第八章頻率響應(yīng)法

第八章頻率響應(yīng)法CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT第一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五8.1頻率響應(yīng)及頻率響應(yīng)圖前面各章采用了基于復(fù)數(shù)域變量s傳遞函數(shù)描述控制系統(tǒng)，并用系統(tǒng)極、零點在s平面的位置分布來分析系統(tǒng)響應(yīng)，設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)。本章及后續(xù)章介紹另一種系統(tǒng)分析與設(shè)計方法----頻率響應(yīng)法。一、線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)在前面基于s域方法中，系統(tǒng)的測試信號采用階躍、斜坡等，討論在這些信號激勵下系統(tǒng)動態(tài)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況。頻率響應(yīng)法采用正弦測試信號，研究系統(tǒng)在它激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

對線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入是正弦信號時，其穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦信號。而且，相對于輸入信號，輸出只是幅值與相位的變化，這種變化是頻率的函數(shù)。造成輸出的幅值與相位隨頻率變化的根本原因就是系統(tǒng)性能，這就是頻率法分析設(shè)計系統(tǒng)的理論依據(jù)。1.頻率響應(yīng)的定義系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為：系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，具體用系統(tǒng)輸出與輸入的幅值比和相位差隨頻率的變化關(guān)系表示。第二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五G(jω)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)例如：圖示RC電路由相量分析法得相量比：對一般系統(tǒng)

其中輸入為其拉氏變換第三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)pi為互不相同的極點。對Y(s)部分分式展開有取反拉普拉斯變換得

則在穩(wěn)態(tài)時，輸出y(t)將為：由于pi都有負(fù)實部，穩(wěn)態(tài)時指數(shù)項均趨于0。

當(dāng)輸入為正弦信號時，對于特定的頻率ω，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值和相位完全依賴于T(jω)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是T(jω)。在已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)時，只要用jω替換復(fù)變量s即可直接得到系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)。第四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五2.拉氏變換、傅立葉變換、傳遞函數(shù)、頻率特性的關(guān)系拉氏變換對傅立葉變換對傳遞函數(shù)頻率特性

由拉氏變換可以可以導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，基于拉氏變換的s平面方法側(cè)重于分析系統(tǒng)的極、零點分布；由傅立葉變換可以導(dǎo)出系統(tǒng)頻率特性，基于傅氏變換的頻率響應(yīng)法則重點研究系統(tǒng)的幅頻和相頻特性。第五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五二、頻率響應(yīng)的圖形表達(dá)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性在每個頻率點都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)常表示為直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)形式。頻率響應(yīng)特性通常也在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中繪制其曲線---頻率響應(yīng)圖。1.極坐標(biāo)圖—幅相圖（Nyquist圖）頻率特性函數(shù)：例如，RC電路第六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五繪制方法：計算若干特殊點頻率特性，以光滑曲線連接?；蛘叩谄唔?，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例1.某系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖

幅值和相位分別為計算特殊點的值第八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五2.對數(shù)坐標(biāo)圖—Bode圖系統(tǒng)頻率特性函數(shù)為在對數(shù)坐標(biāo)中，通常用以10為底的對數(shù)表示頻率響應(yīng)的幅值，即對數(shù)幅值增益

單位為分貝（dB）當(dāng)時，對數(shù)增益為稱為轉(zhuǎn)折頻率或轉(zhuǎn)角頻率。

第九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五Bode圖手工近似繪制對數(shù)幅值增益為在低頻段，即，對數(shù)增益為

在高頻段，即，對數(shù)增益為

水平軸選為幅值特性變?yōu)橐粭l直線直線斜率為-20dB/十倍頻率均勻刻度十倍頻率刻度近似幅值特性，精確特性的漸近線第十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五3.基本因子項的頻率特性圖頻率特性函數(shù)的一般形式：它的對數(shù)幅值為它的相角為

特點：無論幅值還是相角，都是各因子項幅值和相位的代數(shù)和。

第十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五構(gòu)成系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的基本因子項包括：

常數(shù)增益項Kb;原點處的極點或零點項jω;實軸上的極點或零點項jωτ+1;共軛復(fù)極點或復(fù)零點項放大環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié)二階環(huán)節(jié)（a)常數(shù)增益對數(shù)幅頻增益為

常數(shù)

dB

相角為

在Bode圖上幅頻曲線為平行于橫軸的水平線。

（b)在原點處的極點（或零點）

極點的對數(shù)幅頻為

相角為

在Bode圖上幅頻曲線為斜率倍頻程的直線

相頻曲線為平行與橫軸的直線

在原點處的一重零點的對數(shù)幅值為相角為其幅頻曲線為斜率倍頻程的直線

第十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五都要過（1，0）點極坐標(biāo)圖第十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五（c)在實軸上的極點或零點實軸上的極點，其對數(shù)幅頻為

當(dāng)漸近線為

當(dāng)

漸近線則為

是斜率為倍頻程的直線。兩條漸近線的交點為稱為轉(zhuǎn)折頻率。實際對數(shù)增益為。實軸上的零點，其對數(shù)幅頻為

當(dāng)漸近線為

當(dāng)

漸近線則為

是斜率為倍頻程的直線。實際對數(shù)增益為。第十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五Bode圖與此圖相比，無論幅頻還是相頻都關(guān)于橫軸對稱。第十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五極坐標(biāo)圖第十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五（d)共軛復(fù)極點或零點一般情況下，共軛復(fù)極點對的二次因子可以寫為共軛復(fù)極點對的對數(shù)幅值為

相角為

相角趨于0度當(dāng)時，幅值為

對數(shù)增益曲線的漸近線是斜率為

倍頻程的直線相角趨于當(dāng)時，幅值為

在不考慮ζ影響時，兩幅頻漸近線相交于u=1(ω=ωn)處。第十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五需要討論的問題是：u=1附近ζ對幅頻和相頻特性的影響。由幅頻特性曲線可以看出：在u=ω/ωn=1附近，用漸近線近似誤差較大；近似誤差與ζ有關(guān)，且ζ<0.707時誤差明顯增大，不可忽視；當(dāng)ζ<0.707，在u=1附近幅頻特性有極值（最大值）。在ζ<0.707，對幅頻關(guān)于u求極值。幅值|G()|的最大值--諧振峰值為

幅頻取得極大值的頻率稱為系統(tǒng)諧振頻率，用ωr表示：當(dāng)ζ趨近于0時，諧振頻率ωr

趨近固有頻率ωn。第二十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五由前面幾章分析知：系統(tǒng)的固有頻率ωn、阻尼ζ與系統(tǒng)性能指標(biāo)密切相關(guān)，在頻率特性中，諧振頻率ωr、諧振峰值Mp與ωn、ζ有關(guān)。表明，系統(tǒng)性能指標(biāo)將與諧振頻率、諧振峰值相關(guān)。諧振頻率ωr、諧振峰值Mp與ωn、ζ關(guān)系曲線

通過此曲線可以方便查出在獲得系統(tǒng)諧振頻率ωr、諧振峰值Mp時，系統(tǒng)主導(dǎo)極點的ωn和ζ。第二十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五8.2頻率響應(yīng)圖的繪制在建立頻率響應(yīng)概念和獲得基本環(huán)節(jié)頻率響應(yīng)曲線特征及繪制方法后，本節(jié)介紹系統(tǒng)頻率響應(yīng)圖的手工繪制方法和利用Matlab繪制方法。一、極坐標(biāo)圖繪制----Nyquist曲線繪制3）根據(jù)A(ω)和(ω)確定變化趨勢，畫出Nyquist圖的大致形狀。繪制步驟：三個要素2）補(bǔ)充必要的特征點(如：與實軸或虛軸的交點)：若存在漸近線則求出漸近線即求=0和=∞時A(0+),(0+)；A(∞),(∞)；1）起點和終點：第二十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五1.起點：ω=0+時G(j0+)和終點：ω=∞時G(j∞)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：幅頻：相頻：☆起點：ω=0+：

0型：Ⅰ型及以上：結(jié)論：

起點位置與系統(tǒng)的型有關(guān)。第二十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例1

系統(tǒng)傳遞函數(shù)垂直漸近線：水平漸近線：漸近線問題第二十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論：終點趨于坐標(biāo)原點，只是入射角不同，由分子分母的階次之差（n-m）決定。物理意義☆終點：ω→∞：第二十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五2.曲線與實軸（或虛軸）的交點：虛軸交點如何求？令虛部為零，解得ωx；再將ωx代入Re(jω)即與實軸的交點。例2

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相圖。解：

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性起始點終止點與虛軸交點：令ω（10，j0)（0，-j2.87)第二十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五3.Matlab繪制頻率響應(yīng)極坐標(biāo)曲線Matlab提供了繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)極坐標(biāo)曲線的函數(shù)：Nyquist().num=[15];den=conv([132],[1250]);sys=tf(num,den);nyquist(sys);第二十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五二、Bode圖繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)Bode圖的繪制的步驟：

1）基本環(huán)節(jié)分解；2）將基本環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率由低到高排列并依次標(biāo)注到半對數(shù)坐標(biāo)上；3）繪制各基本環(huán)節(jié)幅頻與相頻漸近線圖：4）自低到高頻做幅頻漸近線疊加及相頻角度疊加：幅頻：在轉(zhuǎn)折頻率處斜率發(fā)生變化，依據(jù)典型環(huán)節(jié)的斜率，兩個轉(zhuǎn)折頻率之間為斜率代數(shù)和的直線；相頻：按相頻漸近線轉(zhuǎn)折點做直線斜率疊加得到相頻漸近線。5）根據(jù)基本環(huán)節(jié)漸近線誤差進(jìn)行修正獲得精確圖形。

實際上，只需要精確計算特殊關(guān)注點：幅頻：過0dB線的點和斜率；幅頻極值點和諧振頻率。相頻：過-180°角度線的點及頻率。第二十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例3.系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:第一步：按頻率遞增順序，將各因子排列如下1）常數(shù)增益2）在原點處的極點3）在處的極點4）在

處的零點5）在處的復(fù)極點對繪制其頻率響應(yīng)Bode圖解：系統(tǒng)頻率特性為:注意：各基本因子的標(biāo)準(zhǔn)形式！第二十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第二步：畫出各基本因子的幅值特性漸近線。

1）常數(shù)的對數(shù)增益為，將其標(biāo)在幅值圖中，如①所示。2）在原點處的極點，其幅值漸近線的斜率為倍頻，在處與0dB相交，將其標(biāo)在幅值圖中，如②所示。3）在處的極點，當(dāng)頻率超過轉(zhuǎn)折頻率時，，其幅值漸近線的斜率為倍頻程，而當(dāng)頻率低于轉(zhuǎn)折頻率時，其幅值漸近線為0dB線，將其標(biāo)在幅值圖中，如③所示。第三十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五4)在處的零點，當(dāng)頻率超過轉(zhuǎn)折頻率時，其幅值漸近線的斜率為倍頻程，而當(dāng)頻率低于轉(zhuǎn)折頻率時，其幅值漸近線為0dB線，將其標(biāo)在幅值圖中，如④所示；

5)在處的復(fù)極點對，當(dāng)頻率超過轉(zhuǎn)折頻率時，其幅值漸近線的斜率為倍頻程，而當(dāng)頻率低于轉(zhuǎn)折頻率時，其幅值漸近線為0dB線，將其標(biāo)在幅值圖中，如⑤所示。第三十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第三步：將各個因子的幅值特性漸近線迭加繪制該系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅值漸近線。繪制方法是按照頻率遞增的順序并考慮每個因子的影響，來繪制總的幅值漸近線。最后對其進(jìn)行修正，得實際幅值曲線。-20dB/十倍頻程-40dB/十倍頻程-20dB/十倍頻程-60dB/十倍頻程第三十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第三十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第四步：對于獨立極點或零點，分別繪制其相角特性的漸近線。1）常數(shù)增益的相角為。2）在原點的極點處，其相角為常數(shù)3）在=2的極點，其相角特性漸近線如圖中所示，在=2的相角為4）在=10的零點，其相角特性漸近線如圖，其中在=10的相角為；5）復(fù)極點對的精確相角特性見圖所示。第三十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五第五步：將各個因子的相角特性漸近線迭加繪制系統(tǒng)頻率特性的相角漸近線。繪制方法：以頻率遞增的順序考慮每個因子的影響，繪制總的相角漸近線。最后對其進(jìn)行修正，得實際幅角曲線。計算特殊點：第三十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五利用Matlab繪制Bode圖Matlab提供了繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)Bode圖的函數(shù)：Bode().num=[250025000];den=conv([120],[1302500]);sys=tf(num,den);bode(sys);第三十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制(二)一、開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制： 將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，包括如下幾部分：1）K/sv；2）一階：慣性、一階微分，交接頻率1/T；3）二階：振蕩、二階微分，交接頻率ωn。最小相位系統(tǒng)：幅頻特性與相頻特性具有一一對應(yīng)關(guān)系；而非最小相位系統(tǒng)就沒有這樣的關(guān)系第三十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五G(s)=K20lgKdB的一條直線0dB與-40dB/dec的兩條直線G(s)=1/(Ts+1)0dB與-20dB/dec的兩條直線G(s)=Ts+10dB與20dB/dec的兩條直線G(s)=1/s-20dB/dec的一條直線G(s)=s20dB/dec的一條直線0dB與40dB/dec的兩條直線第三十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制的步驟：

1）典型環(huán)節(jié)分解；2）將轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標(biāo)注到半對數(shù)坐標(biāo)紙上；3）繪制低頻（ω<ωmin）漸近線： 斜率由K/s決定為：-20dB/dec 確定低頻漸近線上的一個點：三種方法：①在直線上任取一點ω0(ω0<ωmin

)，則：第三十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五②取特殊點ω0=1，則：③取特殊點，則：4）作ωωmin頻段的漸近線： 在交接頻率處斜率發(fā)生變化，依據(jù)典型環(huán)節(jié)的斜率，兩個交接頻率之間為直線；5）如需要可進(jìn)行修正獲得精確圖形。第四十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例1：試?yán)L制以下傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻曲線解：1）首先把開環(huán)傳函寫為標(biāo)準(zhǔn)形式：2）低頻漸近線：斜率為-20dB/dec，取點：ω=1，則：第四十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五3）轉(zhuǎn)折頻率以及斜率變化值：：4）在半對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示：第四十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五返回對數(shù)坐標(biāo)系第四十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例2：已知畫bode圖解：1）寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：環(huán)節(jié)：阻尼？第四十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五2）繪制低頻段的直線：斜率-20dB/dec，直線，在ω=1過-12(dB)這一點的直線。4）據(jù)各環(huán)節(jié)的交接頻率繪制近似對數(shù)幅頻特性。5）修正近似的對數(shù)幅頻特性（振蕩有諧振峰值）第四十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五返回半對數(shù)坐標(biāo)系注意：修正值第四十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例3：已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性如圖所示。試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。繪制相應(yīng)的對數(shù)相頻特性圖。

二、由開環(huán)Bode圖求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：第四十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五解：（1）由圖可知在頻率ω=6之前，對數(shù)幅頻特性斜率為-20dB/dec，這是積分環(huán)節(jié)：（2）（3）圖中ω=6頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為-40dB/dec，這意味著在ω=6出現(xiàn)了慣性環(huán)節(jié)，即：第四十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五（4）圖中ω=8~20頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為-20dB/dec，即由原來的-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，即出現(xiàn)了一階微分環(huán)節(jié)：（5）圖中ω=20~60頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為0dB/dec，即由原來的-20dB/dec變?yōu)?dB/dec，即出現(xiàn)了一階微分環(huán)節(jié)：（6）圖中ω=60以后頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為-40dB/dec，即由原來的0dB/dec變?yōu)?40dB/dec，即出現(xiàn)了振蕩或兩個慣性：第四十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五由圖知，沒有發(fā)生突變，可看作兩個慣性環(huán)節(jié)：因此，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：第五十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五書例4：已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。解：含有哪些環(huán)節(jié)？第五十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五確定四個參數(shù)：第五十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五開環(huán)傳遞函數(shù)為：第五十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五三、最小相位和非最小相位系統(tǒng)

前面例子中，所考慮的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點和極點均在s平面的左半邊。該系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。

實際上，若系統(tǒng)極點在左邊s平面內(nèi)，系統(tǒng)有零點在右邊s平面上，系統(tǒng)仍為穩(wěn)定的。我們把具有右半s平面零點的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。

下圖8(a)和(b)所示的兩個零—極點圖具有相同的幅值特性。然而，它們的相位特性是不同的。見圖(c)。第五十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五例4.已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。說明：紅色曲線為幅頻響應(yīng)的漸近線。含有哪些環(huán)節(jié)？解：確定參數(shù)？根據(jù)幅頻曲線漸近線及精確曲線知，系統(tǒng)含有下列基本環(huán)節(jié)：低頻段漸近線的斜率為20dB/dec且過0dB時頻率為1，則知K=1。第五十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五①②對直線段①：斜率為20dB/dec，且過（1，0）點。則其方程為：由曲線知：對直線段②：由曲線知：由曲線知：Mp=20-12=8dB傳遞函數(shù)為：第五十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五8.3頻域性能指標(biāo)

討論系統(tǒng)頻率響應(yīng)，繪制頻率響應(yīng)圖的目的是為了分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的時域響應(yīng)是什么關(guān)系？或者說，時域性能指標(biāo)在頻率響應(yīng)中如何表現(xiàn)？這就是本節(jié)要回答的問題。二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

從前面幾章討論中發(fā)現(xiàn)，在引入主導(dǎo)極點概念之后，控制系統(tǒng)動態(tài)特性可以二階系統(tǒng)參數(shù)表示。這也符合絕大多數(shù)實際工程中控制系統(tǒng)的情況。本節(jié)同樣以二階系統(tǒng)為標(biāo)準(zhǔn)，定義頻域性能指標(biāo)，討論頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間的關(guān)系。第五十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五一、頻域性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為1.諧振峰值Mp是頻率響應(yīng)的最大幅值，出現(xiàn)在諧振頻率ωr處。2.諧振頻率ωr3.系統(tǒng)帶寬ωB帶寬是頻率響應(yīng)的幅值從低頻值下降時的頻率，是對系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號能力的度量。二、頻域性能指標(biāo)與系統(tǒng)時域響應(yīng)間的關(guān)系①

階躍響應(yīng)的超調(diào)量隨諧振峰值增加而增加。

兩者都只與阻尼ζ有關(guān)，阻尼減小必然引起振蕩加劇。第五十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五由知②帶寬、諧振頻率ωr與系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度直接相關(guān)。增加時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時間將減小，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快。Bw對于二階系統(tǒng)（標(biāo)準(zhǔn)化帶寬）與ζ變化規(guī)律如圖，近似為線性關(guān)系。在ζ一定的情況下，ωn越大，帶寬將越寬。帶寬越寬，調(diào)節(jié)時間越短。從而在控制系統(tǒng)頻域設(shè)計時，通常要求：1）相對較小的諧振幅值，例如：；2）相對較大的帶寬，使得系統(tǒng)的時間常數(shù)足夠小。（）第五十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五③閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與頻率響應(yīng)的關(guān)系。

對于圖示的二階系統(tǒng)，斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差由速度誤差系數(shù)決定。

由前幾章討論已知，系統(tǒng)對輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差，與系統(tǒng)增益和系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成繪Bode圖時的標(biāo)準(zhǔn)形式（利用時間常數(shù)表示）該I型系統(tǒng)的增益就為速度誤差系數(shù)。

第六十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五一般情況下：若N型反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)為

那么根據(jù)系統(tǒng)不同的型N和輸入信號類型，增益就是相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。換句話說：決定了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。例如：0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)構(gòu)成系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的低頻部分。而且其與0dB線交點的頻率結(jié)論：系統(tǒng)誤差系數(shù)等于該系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的低頻增益。強(qiáng)調(diào)：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性相關(guān)；動態(tài)指標(biāo)與閉環(huán)頻率特性相關(guān)。第六十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期五三、頻率響應(yīng)的對數(shù)幅相圖—Nichols圖頻域響應(yīng)除前面介紹的極坐標(biāo)圖、Bode圖表示為，經(jīng)常換用對數(shù)幅相圖表示。它以一定范圍的頻率為參數(shù)，繪制對數(shù)幅值隨相角變化的曲線。對數(shù)幅相圖給出的幅值和相角信息等價于Bode圖，優(yōu)勢在于能夠更直觀的研究閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

Matlab提供了繪制對數(shù)幅相圖的函數(shù)：

Nichols(sys)，