第四節(jié)一階線性方程

第四節(jié)一階線性方程第一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程

;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號(hào),由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例3.有一電路如圖所示,電阻

R

和電～解:列方程.已知經(jīng)過(guò)電阻R的電壓降為Ri

經(jīng)過(guò)L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L

都是常量,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第七頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數(shù)為解的意義:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五P281

1(3),(6),(9);2(5);6;

7(3),(5)作業(yè)第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五備用題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問(wèn)題利用通解公式,得利用得故有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2)再解定解問(wèn)題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問(wèn)題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十六頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,