計(jì)量第五章 異方差

計(jì)量第五章異方差第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五異方差一、異方差的概念二、產(chǎn)生異方差的原因（來源）三、異方差的后果四、異方差的檢驗(yàn)（診斷）五、異方差的修正第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五一、異方差的概念異方差可以表示為

或即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性。違背了模型假定條件2第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五二、異方差產(chǎn)生的原因普遍性：兩類數(shù)據(jù)都有，橫截面數(shù)據(jù)更多。原因：1.按照邊錯(cuò)邊改學(xué)習(xí)模型，人們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，其行為誤差隨時(shí)間而減少。在這種情形下，方差σi2會(huì)逐漸變小。例如，隨著打字練習(xí)小時(shí)數(shù)的增加，不僅平時(shí)打錯(cuò)的個(gè)數(shù)而且打錯(cuò)的方差都有所下降。2.隨著收入的增長，人們有更多的備用收入，從而如何支配他們的收入有更大的選擇范圍。因此，在作出儲(chǔ)蓄對(duì)收入的回歸時(shí)，很可能發(fā)現(xiàn)，由于人們對(duì)其儲(chǔ)蓄行為有更多的選擇，σi2與收入俱增。因此，以增長為導(dǎo)向的公司比之于已發(fā)展定型的公司在紅利支付方面也可能表現(xiàn)更多的變異。

第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五異方差產(chǎn)生的原因3.隨著數(shù)據(jù)采集技術(shù)的改進(jìn)，σi2可能減小。例如，有精巧數(shù)據(jù)處理設(shè)備的銀行，在他們對(duì)賬戶的每月或每季收支說明書中，比之于沒有這種設(shè)備的銀行，會(huì)出現(xiàn)更少的差錯(cuò)。4.異方差還會(huì)異常值的出現(xiàn)而產(chǎn)生。5.異方差還會(huì)因?yàn)槟Ｐ偷脑O(shè)定錯(cuò)誤而產(chǎn)生。第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五案例分析例1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為

Yi=0+1Xi+uiYi:第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額Xi:第i個(gè)家庭的可支配收入高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較小ui的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五例2：以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測(cè)值。

一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。

所以樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差隨著解釋變量觀測(cè)值的不同而不同，往往引起異方差性。第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五例3：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產(chǎn)出量Y

解釋變量：資本K、勞動(dòng)L、技術(shù)A，那么：每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。政治環(huán)境、社會(huì)環(huán)境、技術(shù)環(huán)境、經(jīng)濟(jì)環(huán)境等第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五三、異方差的后果1、參數(shù)估計(jì)量非有效

OLS估計(jì)量仍然具有線性性和無偏性，但不具有有效性

第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量

其他檢驗(yàn)也是如此。第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五3、模型的預(yù)測(cè)失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對(duì)Y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)功能失效。第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五三、異方差的檢驗(yàn)（診斷）檢驗(yàn)思路：

由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：

檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（一）殘差序列分析（二）戈德菲爾德-夸特檢驗(yàn)（三）戈里瑟檢驗(yàn)（四）懷特檢驗(yàn)第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（一）殘差序列分析(a)(b)第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五(c)(d)第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五(e)(f)第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（二）戈德菲爾德-夸特檢驗(yàn)戈德菲爾德-夸特檢驗(yàn)是最常用的異方差專門檢驗(yàn)方法之一。這種方法適合于檢驗(yàn)樣本容量較大的線性回歸模型的遞增或遞減型異方差性。戈德菲爾德-夸特檢驗(yàn)的原假設(shè)為H0：σ12

=σ22=…=σT2備擇假設(shè)：H1：σ12≤σ22≤…≤σT2對(duì)于存在遞增異方差模型，步驟：首先將樣本按X值的大小順序?qū)⒂^測(cè)值排列，然后略去居中的C個(gè)觀測(cè)值，并將其余的(T-C)個(gè)觀測(cè)值分成兩組，每組(T-C)/2個(gè)，分別對(duì)兩個(gè)子樣本進(jìn)行回歸，并分別獲得殘差平方和，自由度都為（T-C)/2-K-1。第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（二）戈德菲爾德-夸特檢驗(yàn)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：查表求臨界值F

，如果，拒絕原假設(shè)，誤差項(xiàng)存在明顯的遞增異方差性；如果，接受原假設(shè)，誤差項(xiàng)沒有明顯的異方差性。第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（二）戈德菲爾德-夸特檢驗(yàn)對(duì)于遞減異方差性模型，檢驗(yàn)的方法相似，只要把前面構(gòu)造的F統(tǒng)計(jì)量的分子分母互換，就可以用同樣的程序檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖谶f減型的異方差問題。但該方法的有效性還依賴于C的選擇，還有，當(dāng)模型出現(xiàn)多于一個(gè)X變量時(shí)，就可以按任意一個(gè)X變量的大小順序?qū)⒂^測(cè)值排列。參看案例分析第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（三）戈里瑟檢驗(yàn)第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（三）戈里瑟檢驗(yàn)通常擬合和之間的回歸模型：

根據(jù)圖形中的分布選擇還可以擬合和之間的回歸模型

第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（四）懷特檢驗(yàn)懷特檢驗(yàn)是通過建立輔助回歸模型的方式來判斷異方差的。不妨設(shè)回歸模型為三變量（二元）線性回歸模型：懷特檢驗(yàn)的具體步驟為：（1）估計(jì)回歸模型，得到每一個(gè)殘差的平方ei2

（2）估計(jì)輔助回歸模型：即將殘差平方關(guān)于所有解釋變量的一次項(xiàng)、二次項(xiàng)和交叉乘積項(xiàng)進(jìn)行回歸。若繼續(xù)引入高次項(xiàng)會(huì)使自由度下降，故一般只引入二次項(xiàng)。第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（四）懷特檢驗(yàn)（3）得到輔助回歸模型中的可決系數(shù)R的平方?？梢宰C明，在同方差的假定下，即在原假設(shè)為：漸進(jìn)的有：自由度g為輔助回歸模型中解釋變量的個(gè)數(shù)。（4）對(duì)于給定的顯著性水平，若，則拒絕原假設(shè)，模型存在異方差性，反之，則認(rèn)為不存在異方差性。第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五（四）懷特檢驗(yàn)在Eviews中首先對(duì)原模型進(jìn)行回歸，然后在窗口中點(diǎn)擊View\ResidualTest\WhiteHeteroskedasticity.此時(shí)可選擇是否包含交叉乘積項(xiàng)，若是原模型只包含一個(gè)解釋變量，輔助回歸模型中就沒有交叉乘積項(xiàng)，若是含有兩個(gè)及兩個(gè)以上解釋變量，就應(yīng)選擇含有交叉乘積項(xiàng)。參看案例分析第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五四、異方差的修正—加權(quán)最小二乘法如線性回歸模型為經(jīng)檢驗(yàn)，誤差項(xiàng)有如下異方差性（一）若σi2為已知可以用σi除模型(1)各項(xiàng)，得到令Yi*=Yi/σi,X0i*=1/σi,X1i*=X1i/σi

…,Xki*

=Xki/σi,ui*=ui/σi，則上式可化為Yi*=β0X0i*+β1X1i*+…+βkXki+ui*(2)則此模型(2)無異方差，為什么？第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五四、異方差的修正—加權(quán)最小二乘法（二）若σi2為未知對(duì)線性回歸模型為假設(shè)誤差項(xiàng)的方差正比于X1i2，即其中C為常數(shù)?？梢杂肵1i除模型(1)各項(xiàng)，得到令Yi*=Yi/X1i,X1i*=1/X1i,X2i*=X2i/X1i

…,Xki*

=Xki/X1i,ui*=ui/X1i，則上式可化為Yi*=β1+β0X1i*+β2X2i*+…+βkXki*+ui*(2)則此模型(2)無異方差，為什么？第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法在上述公式中的=理解成權(quán)重，則構(gòu)成了“加權(quán)最小二乘法”第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五例:參看課本P125頁案例分析在研究某地區(qū)居民的儲(chǔ)蓄傾向時(shí)，得到了如表6－1所示的數(shù)據(jù)資料。判斷用線性回歸模型研究居民儲(chǔ)蓄傾向時(shí)，誤差項(xiàng)是否存在異方差，并給出處理的方法。n儲(chǔ)蓄S收入In儲(chǔ)蓄收入n儲(chǔ)蓄收入12345678910112641059013112210740650343158889887779210995410508109791191212747134991426915522167301213141516171819202122950779819122217021578165114001829220020171766318575196352116322880241272560426500276702830027430232425262728293031210516002250242025701720190021002300295602815032100325003525033500360003620038200第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五I與S的散點(diǎn)圖第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五對(duì)樣本進(jìn)行線性回歸的結(jié)果

第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五懷特檢驗(yàn)結(jié)果第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五殘差序列圖第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五戈德菲爾德－夸特檢驗(yàn)對(duì)第一個(gè)樣本進(jìn)行回歸結(jié)果第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五戈德菲爾德－夸特檢驗(yàn)對(duì)第二個(gè)樣本進(jìn)行回歸結(jié)果第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五F＝749990.8/150867.9＝4.97這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的自由度都為11－1－1＝9，查表得顯著性水平為0.05的臨界值為F（9，9）＝3.18，而4.97>3.18，意味著兩個(gè)殘差平方和有顯著差異，也就是原模型誤差項(xiàng)有明顯的異方差性。第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五戈里瑟檢驗(yàn)第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五常數(shù)項(xiàng)不顯著，去掉再回歸第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五戈里瑟檢驗(yàn)第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五戈里瑟檢驗(yàn)第四十頁，共四十七頁，編輯于202