計算機(jī)算法回溯法

計算機(jī)算法回溯法1第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五通過應(yīng)用范例學(xué)習(xí)回溯法的設(shè)計策略。（1）裝載問題；（2）批處理作業(yè)調(diào)度；（3）符號三角形問題（4）n后問題；（5）0-1背包問題；（6）最大團(tuán)問題；（7）圖的m著色問題（8）旅行售貨員問題（9）圓排列問題（10）電路板排列問題（11）連續(xù)郵資問題2第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五有許多問題，當(dāng)需要找出它的解集或者要求回答什么解是滿足某些約束條件的最佳解時，往往要使用回溯法?；厮莘ǖ幕咀龇ㄊ撬阉?，或是一種組織得井井有條的，能避免不必要搜索的窮舉式搜索法。這種方法適用于解一些組合數(shù)相當(dāng)大的問題?；厮莘ㄔ趩栴}的解空間樹中，按深度優(yōu)先策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任意一點(diǎn)時，先判斷該結(jié)點(diǎn)是否包含問題的解。如果肯定不包含，則跳過對該結(jié)點(diǎn)為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結(jié)點(diǎn)回溯；否則，進(jìn)入該子樹，繼續(xù)按深度優(yōu)先策略搜索?；厮莘?第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五問題的解空間問題的解向量：回溯法希望一個問題的解能夠表示成一個n元式(x1,x2,…,xn)的形式。顯約束：對分量xi的取值限定。隱約束：為滿足問題的解而對不同分量之間施加的約束。解空間：對于問題的一個實(shí)例，解向量滿足顯式約束條件的所有多元組，構(gòu)成了該實(shí)例的一個解空間。注意：同一個問題可以有多種表示，有些表示方法更簡單，所需表示的狀態(tài)空間更?。ù鎯α可伲阉鞣椒ê唵危?。n=3時的0-1背包問題用完全二叉樹表示的解空間4第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五生成問題狀態(tài)的基本方法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn):一個正在產(chǎn)生兒子的結(jié)點(diǎn)稱為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn):一個自身已生成但其兒子還沒有全部生成的節(jié)點(diǎn)稱做活結(jié)點(diǎn)死結(jié)點(diǎn):一個所有兒子已經(jīng)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)稱做死結(jié)點(diǎn)深度優(yōu)先的問題狀態(tài)生成法：如果對一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)R，一旦產(chǎn)生了它的一個兒子C，就把C當(dāng)做新的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在完成對子樹C（以C為根的子樹）的窮盡搜索之后，將R重新變成擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)生成R的下一個兒子（如果存在）寬度優(yōu)先的問題狀態(tài)生成法：在一個擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)變成死結(jié)點(diǎn)之前，它一直是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)回溯法：為了避免生成那些不可能產(chǎn)生最佳解的問題狀態(tài)，要不斷地利用限界函數(shù)(boundingfunction)來處死那些實(shí)際上不可能產(chǎn)生所需解的活結(jié)點(diǎn)，以減少問題的計算量。具有限界函數(shù)的深度優(yōu)先生成法稱為回溯法5第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五回溯法的基本思想(1)針對所給問題，定義問題的解空間；(2)確定易于搜索的解空間結(jié)構(gòu)；(3)以深度優(yōu)先方式搜索解空間，并在搜索過程中用剪枝函數(shù)避免無效搜索。常用剪枝函數(shù)：用約束函數(shù)在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處剪去不滿足約束的子樹；用限界函數(shù)剪去得不到最優(yōu)解的子樹。用回溯法解題的一個顯著特征是在搜索過程中動態(tài)產(chǎn)生問題的解空間。在任何時刻，算法只保存從根結(jié)點(diǎn)到當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的路徑。如果解空間樹中從根結(jié)點(diǎn)到葉結(jié)點(diǎn)的最長路徑的長度為h(n)，則回溯法所需的計算空間通常為O(h(n))。而顯式地存儲整個解空間則需要O(2h(n))或O(h(n)!)內(nèi)存空間。6第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五遞歸回溯回溯法對解空間作深度優(yōu)先搜索，因此，在一般情況下用遞歸方法實(shí)現(xiàn)回溯法。voidbacktrack(intt){

if(t>n)output(x);

elsefor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);}}7第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五迭代回溯采用樹的非遞歸深度優(yōu)先遍歷算法，可將回溯法表示為一個非遞歸迭代過程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;

while(t>0){

if(f(n,t)<=g(n,t))for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);

if(constraint(t)&&bound(t)){

if(solution(t))output(x);

elset++;}}

elset--;}}8第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五子集樹與排列樹遍歷子集樹需O(2n)計算時間遍歷排列樹需要O(n!)計算時間voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=0;i<=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtrack(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=t;i<=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}9第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五裝載問題有一批共n個集裝箱要裝上2艘載重量分別為c1和c2的輪船，其中集裝箱i的重量為wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明，如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。將第一艘輪船盡可能裝滿等價于選取全體集裝箱的一個子集，使該子集中集裝箱重量之和最接近。由此可知，裝載問題等價于以下特殊的0-1背包問題。用回溯法設(shè)計解裝載問題的O(2n)計算時間算法。在某些情況下該算法優(yōu)于動態(tài)規(guī)劃算法。10第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五裝載問題解空間：子集樹可行性約束函數(shù)(選擇當(dāng)前元素)：上界函數(shù)(不選擇當(dāng)前元素)：當(dāng)前載重量cw+剩余集裝箱的重量r當(dāng)前最優(yōu)載重量bestwvoidbacktrack(inti){//搜索第i層結(jié)點(diǎn)

if(i>n)//到達(dá)葉結(jié)點(diǎn)更新最優(yōu)解bestx,bestw;return;r-=w[i];

if(cw+w[i]<=c){//搜索左子樹

x[i]=1;cw+=w[i];

backtrack(i+1);cw-=w[i];}

if(cw+r>bestw){x[i]=0;//搜索右子樹

backtrack(i+1);}r+=w[i];}11第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五批處理作業(yè)調(diào)度給定n個作業(yè)的集合{J1,J2,…,Jn}。每個作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時間為tji。對于一個確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時間。所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時間和稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時間和。批處理作業(yè)調(diào)度問題要求對于給定的n個作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時間和達(dá)到最小。tji機(jī)器1機(jī)器2作業(yè)121作業(yè)231作業(yè)323這3個作業(yè)的6種可能的調(diào)度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它們所相應(yīng)的完成時間和分別是19，18，20，21，19，19。易見，最佳調(diào)度方案是1,3,2，其完成時間和為18。12第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五批處理作業(yè)調(diào)度解空間：排列樹voidFlowshop::Backtrack(inti){if(i>n){for(intj=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestf=f;}elsefor(intj=i;j<=n;j++){f1+=M[x[j]][1];f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2];f+=f2[i];if(f<bestf){Swap(x[i],x[j]);Backtrack(i+1);Swap(x[i],x[j]);}f1-=M[x[j]][1];f-=f2[i];}}classFlowshop{friendFlow(int**,int,int[]);private:voidBacktrack(inti);int**M,//各作業(yè)所需的處理時間*x,//當(dāng)前作業(yè)調(diào)度*bestx,//當(dāng)前最優(yōu)作業(yè)調(diào)度*f2,//機(jī)器2完成處理時間

f1,//機(jī)器1完成處理時間

f,//完成時間和

bestf,//當(dāng)前最優(yōu)值

n;//作業(yè)數(shù)};13第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五符號三角形問題++-+-+++----+-+++--++--+---+下圖是由14個“+”和14個“-”組成的符號三角形。2個同號下面都是“+”，2個異號下面都是“-”。在一般情況下，符號三角形的第一行有n個符號。符號三角形問題要求對于給定的n，計算有多少個不同的符號三角形，使其所含的“+”和“-”的個數(shù)相同。14第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五符號三角形問題解向量：用n元組x[1:n]表示符號三角形的第一行。可行性約束函數(shù)：當(dāng)前符號三角形所包含的“+”個數(shù)與“-”個數(shù)均不超過n*(n+1)/4無解的判斷：n*(n+1)/2為奇數(shù)voidTriangle::Backtrack(intt){if((count>half)||(t*(t-1)/2-count>half))return;if(t>n)sum++;elsefor(inti=0;i<2;i++){p[1][t]=i;count+=i;for(intj=2;j<=t;j++){p[j][t-j+1]=p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];count+=p[j][t-j+1];}Backtrack(t+1);for(intj=2;j<=t;j++)count-=p[j][t-j+1];count-=i;}}++-+-+++----+-+++--++--+---+復(fù)雜度分析計算可行性約束需要O(n)時間，在最壞情況下有O(2n)個結(jié)點(diǎn)需要計算可行性約束，故解符號三角形問題的回溯算法所需的計算時間為O(n2n)。15第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五n后問題在n×n格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個皇后。按照國際象棋的規(guī)則，皇后可以攻擊與之處在同一行或同一列或同一斜線上的棋子。n后問題等價于在n×n格的棋盤上放置n個皇后，任何2個皇后不放在同一行或同一列或同一斜線上。1234567812345678QQQQQQQQ16第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解向量：(x1,x2,…,xn)顯約束：xi=1,2,…,n隱約束：

1)不同列：xixj2)不處于同一正、反對角線：|i-j||xi-xj|n后問題boolQueen::Place(intk){for(intj=1;j<k;j++)if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))returnfalse;returntrue;}voidQueen::Backtrack(intt){if(t>n)sum++;elsefor(inti=1;i<=n;i++){x[t]=i;if(Place(t))Backtrack(t+1);}}17第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五0-1背包問題解空間：子集樹可行性約束函數(shù)：上界函數(shù)：template<classTypew,classTypep>TypepKnap<Typew,Typep>::Bound(inti){//計算上界

Typewcleft=c-cw;//剩余容量

Typepb=cp;//以物品單位重量價值遞減序裝入物品

while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];b+=p[i];i++;}//裝滿背包

if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;returnb;}18第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五最大團(tuán)問題給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。如果UV且對任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的空子圖。G的空子圖U是G的獨(dú)立集當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的空子圖中。G的最大獨(dú)立集是G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的獨(dú)立集。對于任一無向圖G=(V，E)其補(bǔ)圖G=(V1，E1)定義為：V1=V，且(u，v)E1當(dāng)且僅當(dāng)(u，v)E。U是G的最大團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U是G的最大獨(dú)立集。124531245319第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五最大團(tuán)問題解空間：子集樹可行性約束函數(shù)：頂點(diǎn)i到已選入的頂點(diǎn)集中每一個頂點(diǎn)都有邊相連。上界函數(shù)：有足夠多的可選擇頂點(diǎn)使得算法有可能在右子樹中找到更大的團(tuán)。voidClique::Backtrack(inti){//計算最大團(tuán)

if(i>n){//到達(dá)葉結(jié)點(diǎn)

for(intj=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestn=cn;return;}//檢查頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)的連接

intOK=1;for(intj=1;j<i;j++)if(x[j]&&a[i][j]==0){//i與j不相連

OK=0;break;}if(OK){//進(jìn)入左子樹

x[i]=1;cn++;Backtrack(i+1);x[i]=0;cn--;}if(cn+n-i>bestn){//進(jìn)入右子樹

x[i]=0;Backtrack(i+1);}}復(fù)雜度分析最大團(tuán)問題的回溯算法backtrack所需的計算時間顯然為O(n2n)。1245320第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五進(jìn)一步改進(jìn)選擇合適的搜索順序，可以使得上界函數(shù)更有效的發(fā)揮作用。例如在搜索之前可以將頂點(diǎn)按度從小到大排序。這在某種意義上相當(dāng)于給回溯法加入了啟發(fā)性。定義Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。從而得到一個更精確的上界函數(shù)，若cn+Si<=max則剪枝。同時注意到：從Si+1到Si，如果找到一個更大的團(tuán)，那么vi必然屬于找到的團(tuán)，此時有Si=Si+1+1，否則Si=Si+1。因此只要max的值被更新過，就可以確定已經(jīng)找到最大值，不必再往下搜索了。21第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五圖的m著色問題給定無向連通圖G和m種不同的顏色。用這些顏色為圖G的各頂點(diǎn)著色，每個頂點(diǎn)著一種顏色。是否有一種著色法使G中每條邊的2個頂點(diǎn)著不同顏色。這個問題是圖的m可著色判定問題。若一個圖最少需要m種顏色才能使圖中每條邊連接的2個頂點(diǎn)著不同顏色，則稱這個數(shù)m為該圖的色數(shù)。求一個圖的色數(shù)m的問題稱為圖的m可著色優(yōu)化問題。22第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解向量：(x1,x2,…,xn)表示頂點(diǎn)i所著顏色x[i]

可行性約束函數(shù)：頂點(diǎn)i與已著色的相鄰頂點(diǎn)顏色不重復(fù)。圖的m著色問題voidColor::Backtrack(intt){if(t>n){sum++;for(inti=1;i<=n;i++)cout<<x[i]<<'';cout<<endl;}elsefor(inti=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(Ok(t))Backtrack(t+1);}}boolColor::Ok(intk){//檢查顏色可用性

for(intj=1;j<=n;j++)if((a[k][j]==1)&&(x[j]==x[k]))returnfalse;returntrue;}復(fù)雜度分析圖m可著色問題的解空間樹中內(nèi)結(jié)點(diǎn)個數(shù)是對于每一個內(nèi)結(jié)點(diǎn)，在最壞情況下，用ok檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個兒子所相應(yīng)的顏色可用性需耗時O(mn)。因此，回溯法總的時間耗費(fèi)是23第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五旅行售貨員問題解空間：排列樹template<classType>voidTraveling<Type>::Backtrack(inti){if(i==n){if(a[x[n-1]][x[n]]!=NoEdge&&a[x[n]][1]!=NoEdge&&(cc+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]<bestc||bestc==NoEdge)){for(intj=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestc=cc+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1];}}else{for(intj=i;j<=n;j++)//是否可進(jìn)入x[j]子樹?if(a[x[i-1]][x[j]]!=NoEdge&&(cc+a[x[i-1]][x[i]]<bestc||bestc==NoEdge)){//搜索子樹

Swap(x[i],x[j]);cc+=a[x[i-1]][x[i]];Backtrack(i+1);cc-=a[x[i-1]][x[i]];Swap(x[i],x[j]);}}}復(fù)雜度分析算法backtrack在最壞情況下可能需要更新當(dāng)前最優(yōu)解O((n-1)!)次，每次更新bestx需計算時間O(n)，從而整個算法的計算時間復(fù)雜性為O(n!)。24第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五圓排列問題給定n個大小不等的圓c1,c2,…,cn，現(xiàn)要將這n個圓排進(jìn)一個矩形框中，且要求各圓與矩形框的底邊相切。圓排列問題要求從n個圓的所有排列中找出有最小長度的圓排列。例如，當(dāng)n=3，且所給的3個圓的半徑分別為1，1，2時，這3個圓的最小長度的圓排列如圖所示。其最小長度為25第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五圓排列問題floatCircle::Center(intt){//計算當(dāng)前所選擇圓的圓心橫坐標(biāo)

floattemp=0;for(intj=1;j<t;j++){floatvaluex=x[j]+2.0*sqrt(r[t]*r[j]);if(valuex>temp)temp=valuex;}returntemp;}voidCircle::Compute(void){//計算當(dāng)前圓排列的長度

floatlow=0,high=0;for(inti=1;i<=n;i++){if(x[i]-r[i]<low)low=x[i]-r[i];if(x[i]+r[i]>high)high=x[i]+r[i];}if(high-low<min)min=high-low;}voidCircle::Backtrack(intt){if(t>n)Compute();elsefor(intj=t;j<=n;j++){Swap(r[t],r[j]);floatcenterx=Center(t);if(centerx+r[t]+r[1]<min){//下界約束

x[t]=centerx;Backtrack(t+1);}Swap(r[t],r[j]);}}復(fù)雜度分析由于算法backtrack在最壞情況下可能需要計算O(n!)次當(dāng)前圓排列長度，每次計算需O(n)計算時間，從而整個算法的計算時間復(fù)雜性為O((n+1)!)

上述算法尚有許多改進(jìn)的余地。例如，象1,2,…,n-1,n和n,n-1,…,2,1這種互為鏡像的排列具有相同的圓排列長度，只計算一個就夠了，可減少約一半的計算量。另一方面，如果所給的n個圓中有k個圓有相同的半徑，則這k個圓產(chǎn)生的k!個完全相同的圓排列，只計算一個就夠了。26第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五連續(xù)郵資問題假設(shè)國家發(fā)行了n種不同面值的郵票，并且規(guī)定每張信封上最多只允許貼m張