr

是左乘、右乘生成元A的共同本征矢量，用φ1，φ2，φ3對(duì)應(yīng)三個(gè)表示中的不可約基一維：對(duì)應(yīng)D1(1維)為1aj=mj=1故r=1，μ=1即8同理：?

二維表示：μ=1，2，重?cái)?shù)=維數(shù)2100-11090-1?因A的階a=2即A2=E，D(A2)=D(A)2=D(