第二講隨機變量的定義及分布

第二講隨機變量的定義及分布第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四本章學(xué)習(xí)的目標(biāo)：復(fù)習(xí)概率與隨機變量的理論加深隨機變量函數(shù)的理論（重點）深化一些重要概念的理解加深多維正態(tài)隨機變量的理論增加Matlab的統(tǒng)計分析函數(shù)(自主學(xué)習(xí)）第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.1概率的基本術(shù)語

隨機試驗(RandomExperiment):滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗：(1)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗的結(jié)果不止一個，所有可能的結(jié)果能事先明確；(3)每次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。例：投擲硬幣(Tossacoin)Theoutcomevariesinanunpredictablefashionwhentheexperimentisrepeatedunderthesameconditions.第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四隨機事件(RandomEvent):在隨機試驗中，對試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)、而在大量重復(fù)試驗中卻具有某種規(guī)律性的事情，稱為隨機事件，簡稱為事件。如投擲硬幣出現(xiàn)正面就是一個隨機事件。第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四基本事件(ElementaryEvent):隨機試驗中最簡單的隨機事件稱為基本事件，如投擲骰子出現(xiàn)1、2、.....、6點是基本事件，出現(xiàn)偶數(shù)點是隨機事件，但不是基本事件。(簡單事件SimpleEvent)第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四樣本空間(SampleSpace)隨機試驗的所有基本事件組成的集合稱為樣本空間.Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四關(guān)于樣本空間的注釋：離散的樣本空間Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間由多次子試驗構(gòu)成的樣本空間－－看下例第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedbyE={HTT,THT,TTH}第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四關(guān)于樣本空間的注釋：離散的樣本空間Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間由多次子試驗構(gòu)成的樣本空間可數(shù)無窮的樣本空間S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四頻率和概率(FrequencyandProbability):n次重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA：-事件A的頻數(shù)比值nA/n:-事件A發(fā)生的頻率概率頻率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度，若事件A發(fā)生的可能性大，那么相應(yīng)的頻率也大，反之則較小。第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.2隨機變量的定義(Definitionofarandomvariable)設(shè)隨機試驗E的樣本空間為S={e}，如果對于每一個eS，有一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在S上的單值函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機變量，簡記為X。隨機變量是定義在樣本空間S上的單值函數(shù)1.定義第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根據(jù)隨機變量取值的不同可以分為：連續(xù)型隨機變量(Continuousrandomvariable)離散型隨機變量(Discreterandomvariable)第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四(1)(0,1)分布

隨機變量的可能取值為0和1兩個值，其概率分布為PMF:01第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四(2)Binomial獨立地進(jìn)行n次貝努利試驗，事件A發(fā)生m次的概率剛好是展開的第m+1項的系數(shù)例：雷達(dá)雙門限檢測器第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Example:

Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofX.Findtheprobabilityofoneorfewererrors01011-1-第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Theprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenbytheprobabilityofanerrorpatternthatk1’sandn-k0’sXisabinomialrandomvariable第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例：信息傳輸問題（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}(3)geometricrandomvariable第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四泊松分布(Poissondistribution)例：交通路口在單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.3分布函數(shù)和概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定義第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四右連續(xù)2.分布函數(shù)的性質(zhì)（PropertiesoftheCDF）第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四分布函數(shù)是右連續(xù)的不減函數(shù)，在負(fù)無窮處為零，正無窮處為1。對于連續(xù)型隨機變量，取某一特定值的概率是為零的。即P{X=x}=0第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四對于離散型隨機變量，分布函數(shù)為階梯函數(shù)，階梯的跳變點出現(xiàn)在隨機變量的取值點上，跳變的高度為隨機變量取該值的概率。第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四對于離散型隨機變量，PMF與CDF的關(guān)系為○第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四概率密度隨機變量落入(x1,x2)的概率

第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四對于離散型隨機變量，它的概率密度函數(shù)是一串函數(shù)之和，函數(shù)出現(xiàn)在隨機變量的取值點，強度為取該值的概率。第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四3.常見概率分布正態(tài)分布（Normal），也稱高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正態(tài)分布概率密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四指數(shù)（Exponential）分布指數(shù)分布概率密度0123456700.511.5第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四對數(shù)正態(tài)分布（LogNormal）高分辨率雷達(dá)雜波分布01234567891000.10.20.30.40.5對數(shù)正態(tài)分布概率密度為尺度參數(shù)為形狀參數(shù)第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.4多維隨機變量及其分布MultipleRandomVariablesandDistributions1.定義S●●e第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四2.二維分布函數(shù)和概率密度BivariateCDFandPDF二維分布函數(shù)圖解定義：第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四二維分布函數(shù)性質(zhì)：邊緣（Marginal）分布由二維分布函數(shù)可以求出一維分布函數(shù)第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四二維概率密度：由二維概率密度可以求出邊緣概率密度第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四隨機變量落在某個區(qū)域的概率第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四3.條件分布(ConditionalDistribution)條件分布函數(shù)條件概率密度稱隨機變量X、Y獨立第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Example:CommunicationChannelwithDiscreteInputandContinuousOutputnoisevoltageN~U(-2,2)通信信道X:+1or-1FindP{X=+1,Y≤0}Y第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Solution:1/2WhentheinputX=1,theoutputYisuniformlydistributedintheintervalTherefore第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.5隨機變量的數(shù)字特征均值方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣舉例第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.均值（Mean)算術(shù)平均：所有可能取值等概率加權(quán)統(tǒng)計平均值：所有可能取值按概率加權(quán)連續(xù)型隨機變量：離散型隨機變量：第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)：如果X和Y相互獨立，如果E[XY]=0，則稱X和Y正交(Orthogonal)。第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四2.方差(Variance)方差反映了隨機變量X的取值偏離其均值的偏離程度或分散程度，D(X)越大，則X的取值越分散。第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)：如果X1,X2,...,Xn相互獨立。第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Varianceisanonlinearoperator第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)(CovarianceandCorrelationcoefficient)如果X和Y相互獨立，則rXY=0，|rXY|=1的充要條件是P{Y=aX+b}=1第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四wedefineXandYtobeuncorrelatedIf,IfXandYareindependent,thenXandYareuncorrelated.XandYareindependentXandYareuncorrelatedTrueFalse第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四ThecorrelationcoefficientprovidesameasureofhowgoodapredictionofthevalueofoneofthetwoRVscanbeformedbasedonanobservedvalueoftheother.1indicatesahighdegreeoflinearbetweenXandY+1meansb>0and-1meansb<0第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Independent:UncorrelatedOrthogonal:第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四不相關(guān)就認(rèn)為X與Y沒有關(guān)系嗎？例：為零均值正態(tài)隨機變量，Y與X相關(guān)嗎？Y是依賴于X的(Dependence)，但Y與X不相關(guān)(Uncorrelated),線性不相關(guān)的。第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四Independentimplieszerocovariancebutzerocovariancedoesnotimplyindependence.Example:UncorrelatedbutdependentrandomvariablesLetbeuniformlydistributedintheinterval(0,2)。LetXandYareuncorrelatedbutdependent第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四注意英文單詞的區(qū)別:Correlation(Uncorrelated)Dependent（Independent)Itcanbeshownthat第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四4.協(xié)方差矩陣（CovarianceMatrix）多維隨機變量通常用協(xié)方差矩陣來描述隨機變量之間的相互關(guān)系。第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四協(xié)方差矩陣是對稱（共軛對稱）的；如果變量之間是不相關(guān)的，則K是一個對角陣。第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例1:(0,1)分布隨機變量，P{X=1}=p,P{X=0}=q=1-p,求X的均值和方差5.ExpectedvalueofsomeimportantrandomvariableE[X]=1·P{X=1}+0·P{X=0}=pE[X2]=12·P{X=1}+02·P{X=0}=pD(X)=E(X2)-(E[X])2=p-p2=pq解:第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例2(a,b)上均勻分布的隨機變量，求均值和方差

第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例3求瑞利分布隨機變量的均值和方差。第六十一頁，共六十九頁，編輯于2