第四節(jié)直線平面平行的判定及其性質(zhì)

第四節(jié)直線平面平行的判定及其性質(zhì)第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.線面平行的判定及應(yīng)用

第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五分析

要證MN∥平面BCE，其一，只需在平面BCE內(nèi)找到一條與MN平行的直線即可；其二，構(gòu)造面面平行，用面面平行的性質(zhì)．第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明

方法一：過(guò)M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，連接PQ，如圖所示．∵M(jìn)P∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，∵AC＝BF，AM＝FN，∴CM＝BN，∴NQ＝BN＝CM＝MP，∴MPQN是平行四邊形，∴MN∥PQ，PQ?平面BCE.而MN?平面BCE，∴MN∥平面BCE.方法二：過(guò)M作MG∥BC，交AB于G，連接NG，如圖所示．∵M(jìn)G∥BC，BC?平面BCE，MG?平面BCE，∴MG∥平面BCE.又，∴GN∥AF∥BE，同理可證，GN∥平面BCE.∵M(jìn)G∩NG＝G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN?平面MNG，∴MN∥平面BCE.第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

規(guī)律總結(jié)

證明直線和平面平行，通常采用如下兩種方法：①利用直線和平面平行的判定定理，通過(guò)“線線”平行證得“線面”平行；②利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過(guò)“面面”平行證得“線面”平行．第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五變式訓(xùn)練1如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面AA1C1.第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五【證明】第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五線面平行的性質(zhì)及應(yīng)用一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，則這條直線和兩個(gè)平面的交線平行．第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五分析

寫(xiě)出“已知”“求證”，過(guò)已知直線作兩個(gè)平面與已知平面相交，由線面平行的性質(zhì)，證明線線平行．第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五解已知：α∩β＝b，α∥α，a∥β，求證：a∥b.證明：如圖，過(guò)直線a作兩個(gè)平面α′，β′，使得α′∩α＝c，β′∩β＝d，則a∥c，a∥d，∴c∥d，∵c?β，d?β，∴c∥β，∵α∩β＝b，c?α，∴c∥b，∴a∥b.

第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

規(guī)律總結(jié)線面平行的性質(zhì)及應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：其一，由線面平行證明線線平行，即由線面平行到線線平行的轉(zhuǎn)化；其二，由線面平行證明面面平行，即由線面平行到面面平行的轉(zhuǎn)化．第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五變式訓(xùn)練２

如圖所示，在四面體A－BCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD.試問(wèn)：截面在什么位置時(shí)，截面的面積最大？

第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五【解析】

第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn)．求證：(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.面面平行的判定及應(yīng)用

第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五分析

依據(jù)平面的基本性質(zhì)和面面平行的判定定理．第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明

第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五規(guī)律總結(jié)

面面平行的判定統(tǒng)統(tǒng)涉及線面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)，要準(zhǔn)確地找到解題的切入點(diǎn)，靈活地運(yùn)用相關(guān)定理來(lái)解決問(wèn)題．第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

變式訓(xùn)練３異面直線AB、CD分別與兩個(gè)平行平面α和β相交于A、B和C、D，M、N分別是AB和CD的中點(diǎn)，求證：MN∥α.第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五【證明】作BE∥DC交平面α于E，取BE的中點(diǎn)P，連EA、EC、PM、PN，如圖所示．則PM∥AE，PN∥EC.∴PM∥平面EAC，PN∥平面EAC，∴平面PMN∥平面EAC，而MN?平面PMN，∴MN∥平面EAC，即MN∥α.第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五(12分)

如圖所示，線段PQ分別交兩個(gè)平行平面α，β于A、B兩點(diǎn)，線段PD分別交α，β于C、D兩點(diǎn)，線段QF分別交α，β于F、E兩點(diǎn)，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面積為72，求△BDE的面積．面面平行的性質(zhì)及應(yīng)用第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

分析由α∥β尋找線線平行，從而判斷△ACF和△BDE的關(guān)系，運(yùn)用已知面積代換，求未知面積．第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五解

第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五規(guī)律總結(jié)

利用面面平行可以得到線面平行和線線平行，所以面面平行的應(yīng)用，主要就是兩個(gè)轉(zhuǎn)化：其一，由面面到線面的轉(zhuǎn)化；其二，由面面到線線的轉(zhuǎn)化．第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五

變式訓(xùn)練４

如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，C∈α，點(diǎn)B∈β，D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求證：EF∥β.第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五【證明】

(1)當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF?β，BD?β，∴EF∥β.(2)當(dāng)AB與CD異面時(shí)，如圖甲．設(shè)平面ACD∩β＝DH，取DH＝AC.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH.連接AH，∴四邊形ACDH是平行四邊形．在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH＝CF∶FD，連接EG、FG、BH.又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥β.∵EF?平面EFG，∴EF∥β.綜上，EF∥β.第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五1．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2．解答或證明線面、面面平行的有關(guān)問(wèn)題，常常要作輔助線或輔助面注意：(1)所作的輔助線或面需要有理論依據(jù)；(2)輔助線或面具有什么性質(zhì)，一定要以某一性質(zhì)定理作為依據(jù)，不能隨意添加．3．證“線面平行”的方法(1)判定定理(線線平行?線面平行)；(2)面面平行的性質(zhì)定理(面面平行?線面平行)．第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4．證明“面面平行”的方法(1)用判定定理或推論；(2)用“同垂直于一條直線的兩個(gè)平面平行”來(lái)判定；(3)依據(jù)“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行”來(lái)判定．第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五5．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為“面面平行，則線面平行”．用符號(hào)表示是：α∥β，a?α，則a∥β.(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為“面面平行，則線線平行”．用符號(hào)表示是：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b.(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面．這個(gè)定理可用于證線面垂直．用符號(hào)表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β.(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．(5)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，求證：EF∥平面.第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五錯(cuò)解

第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，