2024年江蘇省重點中學高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024年江蘇省重點中學高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．322．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．4．集合，，則=()A． B．C． D．5．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內(nèi)一點，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．56．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．7．數(shù)列{an}，滿足對任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2，a9=3，a98=4，則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A．132 B．299 C．68 D．998．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．9．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的方程不可能為（）A． B． C． D．11．國家統(tǒng)計局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．12個月的PMI值不低于50%的頻率為B．12個月的PMI值的平均值低于50%C．12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D．12個月的PMI值的中位數(shù)為50.3%12．已知，若方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.14．過點，且圓心在直線上的圓的半徑為__________．15．已知集合,,則__________．16．的展開式中，的系數(shù)為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，.（1）當時，證明：；（2）設(shè)直線是函數(shù)在點處的切線，若直線也與相切，求正整數(shù)的值.18．（12分）已知，，且.（1）求的最小值；（2）證明：.19．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．20．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，正實數(shù)、滿足，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【題目詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【題目點撥】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【題目詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【題目點撥】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應用意識.3、D【解題分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【題目詳解】∵，∴，，，.故選：D.【題目點撥】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計算方法，求解，即可．【題目詳解】解得集合，所以，故選C．【題目點撥】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較?。?、A【解題分析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.【題目詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【題目點撥】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5≤【題目詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱是解題的關(guān)鍵.7、B【解題分析】

由為定值，可得，則是以3為周期的數(shù)列，求出，即求.【題目詳解】對任意的，均有為定值，，故，是以3為周期的數(shù)列，故，.故選：.【題目點撥】本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.8、B【解題分析】

先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【題目詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【題目點撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.9、A【解題分析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【題目詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【題目點撥】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程，求得四個選項中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項.【題目詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況．依題意，雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°，雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為，B選項漸近線為，C選項漸近線為，D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選：C【題目點撥】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.【題目詳解】對A，從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于50%的月份有4個，所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對C，12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%，故C正確，；對D，12個月的PMI值的中位數(shù)為49.6%，故D錯誤故選：D.【題目點撥】本題考查頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

求出的表達式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可．【題目詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當即圖象相切時，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【題目詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標.由兩點間距離公式,即可得半徑.【題目詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標為則圓的半徑為故答案為:【題目點撥】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【題目詳解】解:,,所以.故答案為:【題目點撥】本題考查集合的交集運算,是基礎(chǔ)題.16、16【解題分析】

要得到的系數(shù)，只要求出二項式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【題目詳解】的系數(shù)為.故答案為：16【題目點撥】此題考查二項式的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）令，求導，可知單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點，在此取得最小值，再證最小值大于零即可.（2）根據(jù)題意得到在點處的切線的方程①，再設(shè)直線與相切于點，有，即，再求得在點處的切線直線的方程為②由①②可得，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，，令，轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點，則只需，求解.【題目詳解】（1）證明：設(shè)，則，單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而的最小值為.所以，即.（2），故，故切線的方程為①設(shè)直線與相切于點，注意到，從而切線斜率為，因此，而，從而直線的方程也為②由①②可知，故，由為正整數(shù)可知，，所以，，令，則，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，從而在上無零點；當時，要使得在上存在零點，則只需，，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以；因為為單調(diào)遞增函數(shù)，且，因此；因為為整數(shù)，且，所以.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.18、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）關(guān)鍵是配湊系數(shù)，進而利用基本不等式得證．【題目詳解】（1），當且僅當“”時取等號，故的最小值為；（2），當且僅當時取等號，此時．故．【題目點撥】本題主要考查基本不等式的運用，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）y2＝6x（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據(jù)中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【題目詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設(shè)線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h?，當且僅當9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以S△ABC的最大值為．【題目點撥】此題考查根據(jù)焦點和準線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達定理整體代入，拋物線中需要考慮設(shè)點坐標的技巧，處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）當時，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.（2）對分成三種情況，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【題目詳解】（1）時，可得，即，化簡得：，所以不等式的解集為.（2）①當時，由函數(shù)單調(diào)性可得，解得；②當時，，所以符合題意；③當時，由函數(shù)單調(diào)性可得，，解得綜上，實數(shù)的取值范圍為【題目點撥】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.21、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ