第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法

第四章數(shù)學(xué)中的公理化方法第一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述公理化方法的基本思想

數(shù)學(xué)是撇開現(xiàn)實(shí)世界的具體內(nèi)容來(lái)研究其量性特征形式與關(guān)系的。其結(jié)果只有經(jīng)過(guò)證明才可信，而數(shù)學(xué)證明采用的是邏輯推理方法，根據(jù)邏輯推理的規(guī)則，每步推理都要有個(gè)大前提，我們不難想象到，最初的那個(gè)大前提是不可能再由另外的大前提導(dǎo)出的，既是說(shuō)，我們的逆推過(guò)程總有個(gè)“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現(xiàn)這樣的情況最原始的概念無(wú)法定義。第二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

因此，我們要想建立一門科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過(guò)精確定義與邏輯推理的方法演繹出來(lái)，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法。第三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述公理化方法的歷史考察

眾所周知，在長(zhǎng)達(dá)一千多年的光輝燦爛的希臘文化中，哲學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)得到了很大的發(fā)展，特別是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德，總結(jié)了前人所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識(shí)，以完全三段論作為出發(fā)點(diǎn)，用演繹的方法推導(dǎo)出其余十九個(gè)不同格式的所有三段論，創(chuàng)立了人類歷史上第一個(gè)公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件。亞里斯多德的思想方法深深地影響了公元前3世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德，后者把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上重要著作《幾何原本》。第四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

歐幾里德《幾何原本》是有史以來(lái)用公理化思想方法建立起來(lái)的第一門演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長(zhǎng)時(shí)期嚴(yán)格證明的典范?！稁缀卧尽吩跀?shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了巨大的作用，基本上完善了初等幾何體系。當(dāng)然，現(xiàn)在看來(lái)由于受當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)水平的限制，這種公理化方法還是很原始的，其公理體系還是不完備的。所以，稱這一階段為公理化方法的初期階段。第五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

歐幾里德《幾何原本》孕育了一種理性精神，成為展示人類智慧和認(rèn)識(shí)能力的一個(gè)光輝典范。歐幾里德的《原本》所表述的數(shù)學(xué)觀是：⑴幾何理論是封閉的演繹體系?！对尽烦晒Φ貙⒘闵⒌臄?shù)學(xué)理論編為一個(gè)以基本假設(shè)到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)。從邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)看，《原本》是一個(gè)最早形成的演繹體系，除所用的邏輯規(guī)則外，具備了其理論推導(dǎo)的所有前提，從理論發(fā)展形勢(shì)來(lái)看是一個(gè)封閉的理論演繹體系。第六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

⑵抽象化的內(nèi)容。《原本》中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮這些概念和命題與社會(huì)具體生活的關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué)“模型”所由之產(chǎn)生的那些顯示原型。如在《原本》中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性質(zhì)，但不研究任何一個(gè)具體的矩形的實(shí)物大??；《原本》中研究了自然數(shù)的若干性質(zhì)，但卻一點(diǎn)也不涉及具體的自然數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用。第七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

⑶公理化方法。《原本》的基本結(jié)構(gòu)是由少數(shù)不定義的概念（如點(diǎn)、線、面等）和少量不證自明的命題（五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理）出發(fā)，定義出該體系中的所有其他概念，推演出所有其他的命題（定理）。《原本》就是用這種公理化方法建立起了幾何學(xué)的邏輯體系，從而成為其后所有數(shù)學(xué)的范本。在公理化方法的初期階段，它的“嚴(yán)格性”也只是相對(duì)當(dāng)時(shí)的情況而言的。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過(guò)是借助于直觀等等。第八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

特別是《原本》中第五公設(shè)的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個(gè)方面對(duì)它產(chǎn)生了懷疑：第一，第五公設(shè)是否正確地反映了空間的性質(zhì)；其二、它本身很可能是一個(gè)定理。對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，人們從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了探討：一是它能否從其他公理推出；二是換一個(gè)與它等價(jià)而本身卻又是很自明的公設(shè)；三是換一個(gè)與它相反的公設(shè)。第九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

通過(guò)很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家薩克利吸取了前人正面直接證明而失敗的教訓(xùn)，反其道而行之，改用反證法來(lái)證明（將第五公設(shè)換成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以證明第五公設(shè)就是一個(gè)定理，即不獨(dú)立于其它公理），并于1733年公布了他的證明，但隨后不久數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)他的證明有問(wèn)題。第十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

薩克利最先使用歸謬法來(lái)證明第五公設(shè)。他在一本名叫《歐幾里得無(wú)懈可擊》（1733年）的書中，從著名的“薩克利四邊形”出發(fā)來(lái)證明平行公設(shè)。薩克利四邊形是一個(gè)等腰雙直角四邊形，如圖，其中且為直角。薩克利指出，頂角具有三種可能性并分別將它們命名為：第十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、直角假設(shè)：和是直角；3、銳角假設(shè)：和是銳角；2、鈍角假設(shè)：和是鈍角；可以證明，直角假設(shè)與第五公設(shè)等價(jià)。薩克利的計(jì)劃是證明后兩個(gè)假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個(gè)假設(shè)成立。這樣就證明了第五公設(shè)。薩克利在假定直線為無(wú)限長(zhǎng)的情況下，首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過(guò)程中他獲得了一系列新奇有趣的結(jié)果，如三角形三內(nèi)角之和小于兩直角；過(guò)給定直線外一給定點(diǎn)，有無(wú)數(shù)多條直線不與該直線相交，等等。雖然這些結(jié)果實(shí)際上并不包含任何矛盾，但薩克利認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的。第十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯(cuò)誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180°）尚未導(dǎo)致矛盾，因而它與其他公理可能是協(xié)調(diào)的。雖然薩克利的證明是錯(cuò)誤的，但他提出的反證法及其所得的結(jié)果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說(shuō)，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。第十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

一直到十九世紀(jì)，由高斯、羅巴切夫斯基、包耶等許多杰出的數(shù)學(xué)家作了大量的推導(dǎo)工作都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)矛盾，于是采用銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180°）的羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了。從此也就沖破了歐幾里德幾何“一統(tǒng)天下”的舊觀念對(duì)人們的束縛，使人們意識(shí)到邏輯上無(wú)矛盾并不只限于一種幾何。第十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

在1854年又發(fā)現(xiàn)了鈍角假設(shè)（三角形內(nèi)角和大于180°）也成立的黎曼幾何系統(tǒng)，后來(lái)人們稱這兩種幾何為非歐幾何。非歐幾何產(chǎn)生后，還有兩方面的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決。從邏輯方面看，這種邏輯無(wú)矛盾性還有待于從理論上得到嚴(yán)格證明；從實(shí)踐方面看，非歐幾何的客觀原型是什么？人們還不清楚。也就是說(shuō)，非歐幾何到底反映了哪種空間形式也沒(méi)有得到具體的解釋。第十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

到了十九世紀(jì)五十年代，隨著微分幾何、射影幾何的進(jìn)一步發(fā)展，為非歐幾何尋找模型提供了條件。意大利的貝特拉米于1869年在其論文《非歐幾何的實(shí)際解釋》中提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個(gè)解釋（歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線，球面上的點(diǎn)被解釋成黎曼幾何的點(diǎn)）。第十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于1870年在歐氏平面上用不包括圓周的圓內(nèi)部構(gòu)造了一個(gè)羅氏幾何模型，人們稱它為羅氏平面，在此平面上給羅氏幾何一個(gè)解釋，即把歐氏幾何的直線解釋成羅氏平面上的直線，歐氏幾何的點(diǎn)解釋成羅氏平面上的點(diǎn)。由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型，因此非歐幾何的無(wú)矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無(wú)矛盾性，也就是說(shuō)倘若歐氏幾何無(wú)矛盾，則非歐幾何也無(wú)矛盾。

第十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

隨后不僅人們找到了非歐幾何在天文學(xué)與相對(duì)論中的解釋和應(yīng)用，而且相繼發(fā)現(xiàn)歐氏幾何的每條公理在羅氏空間的極限球上得以全部成立。于是，反過(guò)來(lái)歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以保證。從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的，第五公設(shè)的獨(dú)立性問(wèn)題得到解決。非歐幾何的確立促進(jìn)了公理化方法及幾何基礎(chǔ)研究的進(jìn)展。第十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

在創(chuàng)立非歐幾何的過(guò)程中，公理化方法得到了如下發(fā)展：⑴非歐幾何誕生的第一步就在于認(rèn)識(shí)到：平行公設(shè)不能在其他九條公設(shè)和公理的基礎(chǔ)上證明。它是獨(dú)立的命題，所以可以采用一個(gè)與之相反的公理并發(fā)展成為全新的幾何。這就是說(shuō)，在一個(gè)公理系統(tǒng)中，我們可以把一個(gè)具有獨(dú)立性的公理?yè)Q成另外的公理而得到一個(gè)全新的公理系統(tǒng)，這種方法是現(xiàn)代的一個(gè)重要的公理化方法。⑵非歐幾何的創(chuàng)立深刻地啟示人們，可以證明“在一個(gè)給定的公理系統(tǒng)中某些命題不可能證明”。第十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

⑶非歐幾何系統(tǒng)已經(jīng)不是像《原本》那樣依賴于感性直觀的實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實(shí)質(zhì)性公理化方法向形式公理化方法的過(guò)渡，這表明人們的認(rèn)識(shí)已從直觀空間上升到抽象空間。⑷非歐幾何的創(chuàng)立，為公理化方法可以推廣和建立新的理論提供了依據(jù)，大大提高了公理化方法。非歐幾何的創(chuàng)立，還產(chǎn)生了如下重大影響：⑴非歐幾何的誕生標(biāo)志著歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)，歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)則標(biāo)志著所有絕對(duì)真理的終結(jié)。第二十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

⑵非歐幾何的創(chuàng)立，使人們開始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)學(xué)確實(shí)是人的思想產(chǎn)物，而不是獨(dú)立于人的永恒世界的東西。⑶非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)喪失了真理性，但卻使數(shù)學(xué)獲得了自由。數(shù)學(xué)家能夠而且應(yīng)該探索任何可能的問(wèn)題，探索任何可能的公理系統(tǒng)，只要這種研究具有一定的意義。⑷非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)不受實(shí)用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個(gè)理性的智慧摒棄感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的范例。第二十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

當(dāng)然，非歐幾何并非毫無(wú)實(shí)用性。例如，1916年愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)的廣義相對(duì)論的研究中，必須用一種非歐幾何來(lái)描述這樣的物理空間，這種非歐幾何便是黎曼幾何。又如，由1947年對(duì)視空間（從正常的有雙目視覺(jué)的人心理上觀察到的空間）所作的研究得出結(jié)論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來(lái)描述。這些事實(shí)說(shuō)明：數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展的作用是何等重大。非歐幾何的創(chuàng)立，標(biāo)志著公理化方法進(jìn)入到其完善階段。第二十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

在非歐幾何創(chuàng)立之后，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對(duì)幾何基礎(chǔ)的研究，同時(shí)也促進(jìn)了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論的研究。從而導(dǎo)致了“分析算術(shù)化”方向的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)立足于實(shí)數(shù)理論之上，取代了直觀的幾何說(shuō)明。由于對(duì)實(shí)數(shù)理論的研究，又推動(dòng)了代數(shù)的重大變化，即由代數(shù)方程的求解導(dǎo)致了群論的產(chǎn)生，從而使代數(shù)的研究對(duì)象發(fā)生了質(zhì)的變化，逐漸變成一門研究各種代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)。第二十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

由于形式公理化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過(guò)來(lái)又將幾何公理化方法的研究推向一個(gè)新的階段，即形式公理化階段。希爾伯特在1899年出版的名著《幾何基礎(chǔ)》就是這個(gè)時(shí)期研究成果的突出代表。所謂形式公理化方法，是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，基本概念規(guī)定為不加定義的原始概念，它的涵義、特征和范圍不是先于公理而確定，而是由公理組隱含確定。第二十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

希爾伯特在他的《幾何基礎(chǔ)》中，放棄了歐幾里德《幾何原本》中公理的直觀顯然性，把那些在對(duì)空間直觀進(jìn)行邏輯分析時(shí)無(wú)關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄，著眼于對(duì)象之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了邏輯推理，第一次提出了一個(gè)簡(jiǎn)明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硐到y(tǒng)。從此公理化方法不僅是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要方法，而且已被其他學(xué)科領(lǐng)域所采用。所以人們稱它為公理化方法發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。第二十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

雖然希爾伯特幾何公理系統(tǒng)從本質(zhì)上講是一個(gè)形式化的公理系統(tǒng)，但它畢竟沒(méi)有完全擺脫幾何所研究的內(nèi)容范圍。為了使形式公理系統(tǒng)更形式化，涵蓋的模型更多，就必須使形式化公理系統(tǒng)來(lái)自具體模型而又要擺脫具體模型過(guò)多的條條框框的束縛，于是人們需要研究更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)，從而就導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)理邏輯的形成和發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，至少在下列兩個(gè)方面發(fā)揮了巨大作用。第二十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

其一，本世紀(jì)初以希爾伯特、哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來(lái)研究整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮，又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)一步發(fā)展的需要，反過(guò)來(lái)又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展，從而也就導(dǎo)致了證明論（或元數(shù)學(xué)）、模型論、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn)。特別是英國(guó)大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、和邏輯學(xué)家羅素于1902年發(fā)現(xiàn)集合論的悖論，震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，從而更促進(jìn)了公理化集合論的形成和發(fā)展。集合論的公理化系統(tǒng)的出現(xiàn)及現(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)，將形式公理化方法推向一個(gè)更高的階段——純形式公理化階段。希爾伯特建立的元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對(duì)象的一門新數(shù)學(xué)，它包括對(duì)形式系統(tǒng)的描述、定義、也包括對(duì)形式系統(tǒng)性質(zhì)的研究。簡(jiǎn)言之，元數(shù)學(xué)是以整個(gè)理論而不是以它的某一部分作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。元數(shù)學(xué)等的創(chuàng)立把形式公理化方法向前推進(jìn)了一大步。第二十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號(hào)表示，命題由符號(hào)組成的公式表示，命題的證明用一個(gè)公式串表達(dá)。一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。公理化方法的具體形態(tài)有三種：實(shí)體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構(gòu)起來(lái)的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。第二十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

其二，為數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)就是突出的一例，這是因?yàn)殡娮佑?jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)需要研究如何用基本的邏輯運(yùn)算去表示和構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運(yùn)算，這正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯研究的一個(gè)基本課題。由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)導(dǎo)致了機(jī)器證明及數(shù)學(xué)機(jī)械化方向的產(chǎn)生，從而使現(xiàn)代純形式公理化方法又獲得了一個(gè)新的用場(chǎng)。公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中的巨大作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。

第二十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

一、公理化方法的邏輯特征

公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā)，以邏輯推理為工具，把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來(lái)，從而使系統(tǒng)成為演繹體系.對(duì)于所選公理，我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題，另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾，再就是希望所選公理個(gè)數(shù)最少.這三個(gè)方面構(gòu)成了公理化方法的邏輯要求，此也是判別一個(gè)公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準(zhǔn)則。第三十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（1）無(wú)矛盾性（相容性或協(xié)調(diào)性）無(wú)矛盾性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時(shí)推出命題A與其否定命題，顯然，這是對(duì)公理系統(tǒng)的最基本的要求。如何證明給定的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性呢？若想通過(guò)“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒(méi)有矛盾”來(lái)證明是不可能的。

第三十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

為此，人們創(chuàng)造了一種特殊方法即解釋法或作模型法。其基本思想如下：將公理系的每一不定義的概念與對(duì)象的某一集合相對(duì)應(yīng)，而且要求對(duì)應(yīng)于不同概念的集合沒(méi)有公共元素，然后，使公理系T的每一關(guān)系對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)集合元素間的某一確定的關(guān)系。第三十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

這樣所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋域，公理系T的每一命題可以用自然的方法對(duì)應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題。如果所得的命題為真，那么就稱公理系T的命題在這個(gè)解釋下是真的，如果假，則在這個(gè)解釋下是假的，如果公理系T的全部公理在這個(gè)解釋下均為真，那么這個(gè)解釋稱為所給公理系的模型。第三十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

解釋域及其性質(zhì)常常是另一數(shù)學(xué)理論的研究對(duì)象，本身同樣可以是公理化的，所以說(shuō)，用解釋法能證明公理系的相對(duì)相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判斷。解釋法實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)公理系系統(tǒng)的無(wú)矛盾性證明化歸為另一個(gè)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明，是一種間接證明?？巳R因就是采用這種方法將羅氏幾何的無(wú)矛盾性化歸為歐氏幾何的無(wú)矛盾性的。第三十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來(lái)得證，本來(lái)并無(wú)疑問(wèn)的歐氏幾何相容性問(wèn)題也引起了人們的懷疑，迫使人們?cè)偃ふ覛W氏幾何相容性的證明，由于解析幾何可以看成是實(shí)數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個(gè)解釋模型，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明，而實(shí)數(shù)系統(tǒng)可建立在ZFC公理化集合論的基礎(chǔ)上，因此，實(shí)數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性又化歸為集合論的無(wú)矛盾性證明，而后者經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家們的努力，至今尚未得到徹底解決。第三十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（2）獨(dú)立性獨(dú)立性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，被選定的公理組中任何一個(gè)公理都不能由其他公理推出。獨(dú)立性其實(shí)要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)定理，在公理組中就是多余的，所以，獨(dú)立性要求公理組中公理數(shù)目最少。第三十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

利用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨(dú)立性問(wèn)題，所謂公理系T中公理A的獨(dú)立性無(wú)非是指A由其他公理既不能證實(shí)，也不能否定。建立一個(gè)新的公理系，就是將公理?yè)Q成它的否定，而其他公理保持不變，只要能證明新的公理系是相容的，就可斷言在公理系T中獨(dú)立，從而將獨(dú)立性問(wèn)題化歸為相容性證明問(wèn)題，而新公理系相容性證明可用解釋法。第三十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（3）完備性完備性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題，所以，公理不能過(guò)少，否則就推不出某些真命題，這是關(guān)于完備性的古典定義?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu)，就稱這個(gè)公理系是完備的。

第三十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

所謂模型的同構(gòu)是指這個(gè)公理系的兩個(gè)模型（X，R）與（Y，S）（這是為簡(jiǎn)便計(jì)，假設(shè)給定的公理系中只有一個(gè)不定義的概念和一個(gè)不定義的關(guān)系。X與Y是某兩個(gè)集合，R與S分別是這兩個(gè)集合中的關(guān)系）間存在一個(gè)雙射第三十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

在上述公理化方法的三個(gè)特征中，無(wú)矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨(dú)立性從理論上講，從完美簡(jiǎn)煉上講，應(yīng)該要求，因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處的地位不同，公理是出發(fā)點(diǎn)，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨(dú)立性要求有時(shí)可降低?，F(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對(duì)象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對(duì)象”被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一。第四十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

二、公理化方法的意義和作用

對(duì)于公理化方法的作用和意義，希爾伯特曾評(píng)論道：“不管在哪個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于任何嚴(yán)肅的研究精神來(lái)說(shuō)，公理化方法都是并且始終是一個(gè)合適的不可缺少的手段；它在邏輯上是無(wú)懈可擊的，同時(shí)也是富有成果的；因此，它保證了研究的完全自由。在這個(gè)意義上，用公理化方法進(jìn)行研究就等于用已掌握了的東西進(jìn)行思考。早年沒(méi)有公理化方法的時(shí)候，人們只能樸素地把某些關(guān)系作為信條來(lái)遵守，公理化的研究方法則可以去掉這種樸素性而使信仰得到利益”。“能夠成為數(shù)學(xué)的思考對(duì)象的任何事物，在一個(gè)理論的建立一旦成熟時(shí)，就開始服從于公理化方法，從而進(jìn)入了數(shù)學(xué)。通過(guò)突進(jìn)到公理的更深層次……我們能夠獲得科學(xué)思維的更深入的洞察力，并弄清我們的知識(shí)的統(tǒng)一性。特別是，得力于公理化方法，數(shù)學(xué)似乎就被請(qǐng)來(lái)在一切學(xué)問(wèn)中起領(lǐng)導(dǎo)的作用”。第四十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大作用，如在對(duì)公理化方法邏輯特征的研究中，產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)的獨(dú)立性產(chǎn)生的，元數(shù)學(xué)理論或證明論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生的，等等。第四十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

具體地說(shuō)，公理化方法的意義和作用可以概括為以下幾點(diǎn)：

表述和總結(jié)科學(xué)理論公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識(shí)體系，便于掌握理論的本質(zhì)。它是應(yīng)用演繹推理的基本方法，它為認(rèn)識(shí)世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學(xué)理論一種比較完善的方法，它為各門科學(xué)提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進(jìn)理論的完善和嚴(yán)格化。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，有助于人們了解數(shù)學(xué)各分支、各部門之間的本質(zhì)聯(lián)系。第四十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

完善和創(chuàng)新理論公理化方法的應(yīng)用要求一門科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對(duì)該門學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。因此，實(shí)現(xiàn)公理化的過(guò)程也是深入研究理論體系的過(guò)程。采用公理化方法還可以發(fā)現(xiàn)和補(bǔ)充理論系統(tǒng)中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創(chuàng)建新的理論。

第四十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

培養(yǎng)和熏陶人們的邏輯思維能力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學(xué)會(huì)如何去獲得這些知識(shí)，即學(xué)會(huì)正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，邏輯思維正是數(shù)學(xué)思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實(shí)現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟(jì)，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無(wú)疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。第四十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何體系就是按照公理化方法的思想編排的，這使中學(xué)幾何成為大家公認(rèn)為最有利于培養(yǎng)邏輯思維能力的科目。但正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)的，只是有實(shí)際內(nèi)容的公理體系”。

現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過(guò)采用擴(kuò)大公理系統(tǒng)的方法，而其他概念、性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來(lái)，即在學(xué)生可接受的情況下，充分體現(xiàn)公理化方法思想。中學(xué)幾何課本中的公理系統(tǒng)是一個(gè)擴(kuò)大的公理系統(tǒng)，只滿足相容性，不滿足獨(dú)立性和完備性。第四十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

平面幾何公理七條：

⑴經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。⑵在所有連接兩點(diǎn)的直線中，線段最短。⑶平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和該直線平行。⑷兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么，這兩條直線平行。⑸邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。⑹角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。⑺矩形的面積等于它的長(zhǎng)與寬的積。第四十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

立體幾何公理六條：

⑴如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。⑵如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)該點(diǎn)的公共直線。⑶經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。⑷平行于同一條直線的兩條直線互相平行。⑸長(zhǎng)方體的體積等于其長(zhǎng)、寬、高的積。⑹夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。第四十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

三、初等函數(shù)的公理化定義

1、冪函數(shù)的公理化定義對(duì)于x和y的一切正實(shí)數(shù)值滿足方程

的唯一不恒等于零的連續(xù)函數(shù)第四十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、指數(shù)函數(shù)的公理化定義對(duì)于x和y的一切正實(shí)數(shù)值滿足方程§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù)第五十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

3、對(duì)數(shù)函數(shù)的公理化定義對(duì)于x和y的一切正實(shí)數(shù)值滿足方程的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù)第五十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用4、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的公理化定義

第五十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第五十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第五十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用下面我們僅證明其中的定理3與定理4。第五十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第五十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用（1）結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a，b，c都有（2）G中有元素e，叫做G的左單位元，它對(duì)G中每一個(gè)元素a都有下面我們?cè)賮?lái)看看群的公理化定義令G是一個(gè)非空集合，是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿足以下條件：第五十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用則稱G對(duì)代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)群。（3）對(duì)G中每個(gè)元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使第六十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

四、公理化方法的局限性

1、每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都要按公理化方法的三條標(biāo)準(zhǔn)去實(shí)現(xiàn)它的公理化是不可能的。我們知道，在公理化方法及現(xiàn)代數(shù)理邏輯取得重大成就的基礎(chǔ)上，為了避免數(shù)學(xué)中產(chǎn)生悖論，使整個(gè)數(shù)學(xué)建立在一個(gè)嚴(yán)格化的基礎(chǔ)上，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家試圖將所有數(shù)學(xué)分支都按公理化方法三條標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)它的公理化，哥德爾不完全定理表明希爾伯特等人的計(jì)劃要全部實(shí)現(xiàn)是不可能的。第六十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾發(fā)表了題為《論〈數(shù)學(xué)原理〉及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題》的論文，其中證明了一條定理：任一足以包含自然數(shù)算術(shù)的形式系統(tǒng)，如果是相容的，則它一定存在有一個(gè)不可判定命題，即存在某一命題A使A的否定在該系統(tǒng)皆不可證。這一定理被稱為哥德爾第一不完全性定理。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一不完全性定理表明：任何形式系統(tǒng)都不能完全刻畫數(shù)學(xué)理論，總有某些問(wèn)題從形式系統(tǒng)的公理出發(fā)不能解答。在第一不完全性定理的基礎(chǔ)上，哥德爾進(jìn)一步證明了：在真的但不能由公理來(lái)證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無(wú)矛盾性）這一論斷本身。也就是說(shuō)，如果一個(gè)足以包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)是相容的，那么這種相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。這就是所謂哥德爾第二不完全性定理?！?.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一不完全性定理和第二不完全性定理合稱“哥德爾不完全性定理”哥德爾不完全性定理是屬于某種否定性的結(jié)果，但這項(xiàng)否定性結(jié)果卻帶來(lái)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的劃時(shí)代變革。其對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生的巨大影響而在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上寫下了濃重的一筆?！?.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五首先，哥德爾不完全性定理破天荒地第一次分清了數(shù)學(xué)中的“真”與“可證”是兩個(gè)不同的概念，可證明的命題固然是真的，但真的命題不一定是可證明的。對(duì)于形式系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，“可證”是可以機(jī)械地實(shí)現(xiàn)的，“真”則需要進(jìn)一步的思想能動(dòng)性以及超窮工具。這一切突破了人們對(duì)數(shù)學(xué)真理的傳統(tǒng)理解，將對(duì)數(shù)學(xué)真理的認(rèn)識(shí)推向了嶄新的層次。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五其次，哥德爾不完全性定理的證明中提出的“原始遞歸函數(shù)”概念，成為算法理論或可計(jì)算理論的起點(diǎn)，特別是它引導(dǎo)圖靈提出了理想計(jì)算機(jī)概念，為電子計(jì)算機(jī)的研制提供了理論基礎(chǔ)。另外，雖然哥德爾不完全性定理指出了形式化數(shù)學(xué)的局限性，但這并不意味著公理化方法的消亡，相反，哥德爾的結(jié)果極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法論的發(fā)展，解決了一批證明論問(wèn)題，使數(shù)理邏輯在新的起點(diǎn)上獲得了新的發(fā)展?！?.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五哥德爾定理的意義在于，不僅是數(shù)學(xué)的全部，甚至任何一個(gè)有意義的科學(xué)體系也不能用一個(gè)合理系統(tǒng)概括起來(lái)，因?yàn)檫@樣的合理系統(tǒng)是不可能完備的。還須指出的是，哥德爾的理論改變了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，觸動(dòng)了人類思維的深層結(jié)構(gòu)，它又滲透到音樂(lè)、藝術(shù)、生物、計(jì)算機(jī)和人工智能等領(lǐng)域?！?.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

2、公理化方法一般地講只能運(yùn)用于一個(gè)數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的成熟階段，否則就有可能對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起束縛作用。我們知道公理化方法的優(yōu)點(diǎn)之一是可以使它的內(nèi)容系統(tǒng)化、條理化、邏輯化。但是，我們還要指出一般來(lái)說(shuō)只有在一個(gè)數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的階段才有可能運(yùn)用公理化方法揭示它的內(nèi)在規(guī)律，從而使它系統(tǒng)化。如果一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支剛剛誕生就要強(qiáng)調(diào)它的邏輯嚴(yán)密性、系統(tǒng)性，不但沒(méi)有好處，反而對(duì)它的發(fā)展可能起到束縛作用。例如，微積分的產(chǎn)生、發(fā)展直至完善所經(jīng)歷的道路就是一個(gè)突出的例證。第六十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

3、由于公理化方法主要突出了邏輯思維，而且它主要用于“回顧”性的“總結(jié)”，對(duì)“探索”性的“展望”作用較少。公理化方法若不與實(shí)驗(yàn)方法相結(jié)合，則不會(huì)更好地解決問(wèn)題；若不與其它的科學(xué)方法相結(jié)合，也不會(huì)更好地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。所以對(duì)公理化方法的作用和意義估價(jià)要恰當(dāng)。否則不論是從認(rèn)識(shí)論還是從方法論來(lái)講都有束縛作用。第六十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

一、希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》的公理系統(tǒng)

第七十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

一、希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》的公理系統(tǒng)

基本對(duì)象幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng)基本關(guān)系基本公理點(diǎn)、線、面結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系合同關(guān)系、連續(xù)關(guān)系平行關(guān)系結(jié)合公理、順序公理合同公理、連續(xù)公理平行公理第七十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

希爾伯特公理體系中的基本概念共有八個(gè)（其中基本對(duì)象三個(gè)、基本關(guān)系五個(gè)），對(duì)基本概念的唯一要求是適合五組公理。公理組共有18條公理（其中結(jié)合公理6條、順序公理4條、合同公理5條、平行公理1條、連續(xù)公理2條）。這里要指出的是，希爾伯特公理體系對(duì)歐幾里德公理體系的最重要的補(bǔ)充是順序公理中的點(diǎn)與線的順序公理及連續(xù)公理。這部分的詳細(xì)內(nèi)容可參見傅秀章先生著《幾何基礎(chǔ)》（北師大出版社）。第七十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

希爾伯特的這個(gè)公理體系已被世界上一些數(shù)學(xué)家看作經(jīng)典作品。希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中所采用的是形式公理化方法，即對(duì)象的直觀背景完全被舍棄了他所從事的已不再是某種特定的對(duì)象的研究，而只是由給定的公理（更準(zhǔn)確地說(shuō)是假設(shè)）出發(fā)去進(jìn)行演繹。因?yàn)閹缀螌W(xué)所研究的只是由什么樣的前提出發(fā)能推出什么樣的結(jié)論，而對(duì)所討論的對(duì)象是什么事不關(guān)心的。

第七十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

簡(jiǎn)言之，《原本》是實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)，即“對(duì)象－公理－演繹”系統(tǒng)；《幾何基礎(chǔ)》是形式化公理系統(tǒng)，即“假設(shè)－演繹”。這里我們要特別指出的是，若將希爾伯特公理體系中的平行公理?yè)Q成相反的公理，我們就得到羅氏幾何的公理體系。這也是希爾伯特公理體系的一個(gè)美妙的特點(diǎn)。在這里，我們又一次看見了公理化方法的巨大力量。

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二、集合論公理系統(tǒng)——ZFC公理系統(tǒng)1、ZFC公理系統(tǒng)形成簡(jiǎn)介

自從集合論中的羅素悖論出現(xiàn)后，很多邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于集合論的改進(jìn)工作，特別突出的是著名德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他于1908年首先提出他的改進(jìn)方案，即策梅羅集合論公理系統(tǒng)。后經(jīng)費(fèi)蘭克爾、斯克朗等人的改進(jìn)，于1921-1923年間逐漸形成了一個(gè)嚴(yán)格的形式化集合論公理系統(tǒng)，這就是著名的ZF公理系統(tǒng)。在ZF公理系統(tǒng)中加上選擇公理，便是今天的ZFC公理系統(tǒng)。第七十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

二、集合論公理系統(tǒng)——ZFC公理系統(tǒng)1、ZFC公理系統(tǒng)形成簡(jiǎn)介策梅羅(德,1871-1953)費(fèi)蘭克爾(德,1891-1965)斯克朗(挪,1887-1963)第七十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

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2、ZFC公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

集合論公理系統(tǒng)基本公理基本關(guān)系基本對(duì)象“集”及其“元素”“集”及它的“元素”的隸屬關(guān)系“

”外延公理、空集公理對(duì)偶公理、并集公理子集公理、冪集公理無(wú)窮公理、正則公理代換公理、選擇公理

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3、ZFC公理系統(tǒng)的特點(diǎn)、意義和作用

首先，ZFC公理系統(tǒng)是一個(gè)完全形式化的抽象公理系統(tǒng)，也就是說(shuō)它的結(jié)構(gòu)表達(dá)形式完全已符號(hào)化。例如，外延公理：

其次，ZFC十條公理可概括為三類：即外延原則，它的主要作用是保證集合的唯一性；概括原則，它的主要作用是解決的構(gòu)造集合的問(wèn)題；選擇原則，它的主要作用是解決選擇集合的問(wèn)題。

即:如果兩個(gè)集合A與B包含有完全相同的元素，則它們必相等.

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最后，ZFC公理系統(tǒng)為分析學(xué)奠定了嚴(yán)格地理論基礎(chǔ)。例如在無(wú)窮公理和并集公理的基礎(chǔ)上可以嚴(yán)格的建立自然數(shù)、自然數(shù)集合及自然數(shù)理論；在冪集公理基礎(chǔ)上可以引出實(shí)數(shù)系；在子集公理基礎(chǔ)上可以討論實(shí)數(shù)的任何子集及其性質(zhì)等。由此可見，只要ZFC公理系統(tǒng)無(wú)矛盾，那么實(shí)數(shù)理論也就無(wú)矛盾。然而，盡管至今ZFC公理系統(tǒng)尚未發(fā)現(xiàn)矛盾，但這種無(wú)矛盾性還沒(méi)有得到嚴(yán)格的理論證明。而且根據(jù)哥德爾不完全性定理，ZFC公理系統(tǒng)本身不可能證明自己是無(wú)矛盾的，即它的無(wú)矛盾性只有借助外系統(tǒng)來(lái)證明。第七十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

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三、自然數(shù)公理系統(tǒng)

1、自然數(shù)公理化的提出

數(shù)學(xué)顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué)，人們皆知自然數(shù)來(lái)自實(shí)踐，而且是數(shù)學(xué)的起步點(diǎn)。然而，由自然數(shù)的產(chǎn)生直到十九世紀(jì)末，在這個(gè)漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期卻很少有人對(duì)自然數(shù)的理論奠基工作進(jìn)行過(guò)專門的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及數(shù)學(xué)中悖論的出現(xiàn)，才迫使人們反過(guò)頭來(lái)進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，即自然數(shù)的理論奠基工作，尋求建立自然數(shù)的公理化方法。

第八十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表的《算術(shù)原理：新的論述方法》中所提出的公理化方法。

皮亞諾(意,1858-1932)第八十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表的《算術(shù)原理：新的論述方法》中所提出的公理化方法。

2、皮亞諾自然數(shù)公理系統(tǒng)

（1）原始（或基本）概念。（i）原始對(duì)象：自然數(shù)1、自然數(shù)集。（ii）原始關(guān)系：后繼數(shù)（例如3是2的后繼數(shù)）或后繼函數(shù)。

第八十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

（2）公理組

（i）每個(gè)自然數(shù)x都有直接后繼它的數(shù)。即

這條公理表明，自然數(shù)具有離散性，此性質(zhì)是自然數(shù)的一個(gè)重要特征。（ii）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。即這條公理保證了自然數(shù)集有首元素，即自然數(shù)集是一個(gè)良序集。第八十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

（iii）每一個(gè)自然數(shù)不存在多于一個(gè)直接后繼它的自然數(shù)。即

（iv）每一個(gè)自然數(shù)都不直接后繼多于一個(gè)自然數(shù)，即第八十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

此公理稱為歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)和根據(jù)。建立在自然數(shù)歸納公理基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)歸納法的主要邏輯特征是，將一個(gè)無(wú)窮歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過(guò)程.（v）任何一個(gè)自然數(shù)集，若具有性質(zhì)：a）；b）如果，那么則自然數(shù)集包含了所有的自然數(shù)。也就是說(shuō)自然數(shù)集與自然數(shù)集相等。第八十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.3幾個(gè)典型公理系統(tǒng)簡(jiǎn)介

3、對(duì)皮亞諾公理系統(tǒng)邏輯特征的補(bǔ)充說(shuō)明

前面我們?cè)岬竭^(guò)哥德爾不完備性定理，從理論上證明了皮亞諾公理系統(tǒng)是一個(gè)不完備的公理系統(tǒng)，最近英國(guó)青年數(shù)學(xué)家巴黎斯等人，在組合論中發(fā)現(xiàn)了皮亞諾公理系統(tǒng)中既不能肯定又不能否定的一個(gè)純粹組合問(wèn)題，從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個(gè)具體實(shí)例。哥德爾不完全定理還告訴我們，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性在本系統(tǒng)內(nèi)通過(guò)有限步驟是無(wú)法證明的。但是，數(shù)理邏輯學(xué)家甘岑在放寬條件下，即在皮亞諾公理系統(tǒng)外，依據(jù)超窮歸納法用超窮步驟證明了皮亞諾公理系統(tǒng)的相容性。

第八十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法一、結(jié)構(gòu)方法簡(jiǎn)述

19世紀(jì)至20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)得到了前所未有的高速發(fā)展，研究領(lǐng)域越來(lái)越廣，數(shù)學(xué)這棵生長(zhǎng)樹越長(zhǎng)越茂密，樹岔越分越細(xì)，從而數(shù)學(xué)顯得越來(lái)越龐雜無(wú)序，使得即便是造詣高深的數(shù)學(xué)家也無(wú)法全局把握、透視，面對(duì)這種發(fā)展趨勢(shì)，于是數(shù)學(xué)界一個(gè)有意義的課題就應(yīng)運(yùn)而生，那就是，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)去處理這“龐雜”的內(nèi)容，使之“有序”。第八十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

對(duì)于數(shù)學(xué)的局部?jī)?nèi)容，這個(gè)想法是可以實(shí)現(xiàn)的，如希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》、范德瓦爾登的《近世代數(shù)》的出版；ZFC的集合論公理系統(tǒng)的問(wèn)世；德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵利用“群論”觀點(diǎn)統(tǒng)一處理了各種幾何學(xué)（此即愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)），美國(guó)數(shù)學(xué)家伯克霍夫用“格”的概念統(tǒng)一處理了代數(shù)系統(tǒng)的理論。那么，對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)而言，能否采用某種統(tǒng)一觀點(diǎn)將其重新整理呢？第八十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

20世紀(jì)初，法國(guó)一批杰出的年輕數(shù)學(xué)家在愛(ài)爾朗根計(jì)劃的啟示下，于1933年成立了以尼古拉?布爾巴基為名的數(shù)學(xué)家集體，其行動(dòng)目標(biāo)就是從整個(gè)數(shù)學(xué)全局出發(fā)，以集合論為基礎(chǔ)，運(yùn)用形式公理化方法，重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上給以徹底改造。其基本出發(fā)點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是研究形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)能按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來(lái)統(tǒng)一分割和歸類。第八十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法數(shù)學(xué)大師A.博雷爾(ArmandBorel)在回顧參與布爾巴基活動(dòng)的往事時(shí)說(shuō)：“布爾巴基并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)他的所有夢(mèng)想，達(dá)成全部的目標(biāo)。在我看來(lái)，這已經(jīng)足夠了。在培植數(shù)學(xué)的整體觀念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的統(tǒng)一性、敘述風(fēng)格、符號(hào)選擇等等方面，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響?！薄霸谖倚闹杏肋h(yuǎn)保留的回憶是，數(shù)學(xué)家們多年的無(wú)私合作，各不相同的個(gè)性能朝向共同的目標(biāo)，在數(shù)學(xué)史上也許是絕無(wú)僅有的?！钡诰攀?yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法那些流淌著的青春的學(xué)術(shù)的激情，那些靈光四射的智慧的火焰，真理在“瘋子們”的激辯中蕩漾著七彩的光芒……這種學(xué)術(shù)上的原生態(tài)狀況，使布爾巴基學(xué)派在很長(zhǎng)時(shí)間里保持著旺盛的創(chuàng)造力，培育了眾多泰斗級(jí)的數(shù)學(xué)精英，主要成員中不斷有人獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)——其主要成員先后有讓·迪多內(nèi)、安德列·韋伊和亨利·嘉當(dāng)（以上兩人為沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主），克勞德·謝瓦萊、勞倫特·施瓦茲、亞利山大·格羅申第克和讓—皮埃爾·塞爾（后三人均曾獲菲爾茲獎(jiǎng)）等……

第九十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五H.嘉當(dāng)(法,1904-)布爾巴基學(xué)派(法,1935-)迪多內(nèi)(法,1906-1992)謝瓦萊(法,1909-1984)德爾薩特(法,1903-1968)韋伊(法,1906-1998)第九十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法這個(gè)集體不僅要求正式成員數(shù)學(xué)素質(zhì)要好，善于創(chuàng)新，而且年齡不能超過(guò)50歲，他們經(jīng)常組織討論班和研究會(huì)，集思廣益，協(xié)作探索，1936年正式向法國(guó)政府申請(qǐng)科學(xué)基金，并以布爾巴基名義發(fā)表眾多成果和出版系列專著《數(shù)學(xué)原理》，他們著作的獨(dú)特觀點(diǎn)和風(fēng)格贏得了布爾巴基學(xué)派稱號(hào)，其思想即是結(jié)構(gòu)主義，是用結(jié)構(gòu)方法處理數(shù)學(xué)。具體說(shuō)來(lái)就是，利用形式公理法化方法抽象出各種數(shù)學(xué)分支各種結(jié)構(gòu)，找出各數(shù)學(xué)分支之間的結(jié)構(gòu)差異，從而獲得各數(shù)學(xué)分支間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的清晰圖象。

第九十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

顯然，結(jié)構(gòu)主義可以看作是現(xiàn)代形式公理方法的一種發(fā)展，因?yàn)?，形式公理化方法是著眼于某一門數(shù)學(xué)的形式公理化或者結(jié)構(gòu)化；結(jié)構(gòu)主義的思想方法則是以現(xiàn)代形式公理化方法為工具，著眼于整個(gè)數(shù)學(xué)全局去看待各個(gè)數(shù)學(xué)分支，即不僅要在數(shù)學(xué)大范圍內(nèi)分析研究每一門數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，而且還要分析研究各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)的差異及其內(nèi)在聯(lián)系。第九十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上,首先通過(guò)抽象分析法，建立了三種基本結(jié)構(gòu)，也稱母結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓樸結(jié)構(gòu)，然后以這三個(gè)母結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，按照結(jié)構(gòu)之間的“不同”關(guān)系，交叉產(chǎn)生新結(jié)構(gòu)，從而，使得數(shù)學(xué)由一個(gè)分支結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)分支結(jié)構(gòu)，有層次地一直延伸出去，形成整個(gè)數(shù)學(xué)。第九十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法集合論代數(shù)結(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)序拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)……………

結(jié)構(gòu)層次框圖如下:…第九十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

正如他們所說(shuō)：“數(shù)學(xué)好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一個(gè)個(gè)已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)理論體系，城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點(diǎn)雜亂無(wú)章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長(zhǎng)著的數(shù)學(xué)分支，與此同加時(shí)，市中心又在時(shí)時(shí)重建，每次都是根據(jù)構(gòu)思更清晰的計(jì)劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時(shí)，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，……”。第九十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

一個(gè)抽象的集合不過(guò)是一組元素而已，無(wú)所謂結(jié)構(gòu)。但引進(jìn)了運(yùn)算和變換，就形成了結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)中必須包含元素間的關(guān)系，這些關(guān)系通常是由運(yùn)算或變換聯(lián)系著的。1、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的具體實(shí)例

下面以抽象群理論來(lái)具體說(shuō)明結(jié)構(gòu)是怎樣產(chǎn)生和如何確定一個(gè)結(jié)構(gòu)。第九十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法首先讓我們考察三種運(yùn)算：（1）實(shí)數(shù)的加法：實(shí)數(shù)的和按通常的方法確定。（2）整數(shù)“按模素?cái)?shù)”的乘法：兩數(shù)的“乘積”定義為兩數(shù)通常的乘積除以的余數(shù)。（3）在三維歐氏空間中的位移“合成”：兩個(gè)位移（按這個(gè)順序）的“合成”（或“乘積”）定義為執(zhí)行第一個(gè)位移后再執(zhí)行第二個(gè)位移所得到的位移。第九十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法在三種不同的運(yùn)算中，用統(tǒng)一符號(hào)“

”表示運(yùn)算，用表示兩個(gè)元素通過(guò)運(yùn)算后確定的第三個(gè)元素，那么具體分析這三種不同運(yùn)算的“運(yùn)算性質(zhì)”，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間具有一種“明顯的平行性”（即類似性、對(duì)應(yīng)性）。從中可以選出互相獨(dú)立的少數(shù)幾個(gè)性質(zhì)作為這三種運(yùn)算的“共同性質(zhì)”。如第一百頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法（i）對(duì)于所有的元素有(ii)存在一個(gè)元素，使得對(duì)于每一個(gè)元素，有(iii)對(duì)應(yīng)于每一元素，存在一個(gè)元素，使得第一百零一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法由此看出記號(hào)可以用相同的方式表達(dá)它們，對(duì)這三種不同的運(yùn)算，借助于統(tǒng)一的之間的“平行的”運(yùn)算性質(zhì)。這種表達(dá)的優(yōu)點(diǎn)在于，在推理的過(guò)程中不必考慮元素的性質(zhì)，唯一需要關(guān)心的是，元素的運(yùn)算具有性質(zhì)“(i)、(ii)、(iii)”這個(gè)前提。這樣，就可以引出相應(yīng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。第一百零二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中確定了某種運(yùn)算，且具有三個(gè)性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)的一種結(jié)構(gòu)。其中性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)叫做群結(jié)構(gòu)的公理，展開這些公理的推論就構(gòu)成群的理論。顯然，群理論較之“實(shí)數(shù)加”、“整數(shù)?！?、“位移合成”等理論概括得多，它適合于這三者中任一個(gè)。這就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在。由上述分析看出，具體而言結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關(guān)系，一個(gè)抽象的集合只不過(guò)是一組元素而已，無(wú)所謂結(jié)構(gòu)，但引進(jìn)了關(guān)系，就形成了結(jié)構(gòu)。因此，關(guān)系是重要的，它就代表一種結(jié)構(gòu)。第一百零三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例如，是表為，還是這沒(méi)有區(qū)別。但對(duì)于積集合，這些元素就互相有區(qū)別了。第一百零四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法2、三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介(1)

代數(shù)結(jié)構(gòu)所謂非空集X中的n元代數(shù)運(yùn)算指到的一個(gè)映射其中n叫做運(yùn)算的階。最常用的代數(shù)運(yùn)算是二元代數(shù)運(yùn)算，也即習(xí)慣上的代數(shù)運(yùn)算。第一百零五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法序?qū)υ诖鷶?shù)運(yùn)算下的象記作，顯然，中的二元代數(shù)運(yùn)算給出了中的一個(gè)三元關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三元序組滿足這個(gè)關(guān)系。而三元序組的集合是笛卡爾積的子集，故二元運(yùn)算可以視為一種結(jié)構(gòu)。若非空集中的代數(shù)運(yùn)算記為，則序?qū)头Q為一個(gè)代數(shù)，即定義了運(yùn)算的集合。第一百零六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

代數(shù)的例子很多，如果再給代數(shù)加上一定的公理，那它就構(gòu)成各種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。如加上群公理、環(huán)公理、域公理等就分別構(gòu)成群、環(huán)、域等常見代數(shù)結(jié)構(gòu)。再以群為例具體說(shuō)明之；第一百零七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例、群結(jié)構(gòu)

二元序?qū)ΨQ為群，是指它滿足如下公理：（1）中的元素關(guān)于代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律，即，有（2）中存單位元：即,使，有（3）中每一個(gè)元素，都在中存在逆元，即第一百零八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理的二元代數(shù)運(yùn)算的非空集合。

代數(shù)結(jié)構(gòu)是由離散性的對(duì)象、運(yùn)算關(guān)系及其公理組所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

（2）序結(jié)構(gòu)

常見的序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)，建立了這兩種序結(jié)構(gòu)的集分別稱為半序集和全序集（也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)）。

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百零九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法半序集：如果Ａ的元素之間定義了一個(gè)關(guān)系“＜”，它滿足如下公理：（i）自反性，對(duì)Ａ中的一切元素,有(ii)反對(duì)稱性，若則

（iii）傳遞性，若則則稱Ａ為半序集，這個(gè)關(guān)系為半序關(guān)系。第一百一十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例如自然數(shù)集中的整除關(guān)系是半序關(guān)系，因?yàn)閚能被自身整除；若n能整除m,m能整除n,則m=n;若n能整除m,m能整除r,則n也能整除r,故自然數(shù)集是一種半序結(jié)構(gòu)。全序集：滿足下列可比性條件（iv）的半序集稱為全序集；(iv)Ａ中的任意兩個(gè)元素或至少有一個(gè)成立。第一百一十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例如一冪集中的包含關(guān)系不具有可比性，故不是全序集。又如不難驗(yàn)證，數(shù)集，關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。但自然數(shù)集Ｎ關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。又如自然數(shù)集Ｎ關(guān)于“≤”關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)?？梢姡蚪Y(jié)構(gòu)是由對(duì)象集、次序關(guān)系及其公理組所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。第一百一十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法（３）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為了在一般意義下引進(jìn)拓?fù)涓拍睿环N比較直觀而較簡(jiǎn)單的辦法是引進(jìn)鄰域和鄰域結(jié)構(gòu)，即鄰域公理系統(tǒng)。Ｘ的一些子集組成的集族稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時(shí)，就稱為X的一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；第一百一十三頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法（i）Ｘ中的任一元素在Ｂ中有一個(gè)，使。（ii）Ｘ中的任一元素，若在Ｂ中有、使且，則。（iv）Ｘ中的元素，對(duì)中任一含的，若有，則必存在，使，且。即X中每一點(diǎn)至少有一鄰域。即X中一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)鄰域的交仍為其鄰域。(iii)若是的一個(gè)子集，而Ｘ中元素則也是的一個(gè)鄰域。第一百一十四頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法根據(jù)上述四條公理,特別是公理(ii)與公理(iv)能保證在數(shù)學(xué)分析的論域內(nèi)任一點(diǎn),能選取一連串越來(lái)越小的鄰域，使之點(diǎn)為極限。由此可見,鄰域公理系統(tǒng)可以導(dǎo)致極限概念。也正是因?yàn)猷徲蚬硐到y(tǒng)能描述極限和連續(xù)，而拓?fù)渥儞Q是研究一種比較廣泛的，即僅保持連續(xù)性不變的那種變換，所以，拓樸結(jié)構(gòu)常被說(shuō)成是能夠描述極限的那種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

注公理(iv)保證了X中的每個(gè)點(diǎn)至少有一個(gè)這樣的鄰域，在該鄰域內(nèi)所有的點(diǎn)都有鄰域。顯然，實(shí)數(shù)域的開區(qū)間都具有這個(gè)性質(zhì)。第一百一十五頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

從三種基本結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)增加一個(gè)或幾個(gè)新公理，就可以得到許許多多的特殊結(jié)構(gòu)。例如，從一般的群論出發(fā)，加上群的元素是有限的這一公理，就得到有限群結(jié)構(gòu)。母結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合也可產(chǎn)生多重結(jié)構(gòu)。又如，實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)就是在全體實(shí)數(shù)集的基礎(chǔ)上由代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)三個(gè)母結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生的一個(gè)綜合性的子結(jié)構(gòu)，也是一個(gè)完備的阿基米德全序域。這樣，遵循從一般到特殊，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則，一層一層地構(gòu)造下去，就可得到許許多多獨(dú)特的結(jié)構(gòu)及其理論。從而，可把古典數(shù)學(xué)作某種統(tǒng)一，給整個(gè)數(shù)學(xué)一種概括。

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百一十六頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

結(jié)構(gòu)的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實(shí)現(xiàn)一種重要的“思維經(jīng)濟(jì)”，以往數(shù)學(xué)家為了解決一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須根據(jù)具體問(wèn)題的特性，為之探索適合于該問(wèn)題的工具。今天，有了公理化方法，有了結(jié)構(gòu)概念以后，數(shù)學(xué)家一旦在他所研究的元素之間認(rèn)識(shí)到滿足某個(gè)已知類型公理的關(guān)系時(shí)，就可以自由地支配屬于該類結(jié)構(gòu)的整個(gè)定理庫(kù)。換言之，以前是一種方法解決一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在是一種方法解決一類問(wèn)題，從某種意義上來(lái)說(shuō)公理方法和結(jié)構(gòu)方法，把數(shù)學(xué)工具標(biāo)準(zhǔn)化了。

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百一十七頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五從結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)分析問(wèn)題，同構(gòu)的概念是一個(gè)非常重要的概念。這是因?yàn)榉簿哂型瑯?gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本質(zhì)上都可看成是同一結(jié)構(gòu)；在研究問(wèn)題時(shí)當(dāng)然只須抓住一種結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析即可。而無(wú)需浪費(fèi)重復(fù)性的勞動(dòng)。三、同構(gòu)、同態(tài)及其方法論意義我們通常要研究賦予一定結(jié)構(gòu)的集合到賦予同類結(jié)構(gòu)的集合內(nèi)的映射，如具有某種結(jié)構(gòu)的代數(shù)到具有同類結(jié)構(gòu)的代數(shù)的映射，有序集到有序集的映射，拓?fù)淇臻g到拓?fù)淇臻g內(nèi)的映射等。同構(gòu)、同態(tài)就是代數(shù)到同類代數(shù)的特殊映射。代數(shù)與代數(shù)的同構(gòu)是指雙射并且對(duì)于中任意的,有代數(shù)到其自身的同構(gòu)映射叫做這個(gè)代數(shù)的自同構(gòu)。第一百一十八頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百一十九頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百二十頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百二十一頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法由上可以看到，同構(gòu)具有兩層含義，一是在對(duì)象集與之間存在雙射，二是雙射保持與之間的運(yùn)算關(guān)系。因此，對(duì)于具有同構(gòu)關(guān)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們可由一個(gè)結(jié)構(gòu)中的某些性質(zhì)推知另一結(jié)構(gòu)中也具有相應(yīng)性質(zhì)，在此意義上可以說(shuō)，對(duì)于同構(gòu)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)我們只需研究透一個(gè)就夠了，或干脆看成一個(gè)結(jié)構(gòu)（同構(gòu)意義下），或者將某個(gè)結(jié)構(gòu)中不易研究的性質(zhì)拿到與之同構(gòu)的另一個(gè)結(jié)構(gòu)中去研究，等等。第一百二十二頁(yè)，共一百三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法因此，同構(gòu)在數(shù)學(xué)中具有重要的方法論意義。同樣，同態(tài)作為同構(gòu)的一種弱化，也具有兩層含義，一是存在一個(gè)滿射，二是滿射單方保持關(guān)系，即代數(shù)結(jié)構(gòu)中的某一性質(zhì)可以通過(guò)同態(tài)映