第二章 測量誤差分布

第二章測量誤差分布第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四主要內容熟悉誤差分布的基本概念、常見誤差分布特征與處理方法直方圖的繪制概率密度分布圖誤差分布的特征值常見的誤差分布常用的統(tǒng)計量分布誤差分布的統(tǒng)計檢驗第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四主

要

內

容2.1測量誤差的統(tǒng)計特性

2.2常見測量誤差分布2.3常見的統(tǒng)計量分布2.4誤差分布的分析與檢驗1234第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四2.1測量誤差的統(tǒng)計特性一、測量點列圖某鋼球工件直徑重復測量150次，得到一個測量樣本7.0857.3357.585單峰性：數(shù)據(jù)集中在7.335附近有界性：數(shù)據(jù)分布在7.085至7.585之間對稱性：正負誤差的數(shù)目大致相同；抵償性：誤差的總和大致趨于零第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四（1）分組數(shù)=11，組距=0.05mm；（2）依次定各組的頻數(shù)、頻率和頻率密度；（3）以數(shù)據(jù)為橫坐標，頻率密度為縱坐標，在橫坐標上劃出等分的子區(qū)間，劃出各子區(qū)間的直方柱，即為所求統(tǒng)計直方圖。77.17.27.37.47.57.60510152025二、統(tǒng)計直方圖第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四繪制統(tǒng)計直方圖注意事項（1）樣本大?。捍_定誤差的分布范圍時，取n=50～200確定誤差分布規(guī)律時，最好取n=200～1000(２)子區(qū)間個數(shù)、間距： 當n=50～100時，個數(shù)=6～10 當n=100～200時，個數(shù)=9～12 當n=200～500時，個數(shù)=12～17 當n=500以上時，個數(shù)=20可用下列兩個公式之一來計算分組數(shù)或間距

或第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四把各直方柱頂部中點用直線連接起來，便得到一條由許多折線連接起來的曲線。當測量樣本數(shù)n無限增加，分組間隔趨于零，圖中直方圖折線變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率（分布）密度曲線，記為。這就是用實驗方法由樣本得到的概率密度分布曲線。77.17.27.37.47.57.60510152025三、概率密度（分布）圖（測量總體）第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律。概率密度函數(shù)的幾何意義

置信區(qū)間

顯著性水平（又稱顯著度或危險率）

置信概率（或置信水平），簡記為符號概率密度的性質有兩個性質第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四四、統(tǒng)計分布特征值盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實際使用中更關心代表該誤差分布的若干數(shù)字特征量。數(shù)學期望標準偏差偏態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)協(xié)方差相關系數(shù)第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學期望（加權平均）定義一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統(tǒng)誤差，如果系統(tǒng)誤差可以忽略，則就是被測量的真值

三條測量值分布曲線的精密度相同，但正確度不同。數(shù)學期望代表了測量的最佳估計值，或相對真值的系統(tǒng)誤差大小第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四標準偏差二階中心矩，稱為X的標準（偏）差，，的大小表征了隨機誤差的分散程度，即大部分分布在范圍內，可作為隨機誤差的評定尺度定義三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同

標準差代表了該測量條件下的測量結果分散性的大小，或是該測量分布的隨機誤差大小

第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四偏態(tài)系數(shù)定義三階中心矩，將無量綱化，稱為偏態(tài)系數(shù)，描述了測量總體及其誤差分布的非對稱程度曲線Ⅱ具有正(右)偏態(tài)，曲線Ⅰ具有負(左)偏態(tài)第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四峰態(tài)系數(shù)定義

表征了測量總體及其誤差分布的峰凸程度。是將無量綱化，也稱峰度，而是按標準正態(tài)分布歸零，即對于正態(tài)分布超越系數(shù)視為零較尖峭的分布有，較平坦的分布有第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四協(xié)方差定義式中協(xié)方差表示了兩變量間的相關程度

第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四相關系數(shù)定義表示了兩個變量間線性相關的程度

越小，X，Y之間線性相關程度越小，取值越大，X，Y之間線性相關程度越大

當

，

X與Y正相關，當，X與Y負相關

線性相關正相關負相關線性不相關第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學期望名稱定義方差幾何意義誤差意義偏態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)協(xié)方差位置特征實際值正確度彌散分散性，精密度不對稱誤差分布不對稱性尖峭誤差分布尖峭程度兩誤差關聯(lián)程度統(tǒng)計分布常用的特征值第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四2.2

常見測量誤差分布正態(tài)分布標準偏差均勻分布三角分布瑞利分布反正弦分布分布幾種常見的誤差分布第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四一、正態(tài)分布服從正態(tài)分布的條件誤差因素多而小，無一個占優(yōu)，彼此相互獨立（中心極限定理）。一般認為，當影響測量的因素在15個以上，且相互獨立，其影響程度相當，可以認為測量值服從正態(tài)分布；若要求不高，影響因素則應在5個（至少3個）以上，也可視為正態(tài)分布。第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四概率密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)：

為測量總體的數(shù)學期望，如不計系統(tǒng)誤差，則即為隨機誤差

為測量總體的標準差，也是隨機誤差的標準差

第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大。（2）對稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負誤差出現(xiàn)的概率相等。（3）抵償性：隨測量次數(shù)增加，算術平均值趨于零。分布的誤差特性正態(tài)分布的這三個特點與誤差大樣本下的統(tǒng)計特性相符。但在理論上，正態(tài)分布無界，這也是正態(tài)分布與實際誤差有界性不相符之處。

第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四正態(tài)分布的置信概率

誤差在分布區(qū)間的置信概率

式中68.26%95.45%99.73%置信概率正態(tài)積分函數(shù)，已制成正態(tài)積分表

置信因子第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

(1)經(jīng)典誤差理論都是建立在正態(tài)分布的基礎上。凡是有3、5個以上的、差不多微小的、獨立影響的合成分布都趨近正態(tài)分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個事實。正態(tài)分布在誤差理論和實踐中的地位(2)許多非正態(tài)分布可以用正態(tài)分布來表示。(3)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)具有簡單的數(shù)學形式和優(yōu)良的性質。當然，也有不少的誤差分布并不能簡單地用正態(tài)分布來描述。因而，現(xiàn)代誤差理論及其實踐需要進一步研究非正態(tài)分布的問題。第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四二、均勻分布若誤差在某一范圍中出現(xiàn)的概率相等，稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學期望方差標準方差置信因子

o-aa第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四服從均勻分布的可能情形

(1)數(shù)據(jù)截尾引起的舍入誤差;(2)數(shù)字顯示末位的截斷誤差(3)瞄準誤差;(4)數(shù)字儀器的量化誤差;(5)齒輪回程所產生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；(6)多中心值不同的正態(tài)誤差總和服從均勻分布。第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四三、三角分布概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差當兩個分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布。第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四四、反正弦分布概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差a-ao服從反正弦分布的可能情形

度盤偏心引起的測角誤差；正弦（或余弦）振動引起的位移誤差；無線電中失配引起的誤差。第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四五、瑞利分布概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差服從瑞利分布的可能情形

偏心值在非負值的單向誤差中，由于偏心因素所引起的軸的徑向跳動刻度盤、圓光柵盤的最大分度誤差齒輪和分度盤的最大齒距累積誤差第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四六、貝塔分布概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四在給定分布界限下通過參數(shù)取不同值，貝塔分布可呈對稱分布、非對稱分布、單峰分布、遞增或遞減分布等，可逼近常見的正態(tài)、三角、均勻、反正弦、瑞利等各種典型分布。貝塔分布具有可逼近各種實際誤差分布的多態(tài)性。貝塔分布在理論上就是有界的。不像正態(tài)、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合誤差的基本特性即有界性。

貝塔分布的性質與密度函數(shù)圖第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四常見分布的數(shù)字特征量名稱正態(tài)分布區(qū)間半寬度標準差期望等價均勻分布三角分布反正弦分布瑞利分布第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四2.3常見的統(tǒng)計量分布本節(jié)介紹常用的統(tǒng)計量分布，包括t分布F分布，分布。前邊介紹主要是單個統(tǒng)計量分布，實際中要常用到變量間組合也就是函數(shù)的統(tǒng)計分布。第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四一、

分布定義若為獨立服從同分布的隨機誤差，則稱服從為自由度為的分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四二、t分布定義若隨機誤差，隨機誤差，且和相互獨立，則服從的分布稱為自由度為的t分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差o第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

當自由度足夠大時，t分布趨近于正態(tài)分布。t分布在誤差理論和實踐中的應用t分布在研究正態(tài)小子樣（測量次數(shù)較少時），是一個嚴密而有效的理論分布。正態(tài)樣本的算術平均值構成的如下統(tǒng)計量服從自由度為的t分布。其測量算術平均值滿足

t分布的臨界值，滿足第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四三、F分布定義若，，則稱服從為自由度為的F分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學期望標準方差第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四2.4誤差分布的分析與檢驗本節(jié)介紹確定誤差分布規(guī)律的幾種方法，包括物理來源法，函數(shù)關系法以及圖形判斷法。最后介紹有關分布檢驗的知識，包括正態(tài)分布統(tǒng)計檢驗（夏皮羅-威爾克檢驗、偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)檢驗）和一般分布檢驗（皮爾遜檢驗）。第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四物理來源判斷法根據(jù)測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類型

如其測量受到至少有三個以上獨立的、微小而大小相近的因素的影響，則可認為它服從或接近正態(tài)分布。測量值在某范圍內各處出現(xiàn)的機會相等，則可認為它服從均勻分布。一、誤差分布的分析與判斷第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)關系法

利用隨機變量的函數(shù)關系，來判斷誤差屬于何種分布。

若與都在[-a，a]內服從均勻分布，則服從三角分布

若與都服從正態(tài)分布，則服從偏心分布(瑞利分布)

若服從均勻分布，則服從反正弦分布第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四圖形判斷法對重復測量獲得的樣本數(shù)據(jù)繪出頻率密度直方圖，并與各種常見的概率密度分布曲線相比較，判斷它與何種分布相接近。

第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四統(tǒng)計檢驗的步驟

1、概念事先對分布形式作出某種假設然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立2、類型正態(tài)分布統(tǒng)計檢驗一般分布檢驗夏皮羅-威爾克檢驗偏態(tài)系數(shù)檢驗峰態(tài)系數(shù)檢驗皮爾遜檢驗

二、誤差分布的統(tǒng)計檢驗第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四皮爾遜檢驗(且已知)1、提出原假設總體的分布函數(shù)未知

某個已知的分布函數(shù)

2、計算統(tǒng)計量總體中抽取出一個容量為的樣本把整個數(shù)軸分成個區(qū)間頻數(shù)，樣本的觀察值落在第個區(qū)間的個數(shù)由計算出總體在各區(qū)間內取值的概率第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四檢驗(續(xù))3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值。4、作出決策。若，拒絕，則認為。反之，思路是當樣本個數(shù)充分大時，頻率和概率應當相差不會太大，如果超出某種限度，則假設就會推翻。第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四

皮爾遜檢驗(分布中含有未知參數(shù))1、提出原假設總體的分布函數(shù)未知

某個已知形式的分布函數(shù)，未知參數(shù)

2、計算統(tǒng)計量總體中抽取出一個容量為的樣本第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四在下利用樣本給出的極大似然估計把整個數(shù)軸分成個區(qū)間頻數(shù)，樣本的觀察值落在第個區(qū)間的個數(shù)由計算出總體在各區(qū)間內取值的概率3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值。4、作出決策。若，拒絕皮爾遜檢驗(續(xù))第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四【例2-1】用阿貝比較儀測量某軸承直徑100次，依次測得，的數(shù)據(jù)見下所列，的單位0.1。檢驗是否服從正態(tài)分布。0-511-1017-3-136471-5-6-313-1-1597-39-83-2-24-30-21-242-5-131-7-10-4-707175100-26386-3-3-10052-804226-11527-1120-1910-1792-514-6-5838-94-5-88-84-13-9-10-102132-46-7第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四計算步驟【解】檢驗由于中含有未知參數(shù)，故需先進行參數(shù)估計。在正態(tài)分布下，和的極大似然估計為將取值分成8組，然后計算概率

第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四計算結果頻數(shù)70.10710.75-3.751.31150.16016.01-1.010.06130.13313.37-0.370.0890.0989.87-0.870.08100.0989.870.130160.13313.372.630.52210.16016.014.991.5690.10710.75-1.750.281003.82第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四結論給定顯著性水平，自由度8-2-1=5,由分布表查得臨界值因為所以，接受，故可認為這些測量服從正態(tài)分布組數(shù)未知數(shù)個數(shù)第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四夏皮羅－威爾克檢驗夏皮羅-威爾克檢驗又稱W檢驗時檢驗效果最佳，并且計算簡便。只能用于正態(tài)性檢驗第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四W檢驗的實施步驟從總體中抽取出一個容量為的樣本(1)將樣本的觀測值按由小到大排列成為其次序統(tǒng)計量(2)計算檢驗統(tǒng)計量(3)查表。由夏皮羅-威爾克值表查出，為給定的顯著性水平；(4)判斷。若，則拒絕正態(tài)性假設夏皮羅—威爾克當n為偶數(shù)時取n/2，當n奇數(shù)時取（n—1）/2第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四【例2-2】用夏皮羅-威爾克法檢驗該組數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布。將某量獨立測得結果按從小到大排列成（n=10）108，109，110，110，110，112，112，116，119，124【解】查夏皮羅-威爾克系數(shù)表得出第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四計算結果計算給定顯著性水平，查表得因為，，故拒絕正態(tài)性假設

第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四偏態(tài)系數(shù)檢驗(1)給出備擇假設（正偏）或（負偏）

(2)計算檢驗統(tǒng)計量(3)查表。根據(jù)顯著性水平和樣本容量，由偏態(tài)統(tǒng)計量的分位數(shù)表查出(4)判斷。當備擇假設為時，若，則拒絕正態(tài)性假設；當備擇假設為時，若，則拒絕正態(tài)性假設第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期四【例2-3】有下列一組測量數(shù)據(jù)，確定這批數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布-0.40-1.80-2.140.40-1.400.67-1.40-1.511.40-1.40-1.38-1.401.20-2.14-0.60-2.331.24-0.40-0.32-0.22-1.60-1.40-0.51-0.20-1.40-1.72-1.60-1.20-1.801.20-1.40-0.80-1.72-0.71-1.40-1.20-1.91-0.69-1.60-1.39-2.20-1.40-0.400.40-1.80-1.80-1.600-1.951.20第五十五頁，共六十一頁，編輯于2