2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題24以三角形為載體的幾何綜合問題（教師版含解析）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

_________專題24以三角形為載體的幾何綜合問題

典例剖析.

【例1】（2022?山東棗莊?中考真題）已知AABC中，NACB=90。，AC=BC=4cm,點尸從

點A出發(fā)，沿AB方向以每秒或cm的速度向終點B運動，同時動點。從點B出發(fā)沿8c方

向以每秒1cm的速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為1秒.

（1）如圖①，若尸。_LBC,求f的值；

（2）如圖②，將APQC沿BC翻折至△PQC,當，為何值時，四邊形QPCP為菱形？

【答案】（1）當r=2時，PQLBC

（2）當f的值為［時，四邊形QPCP為菱形

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出4B,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

（2）作PD_LBC于D,「岳14。于七，證明出A4BC為直角三角形，進一步得出A4PE和APBD

為等腰直角三角形，再證明四邊形PEC。為矩形，利用勾股定理在RMPCE、RMPCQ中，

結(jié)合四邊形QPCP'為菱形，建立等式進行求解.

【詳解】（1）解：（1）如圖①，

圖①

：/ACB=90。，AC=BC=4cm,

：.AB^>JAC2+BC2=V42+42=4近(cm),

由題意得，AP=y[2tcm,BQ=tcm,

則BP=(4>/2-V2r)cm,

PQLBC,

：.ZPQB=90°,

；?NPQB=NACB,

APfiHAC,

乙BPQ=Z.BAC

Y乙BQP=乙BCA'

-*.△BPQBAC,

,BPBQ

..—=—i

BABC

?.?4V2-xV2t-—t,

4迎4

解得：f=2,

.?.當r=2時，PQLBC.

(2)解：作PDIBC于。，PELAC^E,如圖,

AP=V2t,BQ—tcm,(0<t<4)

vZ.C=90°,AC=BC=4cm.

A4BC為直角三角形，

Z.A=Z.B=45°.

△力PE和APB。為等腰直角三角形，

PE=AE=—AP=tcm,BD=PD,

2

ACE=AC-AE=(4—t)cm,

???四邊形PECO為矩形，

???PD=EC=(4—t)cm,

:.BD=(4—t)cm,

.??QD=BD-BQ=(4—2t)cm,

在RtZkPCE中，PC2=PE24-CE2=t2+(4-t)2,

在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)24-(4-2t/,

???四邊形QPCP'為菱形，

：?PQ=PC,

At2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2,

???0=*三=4(舍去).

t的值為

【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

【例2】（2022?山東荷澤?中考真題）如圖1,在△力BC中，4ABe=45。,4。18（?于點￡）,在

D4上取點E,使OE=DC,連接BE、CE.

圖1圖2圖3

（1）直接寫出CE與A8的位置關(guān)系；

（2）如圖2,將ABED繞點D旋轉(zhuǎn)，得到△B'E'D（點B',E'分別與點B,E對應(yīng)），連接CE，、AB',

在ABED旋轉(zhuǎn)的過程中CE'與4B'的位置關(guān)系與（1）中的CE與A8的位置關(guān)系是否一致?請

說明理由；

⑶如圖3,當4BED繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。時，射線CE'與AD.分別交于點G、F,若CG=

FG,DC=點,求AB'的長.

【答案】（DCELAB,理由見解析

（2）一致，理由見解析

（3）573

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NABC=ND48=45。，ZDCE=ZDEC=ZA￡W=45°,

可得結(jié)論；

（2）通過證明9WACCE"可得4DAB'=4DCE',由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得力=714。，即可求解.

【詳解】（1）如圖，延長CE交A8于”，

ZABC=45°,AD1BC,

，NADC=NAO8=90°,ZABC=ZDAB=45°,

'：DE=CD,

???ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°9

：.NBHC=NBAD+NAEH=90。,

：.CE±AB；

(2)在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE'與力夕的位置關(guān)系與(1)中的CE與AB的位置關(guān)系是一致

的，理由如下：

如圖2,延長CE'交AB'于

圖2

由旋轉(zhuǎn)可得：CD=DE\B'D=AD,

ZADC=ZADB=90°f

:?乙CDE'=乙ADB\

?.CD_AD_1

"DE'~DBf~，

：.4ADB'-ACDE'.

Z.DAB'=ADCE',

,：Z.DCE'+ZDGC=90°,ZDGC=ZAGH,

：.ZDAB'+ZAGH=90°,

：.NA”C=90。，

???CE'LAB'；

(3)如圖3,過點。作。見LAB'于點H,

圖3

：△BED繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。，

."BOB'=30°,BD'=BD=AD,

???/.ADB'=120°,/.DAB'=/.AB'D=30°,

"DHLAB',AD=B'D,

：.AD=2DH,AH=y[3DH=B'H,

???AB'=y/3AD,

由(2)可知：4ADB'?&CDE',

4DAB'=乙DCE，=30°,

'：ADLBC,CD=?

：.DG=1,CG=2DG=2,

，CG=bG=2,

vZ.DAB'=30°,DH1AB',

；.4G=2GF=4,

：.AD=AG+DG=4+1=5,

：.AB'=WAD=5V3.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

【例3】(2022?山東濟南?中考真題)如圖1,AA8C是等邊三角形，點。在AA8C的內(nèi)部,

連接40，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段AE,連接BC,DE,CE.

4AA

(1)判斷線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點尸與點8重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖3,當點尸為線段8c中點，且EZ)=EC時，猜想NBA。的度數(shù)，并說明理由.

【答案】(1)BD=CE,理由見解析

(2)①BE=AE+CE；?Z.BAD=45°,理由見解析

【分析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到AABD三△ACE(SAS),再由全等

三角形的性質(zhì)求解；

(2)①根據(jù)線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到4E得到△力DE是等邊三角形，

由等邊三角形的性質(zhì)和(1)的結(jié)論來求解；②過點A作AG，EF于點G,連接AF,根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到4BAF=^DAG,空=空，進而得到^BAD八

ADAB

FAG,進而求出乙4DB=90。，結(jié)合8。=CE,ED=EC得到BC=A。，再用等腰宜角三角

形的性質(zhì)求解.

(1)

解：BD=CE.

證明：是等邊三角形，

：.AB=AC,^BAC=60°.

?.?線段4。繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到4E,

：.AD=AE,/.DAE=60°,

：.Z.BAC=4DAE,

：.^BAC-Z.DAC=4DAE-ADAC,

即ZB40=/.CAE.

在△48。和△ACE中

(AB=AC

\z.BAD=Z.CAE,

IAD=AE

：.△ABD三△4CE(S4S),

：.BD=CE；

(2)

解：①BE=AE+CE

理由：；線段4。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到4E,

；.△ADE是等邊三角形，

：.AD=DE=AE,

由(1)得BD=CE,

：.BE=DE+BD=AE+CE；

②過點A作4G1E產(chǎn)于點G,連接AR如下圖.

?.?△/WE是等邊三角形，AGIDE,

1

：.Z.DAG=-Z-DAE=30°,

2

=cosZ-DAG=—.

AD2

:△ABC是等邊三角形，點尸為線段8C中點，

:?BF=CF,AF1BCABAF=-Z-BAC=30°,

f2

.?皆=cos血尸=今

：.Z.BAF=乙DAG,AG__AF

AD~AB9

：.^LBAF+Z.DAF=4DAG+/-DAF,

^Z.BAD=iFAG,

/.△BADFAG,

A￡.ADB=￡.AGF=90°.

?：BD=CE,ED=EC,

：.BD=ADf

即△ABD是等腰直角三角形，

：./LBAD=45°.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答

關(guān)鍵.

【例4】（2022.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.中考真題）在△A3C中，AB=AC,ZBAC=90°fAO是△ABC

的角平分線.

v

⑴如圖1,點E、F分別是線段3￡＞、A。匕的點，B.DE=DF,AE與CF的延長線交于點M,

則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

（2）如圖2,點E、F分別在QB和DA的延長線上，且DE=DF,EA的延長線交CF于點M.

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

②連接。M,求NEM。的度數(shù)；

③若。M=6&,ED=12,求EM的長.

【答案】（1）A￡=CF,AELCF

（2）①成立，理由見解析；②45。；@6+6V3

【分析】（1）證明△AQE絲△CDF（SAS）,由全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF,ND4E=

ADCF,由直角三角形的性質(zhì)證出NEMC=90。，則可得出結(jié)論；

（2）①同（1）可證△4?！敖z△COFCSAS）,由全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF,ZE=

ZF,則可得出結(jié)論；

②過點。作。于點G,。/7，"1于點”，證明△。￡6名4。尸”（445）,由全等三角

形的性質(zhì)得出DG=DH,由角平分線的性質(zhì)可得出答案；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案.

（1）；4B=4C,NB4C=9（）o,A。是△ABC的角平分線，.?.4￡>=BO=C￡>,AO_LBC,二ZADE

=ZCDF=90°,XVDE=DF,.?.△ADE絲△CD尸（SAS）,：.AE=CF,NDAE=NDCF,

,：ZDAE+ZDEA=90°,：.ZDCF+ZDEA=90°,：.ZEMC=90°,：.AE1CF.故答案為：

AE=CF,AELCF；

（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△AQE絲△CQF（SAS）,：.AE=CF,

NE=NF,VZF+Z￡CF=90o,AZE+ZECF=90°,AZEMC=90°,：.AE±CFi②過

EBD

點。作￡>G_LAE于點G,DHLCF于點H,圖2"：ZE^ZF,NDGE

=NDHF=90。,DE=DF,'△DEGm△DFH（AAS）,：.DG=DH,又DHLCF,

.?.DM平分/EMC,又I,/EMC=90。，,NEM￡>=；/EMC=45。：③；NEMD=45。,NDGM

=90°,：.ZDMG^ZGDM,：.DG^GM,又YDM=6&：.DG^GM^6,"：DE^12,：.EG

=y/ED2+DG2=V122+62=6>/3；.EM=GM+EG=6+6值.

【點睛】本題是三角形綜合題，考杳了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例5】（2022?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在AABC中，。是4B上一點，AADC=

Z.ACB.求證NACD=乙ABC.

獨立思考：

（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究：

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如

圖2,延長C4至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點F,點G,，分別在BF,BC上，

BG=CD,乙BGH=LBCF.在圖中找出與相等的線段，并證明.”

問題解決：

（3）數(shù)學(xué)活動小組河學(xué)時上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當NBAC=90。時，若給出△

ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，

請你解答.“如圖3,在（2）的條件下，若NBAC=90。，4B=4,AC=2,求的長.”

【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；

(2)如圖，在上截取BN=CF,證明△CEF三4BDN,再證明EF=DN/EFC=乙DNB,

證明△GHB=△CND,可得BH=DN,從而可得結(jié)論；

(3)如圖，在8C上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=

V224-42=2V5,證明△4DC?△ZCB,可得4。=1,CD=V5,可得BG=CD=^5,證明△

BGHBCF,可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即

可得到答案.

【詳解】證明：(1),.?乙4DC=Z.ACB./,A=乙4

而44CD=180°-/-A-/.ADC,^ABC=180°一一乙ACB,

??.Z.ACD=乙ABC,

(2)BH=EFt理由如下：

如圖，在8。上截取BN=CF,

?.?BD=CE,Z.ACD=Z-ABC,

???△CEF=△BDN,

???EF=DN/EFC=Z.DNB,

???乙BGH=(BCF,乙GBN=乙FBC,

???乙BHG=乙BFC,

?:乙EFC=Z.BND,

BFC=LDNC,

:?乙BHG=Z.DNC,

?；BG=CD,

A△GHB=△CNDt

:.BH=DNf

???BH=EF.

(3)如圖，在8c上截取BN=CF,

同理可得：BH=DN=EF,

???BC=，22+42=2低

v乙DAC=Z.BAC,Z.ACD=Z.ABC,

ADCACB,

ADACCD

"AC~AB~BC'

AD2CD

"~=4=^'

AAD=1,CD=V5,

??.BG=CD—y/5,

???（GBH=乙FBC,乙BGH=乙BCF,

**?△BGHBCF,

.BG_GH_BH_V5_1

??BC-CF-BF一2>/5-2*

???BF=2BH,而EF=GH,

???BE=3BH,

???AB=4fAD=ltBD=CE,

???BD=CE=3,

.-.AE=3-2=1,而/BAE=乙BAC=90。，

???BE=7AB2+g=V17,

V17

?**BH=———.

【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的

應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

26.（2022?山東煙臺?中考真題）

AA

圖1圖2圖3

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△AOE都是等邊三角形，連接8。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE=90°.連

接B。，CE.請直接寫出差的值.

(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和△4OE都是直角三角形，/ABC=/AOE=90。，且囂=禁

連接50,CE.

4

①求穿的值；

CE

②延長CE交8。于點凡交4B于點G.求sin/BFC的值.

【答案】(1)見解析

⑶①/

【分析】(1)證明△A4D絲從而得出結(jié)論；

(2)證明△84/5sZ\CAE,進而得出結(jié)果；

(3)①先證明△ABCs^AQE,再證得△C4￡S/\540,進而得出結(jié)果；

②在①的基礎(chǔ)上得出/ACE=/ABO,進而/BFC=/84C,進一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：:△ABC和ZV1QE都是等邊三角形，

：.AD=AE,AB^AC,/D4E=NBAC=60。，

ZDAE-NBAE=NBAC-ZBAE,

:.NBAD=/CAE,

：.ABAD^/^CAE(SAS),

:.BD=CE：

(2)解：?.?△ABC和A4OE都是等腰直角三角形，

ADAD1

A—=—=ZDAE=ZBAC=45°

AEACV2f

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：./\BAD^^CAE,

BDAB142

二還=前=五=三；

(3)解:或=辭=京ZABC=ZADE=90°,

：./XABC^^ADE,

：.ZBAC=ZDAE,-=—=

ACAE5

；?NCAE=NBAD,

：.ACAE^/\BAD.

??-B-D=-A-D=一3;

CEAE5

②由①得：bCAEs△BAD,

：.ZACE=ZABDt

■:/AGC=/BGF,

：.ZBFC=ZBAC,

sinZBFC=-=-.

AC5

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手''模型及其變形.

滿分訓(xùn)練.

一、解答題【共20題】

1.(2022?安徽?合肥市五十中學(xué)新校二模)△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，AABC=

Z.AED=90°,F是BD的中點，連接CF、EF.

(1)如圖①，當點D、E分別是線段4C、48上的點時，求NEFC的度數(shù)；

(2)如圖②，當點E是線段4c上的點時，求證：EF=CF；

(3)如圖③，當點A、E、F共線且E是4尸的中點時，探究SABCF和SAABF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(l)NEFC=90°

⑵見解析

(3)SA4F8=2S4BFC

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)可求/FEB=NFBE,4FBC=4FCB,由等腰三角形的性

質(zhì)可求解；

(2)由“角邊角”可證△CEF三可得EF=FH,DE=BH,由等腰直角三角形的性

質(zhì)可求解；

(3)通過證明4AFB-△ADC,可得乙4FB=Z.ADC=135°,S^AFB=2ShADC,即可求解.

【詳解】(1)??NDEB=Z.DCB=90。，點尸是BD的中點，

ADF=BF=EF=CF,

乙FEB=乙FBE,Z.FBC=乙FCB,

乙EFC=乙EFD+Z.CFD=2乙EBF+2Z.CBF=2乙ABC,

???△4BC是等腰直角三角形，

乙ABC=45°,

乙EFC=90°；

(2)如圖2,延長EF交BC于點”，

圖2

vZ.AED=乙DEC=/.ACB=90°,

?-?DEWBC,

???4EDF=4CBF,

又DF=BF,Z.DFE=乙BFH,

DEF=△BHF,

???EF=FH,DE=BH,

?:AC=BC,

/.CE=CH,

又??,ZECH=90。，EF=FH,

:.CF=EF；

(3)如圖，連接CD,

A

圖3

???￡是4尸的中點，

??.AE=EF,

???△ADE是等腰直角三角形，

???/.DAE=^ADE=45°,乙DEF=90°,AE=DE=EF,

???AEDF=4EFD=45°=4DAE,

A/.ADF=90°,AD=DF,

-.AF=V2AD,

是等腰直角三角形，

/.BAC=Z.DAF=45°,AB=垃AC,

/.DAC=/.BAF,—=—=y/2,

ACAD

???△AFB~△ADC9

???/LAFB=Z-ADC=135°,S&AFB=2s△.℃，

??.乙CDF=45。=乙AFD,

.-.AFnCD,

**?S〉A(chǔ)DC=S>DCF，

????是8。的中點，

S^BCF=S&DCF=S^ADC，

S&AFB=2S〉BFC?

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?上海?華東師范大學(xué)松江實驗中學(xué)三模）如圖所示，△BEF的頂點E在矩形4BCD對

角線4c的延長線上，8C=1,AB=a,4E與FB交于點G,連接4F,滿足

其中4對應(yīng)C,8對應(yīng)凡F對應(yīng)8

F.

⑴求證：Z.FAD=30°.

(2)若CE=/求tan/FEA的值.

【答案】(1)見解析

⑵竽

【分析】（1）由相似可得"AB=4BCE,再由矩形的性質(zhì)得力0IBC,/.DAB=Z.ABC=90°,

從而可求得乙凡4。+4。48+4。4。=180。，則有4F/W=/B4C,即可求得乙凡4D的度數(shù);

（2）結(jié)合（1）可求得4E=],再由相似的性質(zhì)求得AF=36，即可求tcm/FEA的值.

（1）

???△ABFSACEB,

???Z.FAB=Z-BCE,

???四邊形4BCD是矩形，

：.AD\\BC,^DAB=/.ABC=90°,

:.Z.DAC=Z.ACB,

v乙BCE+乙ACB=180°,

??.Z.FAB+ADAC=180°,

^LFAD+乙DAB+Z.DAC=180°,

???/.FAD+90°+Z.DAC=180°,

/.Z.FAD+Z.DAC=90°,

??,Z.DAB=90°,

???乙BAC+乙DAC=90°,

:.Z.FAD=Z.BAC?

在RtZkABC中，

.,E,“BC1V3

vtanZ-BAC=—==——，

ABW3

???LBAC=30°,

???乙FAD=30°；

（2）

由⑴得乙4BC=903ABAC=30%

:.AC=2BC=2x1=2,

I7

???AE=4。+CE=2+±々

33

ABFs^CEB,

.AF_AB

*'BC一CE'

即竺=%

1—

3

AF=3V3,

由（1）得：/.FAD+LDAC=90°,

貝此凡4E=90°,

在Rt△F4E中，tan4FEA=—=.

AE-7

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答的關(guān)鍵是結(jié)合

圖形及相應(yīng)的性質(zhì)求得/凡4。=^BAC.

3.（2022?福建?廈門市翔安區(qū)教師進修學(xué)校（廈門市翔安區(qū)教育研究中心）模擬預(yù)測）（1）

問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△力"與4CDE均為等腰直角三角形，44CB=乙DCE=90°,則線段AE、

8。的數(shù)量關(guān)系為,AE,B。所在直線的位置關(guān)系為；

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A,E,。在同一直線上，CM為AOCE中OE邊上

的高，請判斷乙4cB的度數(shù)及線段CM,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）4E=BD,AE1BD-,（2）^ADB=90°,AD=2CM+BD；理由見解析

【分析】（1）延長4E交8。于點從4H交BC于點O.只要證明A4CE三△BCD（SAS）,即可

解決問題；

（2）由AACE三ABC。，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖1中，延長4E交BD于點”，4H交BC于點O,

?."AACB^OAOCE均為等腰直角三角形，入4cB=Z.DCE=90。,

：.AC=BC,CD=CE,

：.Z.ACE+乙ECB=乙BCD+乙ECB=90°,

：.^ACE=乙BCD,

：.^ACE三ABCD(SAS),

：.AE=BD,乙CAE=^CBD,

VZC71E+Z.AOC=90°,Z.AOC=乙BOH,

:?乙BOH+乙CBD=90°,

=90°,

：.AE1BD.

故答案為：AE=BDfAE1BD.

(2)Z,ADB=90°,AD=2CM+BD；

理由如下：如圖2中，

???△/。8和4QCE均為等腰直角三角形，Z.ACB=（DCE=90°,

/.ZCDE=ZCFD=45°,

：.^AEC=180°一乙CED=135°,

由（1）可知：^ACEw2BCD,

：.AE=BD,Z-BDC=Z-AEC=135°,

：.Z.ADB=乙BDC-Z.CDE=135°-45°=90°；

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊OE上的高，

：.CM=DM=ME,

：.DE=2CM,

：.AD=DE+AE=2CM+BD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是正確尋找全等三角形解決問題.

4.（2020?重慶市育才中學(xué)二模）（l）如圖①,在四邊形A8C。中,AB=A。，N8=/A。C=90。.E、

尸分別是3C、CQ上的點，且EF=BE+FD,探究圖中NBAE、NFAD、NE4/之間的數(shù)量關(guān)

系.小王同學(xué)探究此問題的方法：延長尸。到點G,使。G=8￡連接AG.先證明

△ABE^AADG.MilEAAEF^AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

【靈活運用】

、

（2）如圖②，若在四邊形A3CD中，AB=ADfZB+ZD=180°,FF分別是5C、CDk

的點.且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

【延伸拓展】

(3)如圖③，在四邊形ABC。中，ZABC+ZADC=ISO°,AB=AD.若點E在C8的延長線

上，點F在C。的延長線上，仍然滿足EF=BE+F￡>,請寫出NE4F與ND48的數(shù)量關(guān)系，

并給出證明過程.

①②

【答案】ZBAE+ZFAD=ZEAF；仍成立，理由見詳解：/.EAF=180°-|zD>4B

【分析】(1)延長尸。到點G,使DG=BE,連接AG,可判定AABEGZVIOG,進而得出

ZBAE=ZDAG,AE=AG,再判定可得出

ZEAF-ZGAF^ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF,據(jù)此得出結(jié)論；

(2)延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先判定AABE絲△ACG,進而得出NB4E=ND4G,

AE=AG,再判定尸絲△4GF,可得出NE4F=NG4F=NOAG+NDAF=N8AE+/OAF；

(3)在QC延長線上取一點G,使得QG=8E,連接AG,先判定AAOG妾△A8E,再判定

△AE尸絲△AGF,得出/項E=N/=AG,最后根據(jù)/朋E+N"G+/G4E=360。，推導(dǎo)得到

2ZM￡+ZDAB=360°,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)ZBAE+ZFAD^ZEAF.理由：

如圖1,延長到點G,使￡>G=BE,連接AG,

G

圖1

VZB=ZADF=90°,ZADG=ZADF=90°f

???N8=NAQG=90。，

又???AB=AD,

A/\ABE^/\ADG(SAS),

:?/BAE=/DAG,AE=AG,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^/\AGF(SSS),

:.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

故答案為：NBAE+NFAD=NEAF；

(2)仍成立，理由：

如圖2,延長初到點G,使QG=8E,連接AG,

G

圖2

VZB+Z^DF=180o,NAOG+/AOb=180。，

：.ZB=ZADGf

又TAB二AD,

???△A8/ZL4DG(SAS),

:./BAE=/DAG,AE=AGf

?：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf

：./\AEF^/\AGF(SSS),

ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE^-ZDAF；

⑶血尸=18。。-2g

證明：如圖3,在QC延長線上取一點G,使得。G=BE,連接AG,

G

Ac/:\

E

圖3

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

???/ADC=NABE,

又???AB=AD,

A(SAS),

：.AG=AEfNDAG=NBAE,

'/EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^/\AGF(SSS),

.'.ZME=ZMG,

*.?ZME+ZMG+ZGy4E=360°,

：.2ZFAE+(NGA5+NBAE)=360°,

：.2ZFAE+(NGAB+NOAG)=360°,

即2ZME+ZDAB=360°,

：.AEAF=1800--ADAB.

2

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜

合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進行推

導(dǎo)變形.解題時注意：同角的補角相等.

5.(2022?北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測)已知四邊形4BCO,〃=120°,ZC=60°,AB=AD,

CD#BC,AE是NBA。的角平分線，交射線BC于E,線段DC的延長線上取一點產(chǎn)使BE=DF,

直線EF,AB交于點G.

⑴補全圖形；

(2)猜想AAEG的形狀，并證明你的猜想;

(3)求AB與FG的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析

(2匕AEG是等邊三角形，理由見解析

(3)FG=2AB,理由見解析

【分析】(I)根據(jù)要求畫出圖形即可；

(2)結(jié)論：AAEG是等邊三角形；通過證明4E垂直平分線段。8,證得AAEC絲AAEB,再

證明40IEG,推出NG=90°,可得結(jié)論；

(3)結(jié)論：FG=2AB,過點4作AT||DF交EG于點T.證明四邊形4DF7是平行四邊形，推

出=再利用全等三角形的性質(zhì)證明AC=7G,可得結(jié)論.

(1)

解：圖形如圖所示：

G

(2)

解：猜想△AEG是等邊三角形.

理由如下：

如圖，設(shè)AE交BD于點”，

."DAH=4BAH

在△4“。與

AD=AB

4DAH=/.BAH,

AH=AH

：.△AHD三△AHB(SAS),

."AHD=乙4HB=90°,DH=BH,

垂直平分線段D8,

???ED=EB,

在A4E。和△AEB中，

ZD=AB

'：\AE=AE,

DE=BE

...△4ED^Zk4EB(SSS),

：.^ADE=^ABE.

VDF=BE,DE=BE,

：.DE=DFt

"DEF=乙DFE,

:?(EDF+2乙DFE=180°.

VZD71F=120°,Z.DCB=60°,

在四邊形ADCB中，

;乙DAB+Z.ABC+乙BCD+Z.CDA=360°,

：.^LABCZ.CDA=180°,

":乙ABC=LADE.

：.^ADE-V^LCDA=180°,

：.2乙ADC+乙EDF=180°,

ADC=CDFE,

：.AD\\EG,

???2G+4DAB=180°,

^Z.DAB=120°,

AzG=60°.

U：z-EAB=-z.DAB=60°,

2

：.Z.AEG=LEAG=NG=60%

，△力EG是等邊三角形.

(3)

解：FG=2ABf理由如下：

證明：如圖，過點A作||DF交EG于點7.

U：AD||FT,AT||DF,

，四邊形4。/▼是平行四邊形,

：.AD=FT,

u

：AB=ADf

：.AB=FT,

9：AT||DF,

：.^ATG=乙DFG,

■:4DFT=4DEF+乙EDF,^ADE=/.EDF+AADC=Z.EDF+乙DEF,

：.Z.ATG=Z.ADE,

'：Z.DAE=4G=60°,AE=AG,

：.^AGT三△EAO(AAS),

：.TG=AD,

"：AD=FT,AB=AD,

：.TG=AB,

：.FG=2AB.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中

考壓軸題.

6.(2022?北京市第十九中學(xué)三模)如圖，在△ABC中，/.ACB=90°,AC>BC,。是4B的

中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，平移4B到尸H,線段FH的中垂線與線段C4的延長線交于點E,

連接EH、DE.

(1)連接CD，求證：/-BDC=2LDAC-,

(2)依題意補全圖形，用等式表示線段DE,DF,E”之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)圖見解析，結(jié)論：DE2+DF2=EH2,理由見解析

【分析】(1)利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可解決問題；

(2)圖形如圖所示，結(jié)論：DE2+DF2=EH2,想辦法證明NEDF=90。即可.

(1)

證明：連接CD.

vZ.ACB=90°,AD=DB,

CD=AD=DB,

■■Z.DAC=Z.DCA,

???Z.BDC=Z.DAC+Z.DCA=2/.DAC；

(2)

解：圖形如圖所示，結(jié)論：DE2+DF2=EH2.

理由：連接EF,AH,取FH的中點7,連接4T,DT,ET.

???點E在FH的垂直平分線上，

AEF=EH,

,:AD=DB,HT=TF,AB=FH,

.??AD=FT=HT,

-ADWFH,

???四邊形4UTD,四邊形4DFT是平行四邊形，

/.AHWDT,ATWDF,

???乙FDT=AATD=HAH,

AHWBF,

???Z.HAC=Z.ACB=90°,

vEH=EF,HT=FT,

???ET1FW,乙TEH=乙TEF,

???Z.EAH=乙ETH=90°,

???四邊形4E,H,T四點共圓，

???dAH=乙TEH,

:.Z.FDT=乙FET,

??.E,D,F,丁四點共圓，

??.Z.EDF+乙ETF=180°,

???乙EDF=90°,

???DE2+DF2=EH2.

【點睛】本題考查作圖-平移變換，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰二角形的性質(zhì)，

線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

7.(2022?安徽?合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測)知識呈現(xiàn)

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形力BCD中，4ABe與4ADC互余，我們發(fā)現(xiàn)四邊形4BCC中這對互余的

角可進行拼合：先作再過點A作4E14D交DF于點E,連接EC后，易于發(fā)現(xiàn)CD,

DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

方法運用

(2)如圖2,在四邊形48co中，連接AC,NBAC=90。，點。是△4C0兩邊垂直平分線的交

點，連接。4,/-0AC=Z.ABC.

①求證：^ABC+Z.ADC=90°；

②連接BD,如圖3,已知4D=m,DC=n,整=2,求8。的長(用含m,n的式子表示).

【答案】(1)CD2+DE2=CE2；(2)①詳見解析；②BD="5旅+4十2

【分析】(1)利用勾股定理解決問題即可；

(2)①如圖2中，連接OC,作△4DC的外接圓。。.利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理，

即可解決問題；

②如圖3中，在射線CC的下方作乙CDT=NABC,過點C作CT_LD7于7.利用相似三角形的性

質(zhì)證明求出AT,可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：v/.ADC+/.ABC=90°,Z.ADF^Z.ABC,

：.“DE=4ADC+/.ADF=90°,

222

ACD+DE=CE.

故答案為：C￡)2+DE2=CE2.

(2)①證明：如圖2中，連接OC,作A/lDC的外接圓。0.

圖2

???點。是△ACD兩邊垂直平分線的交點,

.?.點。是△4DC的外心，

?，?Z-AOC—2Z.ADC,

'-,OA=OC,

???Z,AOC+Z.OAC+Z-OCA=180°,Z.OAC=乙ABC,

???2Z.ADC+2乙48c=180°,

:.Z-ADC+乙ABC=90°.

②解：如圖3中，在射線DC的下方作乙=過點C作CT_LDT于T.

v乙CTD=4CAB=90°,乙CDT=Z.ABC,

CTDs^CAB,

Z.DCT=Z.ACB,—,

CBCA

???也"，乙DCB=LTCA,

CTCA

?,△DCBsxTCA,

.BD_CB

=，

ATCA

AB.

v—=2,

AC

■■■AC：BA：BC=CT：DT：CD=1：2：V5,

.-.BD=V5AT,

???ZLADT=/.ADC+Z.CDT=/.ADC+乙ABC=90°,DT=—n,AD=m,

5

:.AT=yjAD2+DT2-Jm2+(^n)2-Jm2+|n2.

BD=V5m2+4n2.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用輔助圓解

決問題，屬于中考壓軸題

8.(2022?浙江寧波?一模)若一個三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍，我們把這個三

角形叫做和諧三角形.

A

⑴己知A4BC是和諧三角形，AB=3,BC=4,請直接寫出所有滿足條件的4c的長；

(2)在AABC中AB=4,BC=8,D為BC邊上一點,BD=2,連接AD,若△ABC為和諧三角形,

求AC的長；

(3)如圖，在等腰A/IBC中4B=4C,。為4c的中點，且NOBC=N4E為AB上一點，滿足

AE:E8=3:2,連接DE.求證：ZUED為和諧三角形.

【答案】⑴2或5或右

(2)4C的長為6；

(3)見解析.

【分析】(1)先確定出I<AC<7,再分三種情況，利用和諧三角形的定義求解即可；

(2)先求出2cAp<6,再分三種情況：①當AB+A￡>=2BO時，AD^2BD-AB=0,不符

合題意；②當AB+8O=2A。時，\D=\(AB+BD)=3,過點A作4F_L8c于尸，利用勾

股定理求出。凡然后可求AC：③當8。+4。=248時，AD=2AB-BD=2^4-2=6,不符合

題意；

(3)設(shè)AE=6x,則EB=4x,進而表示出48=C=10x,4￡)=C￡)=5x,再判斷出△ABC-△BDC,

得出比例式求出BD=BC=5y[2x,過點A作AM1BC于M,則BM=CM=^13C=^~,進

而求出4加=阻心過點。作OG_LBC于G,進而求出DG=—x,MG=—,BG=^^,

2444

過點￡>作力于H,證明△4DH?ABDG,可得券=鬻=需求出AH=六，DH=

乎x,再用勾股定理求出OE,即可得出結(jié)論.

4

(1)

解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，l<AC<7,

,..△4BC是和諧三角形，

二①當AC+8C=2AB時，AC=2AB-BC=2^3-4=2,

②當AC+AB=26C時，AC=2BC-A8=2x4-3=5,

③當月8+8C=2AC時，AC=l(AB+BC)=|x(3+4)=|,

即滿足條件的AC的長為：2或5或;；

(2)

解：在ZMBC中，AB=4,BC=8,

：.4<AC<\2,

在AACD中，CD=BC-BD=6,

?.?AB=4,BD=2,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，2<AD<6,

4BD為和諧三角形，

，①當48+4。=28。時-，AD=2BD-AB=0,不符合題意；

②當A8+8￡>=2Ao時，AD=|(AB+BD)x(4+2)=3,

如圖，過點A作AF_LBC于R

在RS4DF中，AF2=AD2-DF2=9-DF2,

在RtAW中,AF2=AB2-BF2=16-(2+OF)2,

：.9-DF2=16-(2+DF)2,

：.DF^-,

4

rr135321

/.AF2=9-DF2=—,CF=6-

1644

在R(A4CF中，根據(jù)勾股定理得AC^yjAF2+CF2=J詈+答=6；

③當BZ)+AO=2AB時，AZ)=2AB-8C=2x4-2=6,不符合題意；

綜上，AC的長為6；

(3)

證明：VAE：E8=3：2,

.?.設(shè)4E=6x,則EB=4尤，

：.AB^AE+EB=}Ox,

"：AB=AC,

.?.AC=10x,

?.?點。為AC的中點，

."￡>=CD=Uc=5x,

2

VZDBC=ZA,ZC=ZC,

△ABC—△BDC,

.AB_AC_BC

??--=,

BDBCDC

?BC

..-1-0-X-=--1-O-X-=一,

BDBC5x

:.BD=BC=S網(wǎng),

如圖，過點A作AM_L8C于M,

則BM=CM=；BC=嬰，

根據(jù)勾股定理得，AM=>jAB2-BM2=旭x,

2

過點。作OGJ_3C于G,

ADGHAM,

△CDG~&CAM,

U：AD=CD,

：.CD=-AC,

2

：.DG=^AM=^-x,A/G=：CM=學(xué)，

4

過點。作DHLABTH,

???ZAHD=90°=ZBGD,

,:ZA=ZDBC,

：.^ADH?ABDG,

9AD_AH_DH

''BD~BG~DGf

?5x_AH_PH

"Syf2x~15g_5mJ

15

?AU-八〃5A/7

..AH=—x,DH=——x,

44

g

：.EH=AE-AH=-x

4t

在RSDHE中，根據(jù)勾股定理得，DE=y/