2022-2023學(xué)年四川省成都市高二下期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省成都市高二下期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可求解.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，對(duì)稱點(diǎn)為.故選：C.2．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】由，，，，所以A、B、D錯(cuò)，C對(duì).故選：C3．，，若//，則（

）A．0 B． C．4 D．2【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的條件進(jìn)行求解【詳解】由//，則，使得，即，解得.故選：B4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性.【詳解】由圖可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故選：D.5．已知，，，則平面ABC的一個(gè)法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入法向量的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】，，令法向量為，則，，可取.故選：A.6．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面角的正弦值等于線與面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值求解即可.【詳解】令直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的夾角為，，，.故選：C7．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，得到即切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】，，即切線的斜率為，又，切線方程為，即.故選：A8．已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2 B．C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示求解作答.【詳解】因?yàn)?，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，，所以.故選：C9．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意的解集為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】由，所以，單調(diào)遞減區(qū)間是，的解集為，即的解集為，，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：D.10．如圖，將的菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面平面CBD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取BD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線線角即可.【詳解】如圖，取BD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令，，，，，則，，，，所成角的余弦值為.故選：.11．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，在有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求解即可.【詳解】解：有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，在有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，即在有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，，.故選：A.12．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用的單調(diào)性可判斷，利用的單調(diào)性可判斷，故可得三者之間的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；，即有，；令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞減；，即有，，綜上所述，則有，故選：B.二、填空題13．__________．【答案】1.【分析】由題意利用微積分基本定理求解定積分的值即可.【詳解】由微積分基本定理有：.故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查微積分基本定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．已知直線l在平面外，直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是___________（填“平行”或“相交”）【答案】平行【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，且直線l在平面外，所以//.故答案為：平行.15．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面的距離等于_____.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，取，又，所以點(diǎn)到面的距離，故答案為：.16．已知不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為___________.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可作出大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】原不等式等價(jià)于，設(shè)，，，令，得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值1.又，且時(shí)，與的圖象如下，直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足條件；當(dāng)時(shí)，只需要滿足，解得，的取值范圍為，故答案為：.三、解答題17．如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別為棱，CD的中點(diǎn)，記，，，滿足，，，.(1)用，，表示；(2)計(jì)算.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)空間向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，用表示出；（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得，結(jié)合已知即可求數(shù)量積.【詳解】（1）；（2）.18．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求a的值(2)求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)極小值，極大值.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)條件求出a；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定極值.【詳解】（1）易得，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，得；（2）由（1）得，，令有或，可得x02+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增在處取得極大值，在處取得極小值；綜上，極大值，極小值.19．如圖，在長方體中，，，，交于點(diǎn)E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用長方體的結(jié)構(gòu)特征，證明平面平面，可得直線平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法求AD與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接，，長方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又，平面，平面平面，又平面，直線平面；（2）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：得，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，得，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)AD與平面所成角大小為，則，與平面所成角的正弦值為.20．一艘漁船在進(jìn)行漁業(yè)作業(yè)的過程中，產(chǎn)生的主要費(fèi)用有燃油費(fèi)用和人工費(fèi)用，已知漁船每小時(shí)的燃油費(fèi)用與漁船速度的立方成正比，已知當(dāng)漁船的速度為10海里/小時(shí)時(shí)，燃油費(fèi)用是600元/小時(shí)，人工費(fèi)用是4050元/小時(shí)，記漁船的航行速度為v（海里/小時(shí)），滿足，漁船每航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用為p元(1)列出航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用p（元）關(guān)于航行速度v（海里/小時(shí)）的關(guān)系式；(2)求航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用p（元）的最小值，及此時(shí)漁船的航行速度v（海里小時(shí)）的大小.【答案】(1)，；(2)當(dāng)航行速度為15海里/小時(shí)，航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用有最小值405元.【分析】（1）由題先求出每小時(shí)燃油費(fèi)用與與漁船速度的關(guān)系，再求得p與v的關(guān)系式；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得函數(shù)的單調(diào)性，求出最值.【詳解】（1）設(shè)漁船每小時(shí)的燃油費(fèi)用為y元，由題可設(shè)，又當(dāng)漁船的速度為10海里/小時(shí)，燃油費(fèi)用是600元/小時(shí)，得，即，航行一小時(shí)的主要費(fèi)用為（元），，（2）易得，，令，即，得，令，即，得可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)航行速度為15海里/小時(shí)，航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用有最小值405元.21．如圖，四邊形ABCD為等腰梯形（如圖①），，，點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足，滿足，將和分別沿BE，CF折起，使A，D兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P（如圖②）(1)證明：平面平面BCFE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）先證明平面PEF，再證明平面平面BCFE.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PBC和平面BCE的法向量，計(jì)算法向量的夾角絕對(duì)值，即為所求.【詳解】（1）證明：由圖①知，，，所以圖②中有，，又，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，又平面BCFE，所以平面平面BCFE.（2）取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)，連接OQ，易得，又平面平面BCFE，平面平面，平面PEF，可得平面BCFE，又易得，，可得OQ，OF，OP兩兩垂直，建系如圖，得，，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，，，由，即，令，得平面PBC的一個(gè)法向量為，易得平面BCE的一個(gè)法向量為，由，二面角的余弦值為.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，且滿足：，，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就、、、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，，則原不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)可證明該不等式.【詳解】（1）易知可得，，①當(dāng)時(shí)，由