2023屆高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷三十一(含參考答案)

2023屆高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷三H■"一（含參考答案）

一、選擇題：（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.本大

題共10小題,每小題5分，共50分.）

a1+z

1.為虛數(shù)單位，若n=工，則a的值為

A.iB.~iC.-2iD.2i

x>1,

2.已知變量滿足,y?2,則x+y的最小值是

x-y<0.

A.2B.3C.4D.5

3.已知集合A={x\a-2<x<a+2],5={xlx<-2或x>4},則AcB=0的充要條件

是

A.0<a<2B.-2<a<2c,0<a<2D.0<a<2

4.為了得到函數(shù)y=sin（2x-￡）的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象

6

7T

A.向右平移三個單位長度B.向右平移2個單位長度

6

C.向左平移三個單位長度D.向左平移二個單位長度

63

5.設(shè)向量2=(cos55°,sin55°),5=(cos25°,sin25°),若f是實(shí)數(shù)，則IZT引的最小值為

C.1D.>/2

6.已知函數(shù)/（丫）是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖像關(guān)于直線x=l對稱,若函數(shù)

〃x)=4(0<x3,則/(-5.5)

.72

A.B.1.5C?------

22

7.一個棱長為2的正方體沿其棱的中點(diǎn)截去部分后所得幾何體的

三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

224723正（i>R《左）@

A.7B.—C'~6D.—

33

8.已知cos[a-[J+sina=1#,則sinfa+7吟

的值是

202^/344

A.—B.—^―C'"5D.

555

9.設(shè)函數(shù)/(x)=Jax+"+《a<0旃定義域?yàn)?。，若所有點(diǎn)(s,/?))(s代。狗成一

個正方形區(qū)域，則。的值為

A.-2B.-4C.一8D,不能確定

10.在A48C中，E,尸分別為AB,AC中點(diǎn)，尸為EF上任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)了，卜滿足

S

PA+xPB+yPC=0,設(shè)\ABC,APCA,APAB的面積分別為S,S,S,記?=',

}=則九??九,取得最大值時，2x+3)，的值為

5533

A.——B.—C.——D.—

2222

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.

11.由曲線￥=m所圍成圖形的面積是。

12.設(shè)向量。=(1,2),5=(x,l),c=a+2b,d=2a-b(ke/?),若Z〃Z,則才=

13.曲線y=幻-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為.

14若/Q)=log”(X2+log”J對任意xe(0,g)恒意義，則實(shí)數(shù)a的范圍

15..關(guān)于函數(shù)/(x)=cos2x-2/sinxcosx,下列命題：

①、若存在x,x有x-x=兀時，/(x)=/(x)成立；

121212

②、/(X)在區(qū)間-：，：上是單調(diào)遞增；

_o3_

③、函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,o1成中心對稱圖像；

④、將函數(shù)/Q)的圖像向左平移言個單位后將與y=2sin2x的圖像重合.其中正確的

命題序號(注：把你認(rèn)為正確的序號都填上)

三、解答題：本大題共6小題，共80分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟

16.(本小題滿分13分)已知向量團(tuán)=[2j3sin；,2.=卜os*cos2力.

--I71

(I)若加?〃=2,求cotx+至的值;

(II)記/(x)=ni-n,在A48C中，角A、B、C的對邊分別是“,4c,且滿足

(2a-c)cosB=/?cosC,求/(A)的取值范圍。

17.(本小題滿分13分)已知直三棱柱A8C-中，△A8C為等腰直角三角形,

NBAC=90。，且A8=44,D、E、尸和鼠舄8A、CC、8c的中點(diǎn).

(I)求證：OE〃平面ABC；

(II)求證：8尸，平面月后產(chǎn)；

(III)求二面鬲3-AE-F的余弦值.

1

18.(本小題滿分13分)已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千

件該產(chǎn)品需另投入2.7萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件并全部銷售完，每千件的銷

10.8-—X2,(0<X<10)

30

售收入為R(x)萬元，且砥x)=?1081000

——---.(x>10)

,x3x2

(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；

(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一產(chǎn)品的產(chǎn)銷過程中所獲得的年利潤最大？

若不存在，說明理由.

20.(本小題滿分14分)已知函數(shù)/(x)滿足2/(x+2”/(x>=。當(dāng)xe(0,2)時,

f(x)=Inx+ax<一;，當(dāng)xeG4,-2)時，/(x)的最大值為4

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(II)設(shè)bwO,函數(shù)g(x)="x3-bx,xeG,2).若對任意的xeG,2),總存在xe(l,2),

使〃x)-g(x)=0,求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

12

21.本題有(1)、(2)、(3)三個選答題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分.如

果多做，則按所做的前兩題記分.

(1)選修4—2：矩陣與變換.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=在矩陣；:對應(yīng)的

變換下得到的直線過點(diǎn)尸(41),求實(shí)數(shù)k的值.

⑵選修J4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓p=asinO(a>0)與直線

pcosl+4'l相切，求實(shí)數(shù)a的值.

(3)選修4—5：不等式選講

已知正數(shù)a,b,c滿足"c=l,求證：(a+2)(b+2)(c+2)227.

參考答案

一、填空題

題號12345678910

答案CAABBCDCBB

二、填空題

11.?12.-13.2x-y+l=014.(,1)15.①③

32716T

三、解答題

16.(1)m*n=2J3sincos"+2cos2—=J3sin'4-cos+1

44422

.x九、?

=2sin(z—+—)+1.

26

.ZX71x1

m?n=2,/.sin(—+—)=—.......4分

262

/兀、t.,x兀、1

cos(x+—)=l-2sin2(—+—)=一..............6分

3262

(2)*/(2a-c)cosB=bcosC,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

2sinAcosB-sinCcosB=sin3cosc

.?.2sinAcosB=sin(B+C)?/A+B+C=71

.171

sin(3+C)=sinA,且sinA。0/.cosB=,B=-.8分

八，2兀nAnn1.,A兀*,

0<A<--<sin(—+—)<1..............10分

36262226

又(x)=m?n=2sin(—+--)+1,；.f(A)=2sin(—+—)+1

2626

故f(A)的取值范圍是(2,3)..............13分

17.解：方法1：如圖建立空間直角坐標(biāo)系0—xyz,令A(yù)B=AA]

=4,

則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),

B1(4,0,4),D(2,0,2),..............(2分)

—>—>

(I)DE=(-2,4,0),面ABC的法向量為04=(0,0,4),

1

-—

VDEOA=0,DEu平面ABC,

；.DE〃平面ABC...............(4分)

—>—>

(H)BF=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2)

—>1—)

BF?EF=(-2)X2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0

BF'AF=（-2）X2+2X2+（-4）X0=0........（6分）

：.BF±AF,：.BFLAF

；AFCFE=F,：.BFL平面4所.....（8分）

1f

(III)平面AEF的法向量為巧尸=(一2,2,-4),設(shè)平面B￡E的法向量為

-?

-?AE=02y+z=0

n-（x,y,即........（10分）

—〉x+z=0

BA=0

i

令x2,則Z=-2,y=L/.n=（2,1,-2

—>—）_n?BF_6_J6

cos<nF

Il?lBFI四*陰6

二面角B—AE—F的余弦值為亞........（13分）

6

18.

解：（I）當(dāng)時，=+蘇-10,……;：（3分）

當(dāng)x>l。時，^=rB（x）-（10+2.7r）=98---2.73C...................（6分）

.,.砂=1州........................................（X分）

(H)①當(dāng)?！磫。時，由￡'71-二=0,"/=9.

1C

當(dāng)X€(0,9)時,曠>0：當(dāng)丫1」：二，即'<0,

.,.當(dāng)x=9時，部取得暖大值即咚=?：x9-J_xC_10=386.……(11分)

j3r

②^x>10時，W=i98-2j--x2?x=38.

I3r)\3x

當(dāng)且僅當(dāng)咽=2.7X,即1=四時，際取得最大值33.……(14分)

3x9.

綜合①②知：當(dāng)x=9時，W取得最大值為38.6萬元，

故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一產(chǎn)品的產(chǎn)銷過程中所獲的年利潤最大.

19.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),々(0,0,、口),8(1,0,0)D(0,/?,0),￡(1,^,0)

(1).??/4次|為二面角人「￡口一人的平面角.

：.AE1ED,AE1EDAEfW=E,：.ED1面AAE

?/EDu面A平面AED1平面AAE4分

111

(2)AE=(1弓,-J2),麗=(T,g,O),而=(1,^,0)

???ZAEA為二面角A-ED-A的平面角.AE1ED,即荏?詼=0

11

：.m=2,取AD中點(diǎn)E則f(0,1,0)

EA==(-1,0,0),cos<EA,EF>=一絲」叱=1

12

1H-p|

所以產(chǎn)=6。。，即異面直線AFCD所成的角為60。8分

(3)依題意AM=X-M.,.M(0,2X,,0)

假設(shè)存在九滿足題設(shè)條件，則MG-B4=0且加6-￡。=0

1

1LJ2

_].-4-(-1).(1-2X)+、M?2—=0

、1

即]33-13分

?五

—1,—F1?(1-2九)+0,§-=0

20.(I)由已知，得2/(x+2)=/(x),

/(x)=2f(x+2)=4/(x+4)................4分?.?xw6,2)時，/(x)=lnx+ax,

設(shè)無￡(一4,一2),則x+4￡6,2),/(x+4)=ln(x+4)+a(x+4),

/.xGC-4,一2)時，f(x)=4/(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4),

所以/'(x)=------4-4?>0,vxe(-4,-2),/.-4ax<4+16a,

x+4

11,1,414c

a<,/.%<---4.又由一一,可得一4<一一一4<一2,

2a2a

???/(%)在(一4,一，-4]上是增函數(shù)，在(一，一4,一2)上是減函數(shù)，

ka)a

：./(x)=/(---4)=41n(-1)+4a-(-1)=-4.6?=-1...........7

max。aa

(ID設(shè)/(九)的值域?yàn)锳,g(x)的值域?yàn)锽,則由己知，對于任意的七￡(1，2),總存在

x€(1,2),使/(%)—g(x)=0得，A^B.............................9分

212

]1—X

由(I)?=-1,當(dāng)工￡(1,2)時,/(x)=lnx-x,/'(x)=--l=-

xx

Vxe(1,2),/.r(x)<0,/(x)在xe(1,2)上單調(diào)遞減函數(shù)，

/(x)的值域?yàn)锳=(In2-2,-1)..............10'：g\x)=bx2-b=b{x-l)(x+1),

22

/.(1)當(dāng)6<0時，g(x)在(1,2)上是減函數(shù)，此時，g(x)的值域?yàn)?=(至6,-可6),

223

為滿足Aq8,又一―/?20>—1..，.一b4In2—2.即Z?<-In2—3...........