2022年河北省衡水市北卷子中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年河北省衡水市北卷子中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)和點(diǎn)，P是直線上的一點(diǎn)，則的最小值是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】求出A關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為C，則BC即為所求【詳解】如下圖所示：點(diǎn)，關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為C（0,2），連接BC,此時(shí)的最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則等于（）．A．28 B．14 C．35 D．7參考答案：B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，．故選．3.若變量，且滿足約束條件，則的最大值為（

）A.15 B.12 C.3 D.參考答案：A【分析】作出可行域，采用平移直線法判斷何處取到最大值.【詳解】畫出可行域如圖陰影部分，由得，目標(biāo)函數(shù)圖象可看作一條動(dòng)直線，由圖形可得當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)最值的計(jì)算，難度較易.求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，采用平移直線法是最常規(guī)的.4.直線被圓截得的劣弧與優(yōu)弧的長(zhǎng)之比是（

）A.1：5 B.1：2 C.1：3 D.1：4參考答案：A【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系，可以求出劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，根據(jù)弧度制的定義，這樣就可以求出劣弧與優(yōu)弧的長(zhǎng)之比.【詳解】圓心O到直線的距離為：，直線被圓截得的弦為AB,弦AB所對(duì)的圓心角為，弦AB的中點(diǎn)為C，由垂徑定理可知：，所以，劣弧與優(yōu)弧的長(zhǎng)之比為：，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理、點(diǎn)到直線距離公式、弧長(zhǎng)公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，下列命題正確的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則參考答案：A6.已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，則A∪B=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}參考答案：A【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)不等式的解法，B={x|0＜x＜2}，然后根據(jù)并集的定義“由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合叫做并集”進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)不等式的解法，易得B={x|0＜x＜2}，又有A={x|x＞1}，則A∪B={x|x＞0}．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查并集的運(yùn)算，注意結(jié)合數(shù)軸來(lái)求解，屬于容易題．7.直線的傾斜角為（

）A.150° B.120° C.60° D.30°參考答案：A【分析】現(xiàn)求出直線的斜率，再根據(jù)斜率是傾斜角的正切值，計(jì)算傾斜角即可.【詳解】設(shè)傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為-，所以，，又因?yàn)樗裕蔬xA.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，其中熟記直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.下列判斷正確的是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)f，g都是由A到A的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表（從上到下）： 表1映射f的對(duì)應(yīng)法則 X1234f（x）3421表2映射g的對(duì)應(yīng)法則 x1234g（x）4312則f[g（1）]的值為（） A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值；映射． 【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】?jī)蓚€(gè)表格實(shí)際上是兩個(gè)函數(shù)的列表法表示，能夠從表中直接得出相應(yīng)的函數(shù)值．f[g（1）]是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)值，應(yīng)先根據(jù)表2得出g（1）的值，再根據(jù)表1得出所求結(jié)果． 【解答】解：根據(jù)表2映射g的對(duì)應(yīng)法則，可得g（1）=4， 再根據(jù)表2映射g的對(duì)應(yīng)法則，得出f（4）=1， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與影射的定義，復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值求解．屬于基礎(chǔ)題．關(guān)鍵對(duì)復(fù)合函數(shù)的定義有明確的理解． 10.若函數(shù)，則的值為（

）A.5

B.－5

C.

D.4參考答案：B令本題選擇B選項(xiàng).

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一件商品成本為20元，售價(jià)為40元時(shí)每天能賣出500件。若售價(jià)每提高1元，每天銷量就減少10件，問商家定價(jià)為****元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大。參考答案：55設(shè)提高x元，則銷量為，利潤(rùn)為：.當(dāng)時(shí)，即定價(jià)為55元時(shí)每天的利潤(rùn)最大.12.下列三個(gè)特稱命題：（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立；（2）存在一個(gè)平面與不平行的兩條直線都垂直；（3）有些函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．其中真命題的個(gè)數(shù)為．參考答案：213.若變量x，y滿足則的最大值為()參考答案：214.函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.參考答案：.15.已知函數(shù)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：16.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（，2），則f（3）=

．參考答案：9【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】對(duì)應(yīng)思想；待定系數(shù)法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】用待定系數(shù)法求出函數(shù)y=f（x）的解析式，再計(jì)算f（3）的值．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)y=f（x）=xa，a∈R，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（，2），∴=2，解得a=2；∴f（x）=x2，∴f（3）=32=9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)求解析式以及求函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．17.已知集合，，設(shè)集合同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①；②若，則；③若，則．（）當(dāng)時(shí)，一個(gè)滿足條件的集合是__________．（寫出一個(gè)即可）．（）當(dāng)時(shí)，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為__________．參考答案：（），（,，，任寫一個(gè)）（）（）時(shí)，集合，由①；②若，則；③若，則；可知：當(dāng)時(shí)，則，即，則，即，但元素與集合的關(guān)系不確定，故或；當(dāng)時(shí)，則，，元素與集合的關(guān)系不確定，故，或．（）當(dāng)時(shí)，集合，由①；②若，則；③，則，可知：，必須同屬于，此時(shí)屬于的補(bǔ)集；或，必須同屬于的補(bǔ)集，此時(shí)屬于；屬于時(shí)，屬于的補(bǔ)集；屬于的補(bǔ)集，屬于；而元素，沒有限制．故滿足條件的集合共有個(gè)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知正六棱錐P-ABCDEF，且，，求正六棱錐P-ABCDEF的全面積參考答案：【分析】根據(jù)正六棱錐的體積先求體高，再求側(cè)棱，最后求解側(cè)面面積，得解即可?！驹斀狻拷猓喝〉闹悬c(diǎn)，連接，，【點(diǎn)睛】本題考查了，圓錐的表面積，屬于基礎(chǔ)題，已知體積求表面積是常見考查方式，求解的關(guān)鍵是體高和側(cè)面高線之間的關(guān)系。19.已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量＝(a，b)，＝(sinB，sinA)，＝(b－2，a－2)．(1)若∥，求證：△ABC為等腰三角形；(2)若⊥，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝，求△ABC的面積．參考答案：解：(1)證明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圓半徑，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形．

………4分(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，………8分∴S＝absinC＝×4×sin＝……10分20.已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）設(shè)t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值與最小值；（2）求f（x）的最大值與最小值．參考答案：【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)綜合題．【分析】（1）設(shè)t=3x，由x∈[﹣1，2]，且函數(shù)t=3x在[﹣1，2]上是增函數(shù)，故有≤t≤9，由此求得t的最大值和最小值．（2）由f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1，且≤t≤9，由此求得f（x）的最大值與最小值．【解答】解：（1）設(shè)t=3x，∵x∈[﹣1，2]，函數(shù)t=3x在[﹣1，2]上是增函數(shù)，故有≤t≤9，故t的最大值為9，t的最小值為．（2）由f（x）=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1，且≤t≤9，故當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值為3，當(dāng)t=9時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值為67．21.如圖,在等腰直角三角形OPQ中,,點(diǎn)M在線段PQ上.(1)若,求PM的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)N在線段MQ上,且,求△OMN的面積.參考答案：（1）或；（2）.【分析】（1）在中，由題設(shè)條件及余弦定理得，OM2=OP2+MP2-2?OP?MPcos45°，解得MP即可；（2）在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，即可求出三角形的面積.【詳解】(1)在中,,,,由余弦定理得,,得,

解得或(2)在中,由正弦定理,得,所以,同理.故=【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．22.(本小題滿分16分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30英里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.參考答案：

(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則………2分==

……4分故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)………