計(jì)算方法九矩陣特征對的數(shù)值解法

計(jì)算方法九矩陣特征對的數(shù)值解法第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五特征多項(xiàng)式為按最后一列展開，得可以證明，和的根都是實(shí)單根，滿足第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五序列的變號(hào)數(shù)定義為在的變號(hào)數(shù)。遇到時(shí)，去掉。例如，則定理9.1

的變號(hào)數(shù)就是三對角矩陣在上的特征值個(gè)數(shù)。進(jìn)而，若在區(qū)間則上的特征值個(gè)數(shù)為第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五線性代數(shù)中如下結(jié)果可用于估計(jì)特征值所在區(qū)間：1）矩陣的跡=的特征值之和2）3）圓盤定理：的特征值均位于以下個(gè)圓盤的并集中：特別地，個(gè)圓盤的相交部分中必有個(gè)特征根，孤立的圓盤中必有一個(gè)特征根。第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五求Jacobi矩陣之特征對的攻略：1）綜合利用變號(hào)數(shù)、圓盤定理等確定有根區(qū)間。2）在有根區(qū)間上用二分法或Newton法求的根。3）用反冪法求的特征向量第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五例1.求在（0，3.5）中的全部特征值：解.先計(jì)算變號(hào)數(shù)。由得從而第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五即在[0,3.5]上有兩個(gè)根。進(jìn)一步，可以算出因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一個(gè)根?？梢杂枚址ㄇ蟪觯荷嫌袉胃Ｉ嫌袉胃?。……上有單根。上有單根。第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五9.1.2對稱矩陣化為Jacobi矩陣定義.次對角線以下元素都為零的準(zhǔn)上三角矩陣稱為Hessenberg矩陣（H陣）。若次對角元素皆非零，則稱為不可約Hessenberg矩陣。對方陣可以通過Household變換化成H陣：選取其中使得第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五于是，如此進(jìn)行步之后，得到Hessenberg矩陣特別地，當(dāng)是對稱矩陣時(shí)，成為Jacobi陣?？梢杂米兲?hào)數(shù)方法以及二分法等等求解。第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五例.求對稱矩陣特征值解.先計(jì)算Househould矩陣：???算錯(cuò)了？作用到得第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五算出由知在（0，5）間至少有一個(gè)根。類似可以看出在（5，8）和（14，20）間各有一個(gè)根。再用二分法或Newton法即可求出特征值。第十一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期五9.3

方法9.3.1基本公式已知，任意矩陣可以分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積?？上У氖遣幌嗨朴?，不能直接用來求特征值。但是，畢竟是上三角矩陣。相似變換也許在某種程度上保留了上三