第八章熱傳導(dǎo)

第八章熱傳導(dǎo)第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四求解上式方程，并根據(jù)確定的邊界層條件即可求出溫度分布及導(dǎo)熱速率問題。直角坐標(biāo)：如方形燃燒爐的爐壁。（8-1）柱坐標(biāo)：如蒸汽管的管壁。（8-2）球坐標(biāo)：核反應(yīng)的壓力容器壁。（8-3）第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四⑴平壁穩(wěn)態(tài)一維導(dǎo)熱單層平壁的一維導(dǎo)熱是最簡(jiǎn)單的。方程是：

（8-1）邊界條件：積分后的分布函數(shù)為：（8-2）第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四沿x方向通過平壁的導(dǎo)熱速率q為：得：（8-5）根據(jù)方程（8-5）即求出導(dǎo)熱速率。對(duì)于固體材料：k為t的線性函數(shù)。

（8-6）大多數(shù)金屬β為負(fù)值。絕緣材料的β為正值。第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四⑵管壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：用柱坐標(biāo)較方便：邊界條件：兩次積分的分布函數(shù)：（8-7）由該方程看出，通過管壁進(jìn)行徑向穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)，溫度分布是半徑r的對(duì)數(shù)函數(shù)。第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四導(dǎo)熱速率：qr為徑向距離r處的導(dǎo)熱速率，Ar是該處的導(dǎo)熱面積。導(dǎo)熱系數(shù)k可用t1

和t2的算術(shù)平均溫度下的km值代替。

第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

⑶二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值解二維或三維導(dǎo)熱問題，工程上多采用數(shù)值計(jì)算法求解，下面以無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)為例說明之。

a.

體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方程在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱能量方程為：

數(shù)值解法的基礎(chǔ)是將上述連續(xù)變化的偏微分方程用梯級(jí)變化的差分方程近似表達(dá)。從而求出溫度分布。第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四將二維面分成若干個(gè)組成的子方格。分割線的交點(diǎn)即為結(jié)點(diǎn)。

的長(zhǎng)度視精確度的要求選取，設(shè)其有n個(gè)結(jié)點(diǎn)。在溫度場(chǎng)內(nèi)任取一結(jié)點(diǎn)I其溫度為，考察與其周邊的四個(gè)點(diǎn)有何關(guān)系。2314第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四在二維溫度場(chǎng)中，在i點(diǎn)附近沿x方向展開f(x,y)呈Taylor級(jí)數(shù)的形式為：兩式相加得：第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四將上兩式相加并忽略項(xiàng)，得：同理得：令第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四由于：所以可得：該式稱為物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方程。即在無內(nèi)源的二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中，其內(nèi)部任一結(jié)點(diǎn)的溫度都可用其附近的四個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值表示。第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四b.

物體邊界上的結(jié)點(diǎn)溫度方程結(jié)點(diǎn)位于邊界上，其溫度就不能用上式表達(dá)了，可分五種情況加以討論。

①對(duì)于恒溫邊界，其溫度已知，問題簡(jiǎn)單。②對(duì)于絕熱邊界，導(dǎo)出：第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四1i1231132i32i14③對(duì)于一般的對(duì)流邊界：第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四④對(duì)于對(duì)流邊界上的外角：⑤

對(duì)于對(duì)流邊界上的內(nèi)角c.

二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組

第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四式中的利用計(jì)算機(jī)即可求解該方程組，獲得n個(gè)結(jié)點(diǎn)的溫度值。根據(jù)上述推導(dǎo)，就可確定每一個(gè)結(jié)點(diǎn)與其它相鄰結(jié)點(diǎn)的方程，共可獲得幾個(gè)方程得出如下方程組：

第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)

一維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解對(duì)于一維無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱，能量方程可簡(jiǎn)化為：直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：為了求解方便，常假設(shè)α值不隨溫度和位置而變化，而是一常數(shù)。第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四于是上述方程就為一常系數(shù)線性偏微分方程，在特定初始條件和邊界條件，可獲得唯一解。

①初始條件，即θ＝0時(shí)，物體內(nèi)部的溫度分布情況，最簡(jiǎn)單的初始條件是：第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四②邊界條件：指物體兩端點(diǎn)處的溫度隨時(shí)間變化的情況分為三類：a.b.c.第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四半無限固體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：

如圖：為一半無限固體，左端位于yoz平面上，右端面為無限。它可以是無限厚的平板或無限廠的圓柱體等。ztyxo第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)導(dǎo)熱開始時(shí)物體的初始溫度為t0。然后突然將左端面溫度變?yōu)閠s，而且在過程中維持不變。除兩端面以外，其余表面均絕熱。由于右端在無限遠(yuǎn)處，其溫度在導(dǎo)熱過程中維持其初始溫度t0不變。這類傳熱可作為一維不穩(wěn)態(tài)處理能量方程為：第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

根據(jù)所給的初始條件和邊界條件，上述偏微分方程可采用Laplace變換法求解，也可采用變量置換，將其化為常微分方程求解。（過程略）最后結(jié)果為：第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

實(shí)際上某處距離x處，經(jīng)歷某一足夠長(zhǎng)時(shí)間后，該處的溫度便開始以漸近線的形式趨近于ts。

θt0

θts

ts

某處x冷卻過程中t~θ曲線加熱過程中t~θ曲線第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四有了溫度分布方程，就可以求經(jīng)左端面流入物體或自物體流出的熱流速率。在0～θ時(shí)間間隔內(nèi)，總熱量通量為：第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

實(shí)際例子：

（1）地面氣溫突然變化時(shí)土壤溫度隨之變化。

（2）大建筑物表面溫度變化時(shí)，內(nèi)部溫度隨之變化

（3）大塊鋼錠的熱處理等。第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四大平板的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

具有兩個(gè)平行端面的大物體內(nèi)的導(dǎo)熱問題，可作為一維導(dǎo)熱處理。平板兩個(gè)端面維持恒溫的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。l2l0x設(shè)兩板間距為2l，初