湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學(xué)2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學(xué)2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．104．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．5．已知底面為邊長為的正方形，側(cè)棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點.給出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．637．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，以（為坐標(biāo)原點）為直徑的圓交雙曲線于兩點，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．9．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或10．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．11．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．12．博覽會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，那么______.14．在直角坐標(biāo)系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標(biāo)為___________.15．小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動，要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為_____.16．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.18．（12分）在三角形中，角，，的對邊分別為，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.19．（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開了對這次疫情的研究，一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國累計報告確診病例數(shù)量（單位：萬人）之間的關(guān)系如下表：日期1234567全國累計報告確診病例數(shù)量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？（2）求出關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.并預(yù)測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.20．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準(zhǔn)線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．21．（12分）（江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于軸的動直線交拋物線：于點，點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，.當(dāng)線段的長度最小時，求的值.22．（10分）已知橢圓：過點，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當(dāng)取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).2、D【解題分析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當(dāng)時，與有且僅有四個不同的交點設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.3、C【解題分析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.4、A【解題分析】

設(shè)切點為，對求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.5、C【解題分析】

①與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結(jié)論；②當(dāng)在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設(shè)，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．【題目詳解】如圖：①錯誤，因為，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為；②正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當(dāng)在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點），當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，，，所以六個面上的正投影長度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號.故選：.【題目點撥】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強(qiáng)，屬于難題．6、B【解題分析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.7、D【解題分析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【題目詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【題目點撥】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】

試題分析：把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為，故選D.考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).9、D【解題分析】

根據(jù)題意得，設(shè)與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【題目詳解】因為，，則，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【題目點撥】本題考查向量的坐標(biāo)運算以及共線定理和單位向量的定義.10、D【解題分析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【題目詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【題目點撥】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.11、B【解題分析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點：雙曲線方程.12、C【解題分析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【題目詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【題目點撥】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由已知利用誘導(dǎo)公式可求，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【題目詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【題目詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標(biāo)求向量的模，屬于中檔題.15、【解題分析】

從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.【題目詳解】由題：從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，共有種，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有種，所以其概率為.故答案為：【題目點撥】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).16、【解題分析】

根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算化簡，即可求得的值，進(jìn)而求得離心率即可.【題目詳解】設(shè)點，，則，即，∵，，，當(dāng)時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導(dǎo)公式求得，進(jìn)而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長.【題目詳解】（1）在中，，解得，.（2）在中，，..【題目點撥】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）8【解題分析】

（Ⅰ）由余弦定理可得，即可求出A,（Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【題目詳解】（Ⅰ）由余弦定理，所以，所以，即，因為，所以；（Ⅱ）因為，所以，因為，，由正弦定理得，所以.【題目點撥】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形，屬于簡單題.19、（1）可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2），預(yù)測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.【解題分析】

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用公式求得，再根據(jù)的值越大說明它們的線性相關(guān)性越高來判斷.（2）由（1）的相關(guān)數(shù)據(jù)，求得，，寫出回歸方程，然后將代入回歸方程求解.【題目詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)得，，，所以，，所以.因為與的相關(guān)近似為0.99，說明它們的線性相關(guān)性相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由（1）得，，，所以，關(guān)于的回歸方程為：，2月10日，即代入回歸方程得：.所以預(yù)測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.【題目點撥】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）y2＝6x（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，列方程即可得解；（2）根據(jù)中點坐標(biāo)表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【題目詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準(zhǔn)線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設(shè)線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h?，當(dāng)且僅當(dāng)9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以S△ABC的最大值為．【題目點撥】此題考查根據(jù)焦點和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入，拋物線中需要考慮設(shè)點坐標(biāo)的技巧，處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.21、(1)．(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）設(shè)根據(jù)題意得到，化簡得到軌跡方程；（2）設(shè)，，，，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值.解析：（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點，則直線的