第四章透視幾何學

第四章透視幾何學1第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1 基本坐標變換 4.1.1 圖象坐標變換

4.1.2 坐標變換討論2第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1.1圖象坐標變換坐標變換示例：平移變換

3第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1.1圖象坐標變換平移變換的矩陣表達

4第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1.1圖象坐標變換旋轉(zhuǎn)變換（繞X軸，Y軸，Z軸）

5第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1.2坐標變換討論變換級連 對一個坐標為v的點的平移、放縮、繞Z軸旋轉(zhuǎn)變換可表示為： 用單個變換矩陣的方法可對點矩陣v變換 這些矩陣的運算次序一般不可互換6第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1.2坐標變換討論變換的推廣 3-點映射變換：將一個三角形映射為另一個三角形，而將一個矩形映射為一個平行四邊形

拉伸（stretch）和剪切（shearing）變換

7第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.1.2坐標變換討論坐標變換

反變換

8第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2 空間幾何變換4.2.1 成象幾何

4.2.2 一般仿射變換4.2.3 特殊仿射變換4.2.4 變換的層次4.2.5 仿射變換的另一種描述方案9第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何1、投影變換 將3-D客觀場景投影到2-D圖象平面成象過程

三個坐標系統(tǒng)：

世界坐標系統(tǒng)

XYZ

攝象機坐標系統(tǒng)

xyz

圖象平面

xy從XYZ到xyz，從xyz到xy10第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何三個坐標系統(tǒng)11第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何透視變換

3-D點投影后的圖象平面坐標 非線性投影等式（分母含變量Z）12第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何2、齊次坐標 可用來將前述非線性（分母中含變量Z）等式表示成線性矩陣形式例：

直線方程ax+by+c=0 一條直線也可用矢量l=[a,b,c]T來表示 當k不為零時，矢量[a,b,c]T和矢量k[a,b,c]T表示同一條直線13第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何齊次坐標

笛卡爾坐標：

齊次坐標：

k

為任意非零常數(shù)齊次坐標笛卡爾坐標：用第4個坐標量去除前3個坐標量14第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何齊次坐標用第4項分別去除前3個項15第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五逆投影變換 點(x',y',0)Z=0：圖象平面上一點對應(yīng)連線上所有共線3-D點的集合 4.2.1成象幾何16第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何逆投影變換 要將1個3-D點的坐標從它的圖象中完全恢復(fù)過來， 需要對產(chǎn)生圖象點的3-D空間點有一些先驗知識 （如知道它的Z坐標）17第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何空間幾何變換 將平面區(qū)域映射到平面區(qū)域(1) 將一個組合區(qū)域映射為另一個組合區(qū)域(2) 將單個區(qū)域映射為一個組合區(qū)域(3) 將一個組合區(qū)域映射為單個區(qū)域 分層分類{圖3.3.1}18第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何投影變換 仿射（affine）變換?？醋魇且环N特殊的投影（projective）變換q=Hp

19第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.1成象幾何投影變換 通用的非奇異齊次線性變換 A是一個2×2的非奇異矩陣，t是一個2×1的矢量，而矢量v=[v1,v2]T

變換可用8個獨立的參數(shù)表示 一個投影變換共有8個自由度（degreesoffreedom，dof），可根據(jù)4組點的對應(yīng)性來計算20第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.2一般仿射變換仿射變換 一個非奇異線性變換接上一個平移變換 一個平面上的仿射變換有6個自由度21第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.2一般仿射變換仿射變換 線性分量A可考慮成兩個基本變換的組合：旋轉(zhuǎn)和非各向同性放縮：22第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.2一般仿射變換仿射變換 性質(zhì)：

(1) 仿射變換將有限點映射為有限點

(2) 仿射變換將直線映射為直線

(3) 仿射變換將平行直線映射為平行直線

(4) 當區(qū)域P和Q是沒有退化的三角形（即面積不為零），那么存在一個唯一的仿射變換A可將P映射為Q，即Q=A(P)23第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.3特殊仿射變換1. 相似變換 s(>0)表示各向同性放縮，R是一個特殊的2×2正交矩陣（RTR=RRT=I），對應(yīng)這里的旋轉(zhuǎn)。典型特例為純旋轉(zhuǎn)（此時t=0）和純平移（此時R=I）24第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.3特殊仿射變換1. 相似變換 保形性（保持形狀）或保角性 相似變換可以保持兩條曲線在交點處的角度 平面上的相似變換有4個自由度，所以可根據(jù)2組點的對應(yīng)性來計算（沒有非各向同性放縮

）25第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.3特殊仿射變換2. 剛體變換 剛體變換T能保持區(qū)域中兩個點間的所有距離 給定兩個點p1,p2

P，距離d1,2=dist(p1,p2)，那么必有dist[T(p1),T(p2)]=d1,2

相似變換中的s=1

26第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.3特殊仿射變換3. 歐氏變換 歐氏變換可表達剛體的運動（平移和旋轉(zhuǎn)的組合）。一個歐氏運動是先旋轉(zhuǎn)（可看作特殊的正交變換）后平移的組合所有區(qū)域都可以認為是全等的27第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.3特殊仿射變換4. 等距變換

剛體變換和歐氏變換可集合在等距變換之下

等距（isometry）指在2-D空間保持歐氏距離（iso表示相同，metric表示測度）e=1，那么等距還能保持朝向且是歐氏變換。e=–1，將反轉(zhuǎn)朝向，即變換矩陣相當于一個鏡像與一個歐氏變換的組合

28第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.2.4變換的層次平行的直線變成會聚的直線圓環(huán)變成橢圓平行或垂直的直線仍具有相同的相對朝向圓環(huán)和正方形都不變化形狀29第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.3 幾何失真校正

4.3.1

空間變換 對圖象平面上的象素進行重新排列以 恢復(fù)原空間關(guān)系 4.3.2

灰度插值 對空間變換后的象素賦予相應(yīng)的灰度 值以恢復(fù)原位置的灰度值30第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五模型 圖象f(x,y)受幾何形變的影響變成失真圖象g(x',y') 線性失真（非線性）二次失真

4.3.1空間變換

31第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五約束對應(yīng)點方法 在輸入圖（失真圖）和輸出圖（校正圖）上找一些其位置確切知道的點，然后利用這些點建立兩幅圖間其它點空間位置的對應(yīng)關(guān)系選取四邊形頂點四組對應(yīng)點解八個系數(shù)4.3.1空間變換

g(x',y')32第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五 用整數(shù)處的象素值來計算在非整數(shù)處的象素值

(x,y)總是整數(shù)，但(x',y')值可能不是整數(shù)最近鄰插值 也常稱為零階插值將離(x',y')點最近的象素的灰度值作為(x',y')點的灰度值賦給原圖(x,y)處象素4.3.2灰度插值

33第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五前向映射 一個失真圖的象素映射到不失真圖的四個象素之間 最后灰度是由許多失真圖象素的貢獻之和決定4.3.2灰度插值

34第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五后向映射 實際失真圖中四個象素之間的位置對應(yīng)不失真圖的某個象素，則先根據(jù)插值算法計算出該位置的灰度，再將其映射給不失真圖的對應(yīng)象素4.3.2灰度插值

35第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五雙線性插值利用(x',y')點的四個最近鄰象素A、B、C、D，灰度值分別為g(A)、g(B)、g(C)、g(D)

4.3.2灰度插值

36第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.4攝像機透視投影模型圖象采集：場景投影轉(zhuǎn)換到圖象四個坐標系統(tǒng)： (1)世界（world）坐標系統(tǒng) (2)攝象機坐標系統(tǒng) (3)象平面坐標系統(tǒng) (4)計算機圖象坐標系統(tǒng)37第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.4攝像機透視投影模型世界坐標系統(tǒng)和攝象機坐標系統(tǒng)分開38第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.4攝像機透視投影模型轉(zhuǎn)換為世界坐標系統(tǒng)與攝象機坐標系統(tǒng)重合時的 攝象機模型：①將象平面原點按D移出世界坐標系統(tǒng)的原點②以某個角（繞z軸）掃視x軸③以某個a角對z軸傾斜（繞z軸旋轉(zhuǎn)）39第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.4攝像機透視投影模型一系列變換用Ch的第四項去除它的第一和第二項

40第四十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.5攝像機近似投影模型1.□正交投影

41第四十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.5攝像機近似投影模型2.□弱透視投影 采用投影和圖像平面內(nèi)的等比例縮放 當物距是景物尺度的20倍時，用弱透視投影近似透視投影的效果比較好

42第四十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.5攝像機近似投影模型3.□側(cè)透視投影 介于正交投影和透視投影(1)□將S正交投影到投影平面(2)□將投影平面上的投影再次透視投影到像平面上43第四十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期五4.6攝像機通用成象模型四個系統(tǒng)全分開44第四十四頁，