第八章二階電路課用

第八章二階電路課用1第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

第八章二階電路●二階電路：由一個二階微分方程或兩個聯(lián)立的一階微分方程描述的電路?！耠娐分泻袃蓚€儲能元件（一個L和一個C；或兩個獨立的L或兩個獨立的C）。所謂獨立，就是兩個L不能串聯(lián)或并聯(lián)，或在電路中與電流源構(gòu)成回路；兩個C不能串聯(lián)或并聯(lián)，或在電路中與電壓源構(gòu)成回路。否則，仍屬一階電路?！穸A電路的分析問題是求解二階微分方程或一階聯(lián)立微分方程的問題。與一階電路不同的是，這類電路的響應可能出現(xiàn)振蕩的形式。為了突出這一重要特點，本章首先從物理概念上闡明LC電路的零輸入響應具有正弦振蕩的形式，然后通過RLC串聯(lián)電路說明二階電路的一般分析方法以及固有頻率（特征根）與固有響應形式的關(guān)系。第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四基本要求：

理解二階電路固有頻率、振蕩和非振蕩的概念，重點掌握RLC串聯(lián)電路微分方程的建立及相應初始條件、特征方程及其根，并根據(jù)特征根判定電路的狀態(tài)及零輸入響應的形式，掌握直流RLC串聯(lián)電路的全響應及GCL并聯(lián)電路的分析。第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四設(shè)uC(0)=U0iL(0)=0,wL(0)=0CL+–U0(a)CLi(b)CL+–U0(c)CLi(d)CL+–U0(e)C放電,uC↓WC↓,WL↑L吸收能量L釋放能量WL↓,WC↑C反向充電C反向放電WC↓,WL↑L吸收能量L釋放能量WL↓,WC↑C重新充電

由此可見，在由電容和電感兩種不同的儲能元件構(gòu)成的電路中，隨著儲能在電場與磁場之間的往返轉(zhuǎn)移，電路中的電流和電壓將不斷地改變大小和方向（極性），形成周而復始的振蕩。WCWL注：1）若R=0，則為無阻尼等幅振蕩；2）若R≠0，則為阻尼衰減（減幅）振蕩；3）若R很大，則不產(chǎn)生振蕩?！?—1LC電路中的正弦振蕩第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

例：圖示為LC振蕩回路，設(shè)uC(0)=1V，iL(0)=0。CL+–uC1F1HiL則由元件的VAR可得：此即為二階電路的兩個聯(lián)立的一階微分方程

此式表明：電流的存在要求有電壓的變化；電壓的存在要求有電流的變化。故電壓、電流都必須處于不斷的變化狀態(tài)之中。結(jié)合初始條件uC(0)=1V，iL(0)=0，不難猜想：uC(t)=costViL(t)=sintA

既滿足方程又滿足初始條件。因此，LC回路中的等幅振蕩是按正弦方式隨時間變化的。

能量特性：∴W(t)=W(0)(t≥0)第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)含L和C的二階電路如圖(a)所示，運用戴維南定理后可得圖(b)所示RLC串聯(lián)電路。含源電阻網(wǎng)絡(luò)iLC(a)iLC(b)++++––––uOCuRuLuCR由圖(b)：根據(jù)KVL：要求出微分方程uC(t)的解答，必須有uC(0)和u'C(0)兩個初始條件。uC(0)——電容電壓初始值t=0t=0§8—2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應——過阻尼情況第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四此處只研究圖示電路的零輸入響應——即uOC(t)=0特征方程：特征方程的根：

S由電路本身參數(shù)R、L、C值確定，與初始狀態(tài)無關(guān)。故也稱之為固有頻率。根據(jù)R、L、C值的不同，固有頻率可能出現(xiàn)如下三種情況：1）當時，S1、S2

為不相等的負實根——過阻尼非振蕩；2）當時，S1、S2

為相等的負實根——臨界阻尼非振蕩；3）當時，S1、S2

為一對負實部共軛復根——欠阻尼振蕩。注：本節(jié)只討論第一種情況。即第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

對應齊次微分方程的解答形式為：

式中：待定系數(shù)（積分常數(shù)）K1、K2由uC(0)和u'C(0)確定。即∴●當，即時的過阻尼非振蕩情況此時即衰減慢衰減快第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四不難看出，uC(t)和iL(t)都是由隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)項表示的，表明電路的響應是非振蕩性的。例：設(shè)uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0相當于圖示電路，換路前處于穩(wěn)態(tài)，t=0時換路.

1、uC(t)、i(t)、uL(t)及uR(t)的變化特性t=012++++––––U0RLCuR(t)uL(t)uC(t)●i(t)由以上分析知（t≥0）：uC(0)0uC(t)tuC(t)①uC(t)由兩個單調(diào)下降的指數(shù)函數(shù)構(gòu)成，C一直處于放電狀態(tài)（非振蕩）。第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四②i(t)始終為負（實際方向與參考方向相反）。tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uRt=0,i=0；t→∞,i→0；t=tm：i=–imax。③uR(t)和i(t)變化類似。④uL(t)的變化情況：1）t=0時，uL(0)=–uC(0)；2）0<t<tm：uL為負并減??；3）t=tm：uL=0（與i=–imax發(fā)生在同一時刻）4）tm<t<2tm：uL為正并增大；5）t=2tm：uL=uLmax；6）t>2tm：uL→0。

▲關(guān)于tm的確定（tm即為uL=0和i=–imax的時間）由t=tm：即第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

證明：為什么t=2tm時，uL(t)=uLmax？證：由令則即（證畢）tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

2、過阻尼非振蕩放電過程中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系1）0＜t＜tm：i恒為“–”，uC“+”，pC“–”，C放電；uL“–”，pL“+”，L吸收能量；uR“–”，pR“+”，R吸收能量。uL+++–––uRuCRLCWCWLWR↗↘2）t＞tm：i恒為“–”，uC“+”，pC“–”，C繼續(xù)放電；uL“+”，pL“–”，L釋放能量；uR“–”，pR“+”，R吸收能量。+++–––uRuCRLCuLWCWLWR↗↘tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四當即時的臨界阻尼非振蕩情況此時，固有頻率S為一對相等的負實數(shù)，即S1=S2=–=－α從高數(shù)知：這時齊次微分方程的解答形式為：式中，待定系數(shù)（積分常數(shù)）K1、K2仍由uC(0)和u'C(0)來確定。由上式得：于是可得：§8—3

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應——臨界阻尼情況第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四t≥0：

由上式可看出：各量的變化與前述過阻尼情況相似，屬于非振蕩性質(zhì)。

在臨界電阻條件下，電路的放電電壓和電流仍為非振蕩性質(zhì)，故稱之為臨界阻尼非振蕩放電過程。

當uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0時，得

若R稍小于，則變?yōu)檎袷幮再|(zhì)。故R=時的電阻，稱為臨界電阻。第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

如果，即

時，電路的固有頻率S為一對共軛復數(shù)。即S1、2=

式中：為正實數(shù)，稱為衰減系數(shù)（決定振幅衰減快慢）。

阻尼（衰減）振蕩角頻率：

固有振蕩（諧振）角頻率：三者關(guān)系：ω0、ωd、α構(gòu)成一直角三角形ωdαω0θ§8—4RLC串聯(lián)電路的零輸入響應——欠阻尼情況第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

由高數(shù)知：此時齊次微分方程的解答形式為

式中，積分常數(shù)K1、K2由初始條件uC(0)和u'C(0)來確定。若給定uC(0)和iL(0)，則可求出K1、K2，進而求出uC(t)。

為了便于反映響應的特點，上式還可進一步寫作uC(t)式中：θk1k2k(ωd)(ω0)(α)把K1、K2之值代入上式可得：uC(0)=K1第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四其中：

由上兩式表明，uC(t)、iL(t)都是一個振幅逐漸減小的衰減振蕩。t0t0等幅振蕩

★綜上所述，電路的零輸入響應的性質(zhì)取決于電路的固有頻率S（亦即取決于電路中的參數(shù)R、L、C之值）。顯而易見，電路參數(shù)的變化，可以引起過渡過程性質(zhì)的變化。

當R=0時，此時第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四iLC++++––––uOC=USuRuLuCR

即RLC串聯(lián)電路在非零初始條件下，外加直流（US）激勵時產(chǎn)生的響應。

電路如圖示，此時以uC(t)

為變量的微分方程為：

非齊次方程的特解：uCp(t)=US

對應齊次微分方程的通解，視固有頻率（特征方程的根）的不同，仍有三種不同的形式，從而得出uC(t)有三種不同的情況。特征方程的根：S1、2

1、過阻尼非振蕩情況：此時S1、S2為兩個不等的負實數(shù)§8—5直流RLC串聯(lián)電路的完全響應第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

2、臨界阻尼非振蕩情況：此時S1、S2為兩相等的負實數(shù)即S1=S2=–=－α

3、欠阻尼振蕩情況：此時S1、S2為一對負實部的共軛復數(shù)即S1、2=∴uC(t)第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

然后根據(jù)初始狀態(tài)uC(0)和i(0)得出的初始條件uC(0)和u'C(0)，便可確定積分常數(shù)K1、K2，從而求出uC(t)，進而求出i(t)、uL(t)及uR(t)。以S1、S2為兩個不等的負實數(shù)為例，計算K1和K2。此時uC(t)由解得：第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

例：零狀態(tài)電路如圖示，已知R=4Ω，L=1H，C=1/3F，uS(t)=16V（t≥0）。（1）求t≥0時uC(t)和i(t)；（2）若R=2Ω，求i(t)。uC(t)i(t)LC++––uS(t)R

解：依題意：uC(0)=0,iL(0)=i(0)=0t≥0：（1）代入?yún)?shù)得：特解：uCp(t)=16v特征方程：即解得：S1=–1，S2=–3通解：uCh(t)∴uC(t)由uC(0)=k1+k2+16=0u'C(0)=－k1－3k2=i(0)/c=0K1+k2=－16－k1－3k2=0即解得：k1=－24,k2=8第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四∴uC(t)i(t)(t≥0)(t≥0)

（2）若R=2Ω則解得：S1、2=由第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)含L和C的二階電路如圖(a)所示，運用諾頓定理可得圖(b)所示GCL并聯(lián)電路。含源電阻網(wǎng)絡(luò)LC(a)●●iG(t)iL(t)iC(t)GLC+–u(t)iSC(t)●●●●(b)由圖(b)：KCL:iC(t)+iG(t)+iL(t)=iSC(t)由于即iLC++++––––uOCuRuLuCR(c)

注：圖(b)與圖(c)所示電路具有對偶性?！?—6GCL并聯(lián)電路的分析第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期四

特解：若iSC(t)=0，則iLp(t)=0；若iSC(t)=IS，則iLp(t)=IS

2、臨界阻尼非振蕩情況：此時S1、S2為兩個相等的負 實數(shù)

通解：視固有頻率（特征方程的根）的不同也有三種不同的解答形式。特征根：S1、2=

1、過阻尼非振蕩情況：此時S1、S2為兩個不等的負實數(shù)（即）第二十四