2023屆金太陽山西高三聯(lián)考數(shù)學試題含答案

2023屆金太陽山西高三聯(lián)考數(shù)學試題

6.已知0VaV2,則上+U-的最小值是

高三數(shù)學試題a4-a

A.4B.6C.8D.16

7.在某次數(shù)學考試中，學生成績X服從正態(tài)分布(100,，).若X在(85,115)內(nèi)的概率是0.5,則

考生注意：從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第D卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時間120分許.A.符R9C-TD.^

■0404410

2.請將各題答案填寫在答題卡上；

3.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用迂輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)與解三角8.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征,象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇

形、平面向量與復數(shù)占70%,其他內(nèi)容占30%.尚的圖騰.如圖.AB是圓O的一條直徑，且|AB|=4.C.D是圓O上的任意兩點，|CD|=2,

點P在線段CD上，則FA-軸的取值范圍是

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A={H|2-H>3},B={H|d-9V0},JMAnB=

A.{x|-3<r<l}R(x|-3<x<-l>C.{x|-l<r<3}D.(x|l<i<3)

2.已知復數(shù)z滿足z(2+i)=l+3i,則z=

A.l+ia—|+iC.-|-+|iD.-y+j-iA.[6,2]R[-1,0]C.[3,4]D.E1,2]

9,《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉麻在鱉腐PABC中，PAJ_平面

3.青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花

ABC,AB=BC=2PA=4,則鱉膈PABC外接球的表面積是

瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速注水，則水的高度y與時間工的函數(shù)圖象大致是

A.36KB.72KC.144nD.2887r

10.已知函數(shù)f(z)=、)八若關(guān)于工的方程[/(外了-af(z)+2=0有4個不同的實

lln(—x)?x<0,

根,則a的取值范圍是

A.[2,4]R(272,4]Q[2,3]D.(2慮',31

11.已知函數(shù)八外=如(3：+套)+6W1(此一看)(3>0)在區(qū)間[>>音]上單調(diào),且當工1一工2

01<O0O

=今時，I/(X!)S)|,則3=

A2B.4Q6D.8

12.已知a=5—81n2,6=4—41n3,c=e+—4,則

h.b>c>aRc>b>aCb>a>cD.a>b>c

4.“m>0”是“方程q+￡=1表示橢圓”的

第II卷?

A.充分不必要條件B.必要不充分條件二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

C.充要條件D.既不充分也不必要條件13.已知向量。=(m,2),b=(LD,若(a+b)_Lb,則m=▲.

5.巳知tan（a+子）=3.則?sin（a+7r）+8s（7c—a）_14.已知圓C的圓心C在直線y=]上，且與直線y=2z+l相切,則圓C的方程是▲.

4

(寫出一個即可)

A_±15設(shè).等差數(shù)列{%},仍力的前"項和分別是S“，設(shè)，且,=部，則守.

Z3Q-3,D.3

【高三數(shù)學第1頁(共4頁)】?23-28C?【高三數(shù)學第2頁(共4頁”?23-28C?

16.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,&,c,且/tanA=aZtanB,點D是線段BC的20.（12分）

中點，若AD=5,則△回，面積的最大值是▲.據(jù)國家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣.漫漫暑期,空調(diào)成了很好的降溫工具，

三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.而物體的降溫遵循牛頓冷卻定律.如果某物體的初始溫度為了。，那么經(jīng)過t分鐘后，溫度T

17.（10分）

滿足=）,其中T.為室溫溫為半衰期.為模擬觀察空調(diào)的降溫效果，

在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,6,c,且asinBcosA+V36（cos2A_1）=0.

小明把一杯75t的茶水放在25t的房間，10分鐘后茶水降溫至50（參考數(shù)據(jù):lgX

（D求角A的大小；

0.30,1g3ao.48）

（2）若a=2,求—c的最大值.

（1）若欲將這杯茶水繼續(xù)降溫至35七,大約還需要多少分鐘？（保留整數(shù)）

（2）為適應市場需求,2022年某企業(yè)擴大了某型號的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200

（4X2+6Qr?0<Cr<C40,

萬元,每生產(chǎn)Z千臺空調(diào),需另投入成本/包〉萬元，且人工）=130]/+遜—3700]240已

知每臺空調(diào)售價3000元,且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完.問2022年該企業(yè)該型號的變頻空調(diào)的

18.（12分）總產(chǎn)量為多少千臺時，獲利最大？并求出最大利潤.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形,PA=PC.

（1）證明:平面PBDJ_平面ABCD.

（2）若/ABC=60",PB=PD=AB,E是棱PD的中點，求平面PAB與平面ACE夾角的余

弦值.

2-

21.（12分）

已知雙曲線C：￡-￡=l（a>0,b>0）的離心率是'后，點F是雙曲線C的一個焦點，且點F王

到雙曲線C的一條漸近線的距離是2.L相M

（1）求雙曲線C的標準方程.

19.（12分）（2）設(shè)點M在直線工=/上，過點M作兩條直線44,直線4與雙曲線C交于A,B兩點，直線端

已知函數(shù)/（GuAsinUr+pMAXhsXhOC/CK）的部分圖象如圖所示.

4與雙曲線C交于D,E兩點.若直線AB與直線DE的傾斜角互補，證明:皖

（1）求/Cr）的解析式；圖

⑵若函數(shù)g（H）=f（H）-2f（工一點）,對任意的工6]一僉,}]，8（工）一a>0恒成立，求a的

取值范圍.

22.（12分）

已知函數(shù)fCr）=aei-lnx.

（D若z=l是八外的極值點，求fCr）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于x的方程八幻=l+lna恰有一個解，求a的取值范圍.

【高三數(shù)學第3頁（共4頁）】?23-28C?【高三數(shù)學第4頁（共4頁）】?23-28C?

高三數(shù)學試題參考答案

1.B由題意可得A=},B={/-3＜工＜3},則Ap|B={工|一3＜了＜一1}.

2A由題意可得z=l+3i=（l+3i）（2—i）=5+5i=i+i

"出越息“尋z2+i（2+i）（2—i）5

3.C由圖可知該青花瓷上、下細，中間粗.則在勻速注水的過程中，水的高度先一直增高,且開始時水的高度增

高的速度越來越慢.到達瓷瓶最粗處之后，水的高度增高的速度越來越快,直到注滿水，結(jié)合選項所給圖象.C

選項符合.

=1表示橢圓，得心0且〃諸4,則是“方程＜+《=1表示橢圓”的必要不充分條件.

4.B

由方程＜+4

tan1貝1J5in(a+7T)+cos(7t-a)~~sina~~cosa_tanaH

5.V)因為tan（a+寧)=3,所以

1tanacos(a--^)+sin(竽-a)sina-cosa1-tana'

6.C因為04V2,所嗎＞0,上＞0,所吟+/=+[&+(2-a)[~+/)=十(亍+旦』

10）**X（6+10）=8,當且僅當寧=生，即a=g?時，等號成立.

7.A由題意可知從參加這次考試的學生中任意選取1名學生，其成績不低于85的概率是等.則從參加這次

考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是C|（4）2X^=^.

44b4

8.B如圖,O為圓心，連接OP,則席?瓦=（五）+3）?（而+次）=網(wǎng)＞一/2=網(wǎng)＞一4.因為點P在線

段CD上，所以內(nèi)&|仍IW2,所以3W?5方《4,則一1W和一4&0,即席?林的取值范圍是[-1,0].

9.A由題意可知AB±BC.如圖.將鱉H需PA8C補全成長方體，則鱉臊PABC外接球的半徑R

「量"'=3,故鱉（I需PABC外接球的表面積為4班并=367r.

10.D如圖，畫出y=/（外的圖象.設(shè)/（?=，,結(jié)合函數(shù)/⑺的圖象可知，當或，＞2時,八了）=/有且僅

【高三數(shù)學?參考答案第1頁（共6頁）】?23-28C-

有1個實根；當時,/（外=，有2個實根.則關(guān)于上的方程［/（上）了一°/（乃+2=0有4個不同的實

解得24＜a《3.

11.A/(j-)=sin(aki-+-^-)—I/3COS(<OJ'+-^-)=2sin(o?j,-^-)(<o>0).因為I/(4)一)I>4,所以4—4

=甘+江甘（&ez）,則T=而uez）,從而k4&+2aez）.因為必惜,契所以皿若e

3支兀、人冗

{弘一！■沁“F

hi6Z,解得6瓦-

367r十2'

16瓦-2&3跖+2,A

3囪+2（瓦6Z）.因為《所以一母《南&上因為在Z,所以3=0或刈=1,所以-

【3①十2〉0,，J

2或4W卬45.因為0=4A+2（￡GZ）,所以3=2.

12.A設(shè)函數(shù)/（外=亡-41+1,則/⑺=d一4.由/（7）＞0,得彳＞ln4;由/（才）V0,得2vIn4.則/（不）

在（一8,In4）上單調(diào)遞減，在（In4,+8）上單調(diào)遞增.設(shè)g（.r）=ln/—i+l.則g'（i）=-?—1=匕］由

/Gr）＞0,得0V/V1;由/（1）＜0,得］＞1.所以g（i）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，所以

g（力Qg（l）=O,即In1《①一1,則111~|^卷一1,故In3^-|-＜C-j-.因為In工&才一1,所以In十＜十一1,

所以lnxA—《（當且僅當x=l時,等號成立），所以歷?＞1-5■，即In4＞2—方＞*因為a=

/（In4）,b=f（ln3）,c=f+，所以b＞c＞a.

4

13.-4由題意可得a+b=（〃2+l,3）,則〃?+1+3=0,解得〃?=一4.

14.j2+;/=，■（答案不唯一）設(shè)圓心C（a,a）,則半徑r=上空U，故圓C的方程為（/—a）?十（y一0尸=

JJ5

154由等差數(shù)列的性質(zhì)可知―2a一則*=貧=鈴=爺芋/

【高三數(shù)學?參考答案第2頁（共6頁）】?23-28C?

2

16.-v因為〃tanA=atanB.所以sm-Bsi;A=sirrAs.B.所以BcosB=sinAcos八，所以sin2A=

3cosAcosD

sin2B,所以2A=2B或2A+2B=g即A=B或A+B=勺.當A+B=￡■時,因為AD=5,所以C^+AC2

=25,所以CD?AC&苧.則△ABC的面積為十?2CD?AC&苧；當A=B時，則AC=BC.設(shè)CD=”,,則

AC=2m.在△ACD中，由余弦定理可得cosC=⑵*霽-'j;25,則$山C=Jl-(^*)2=

，_9,弋鬻病工,故△ABC的面積S=十"sinC=1X4*X4川譚川淳=

■1J一(34一號產(chǎn)+吟耍當且僅當蘇=號時，等號成立.綜上,△ABC面積的最大值是挈

17.解：(1)因為asinBcosA+-/3Z＞(cos?A—1)=0,所以加inAcosA+736(cos?A-1)=0,

所以sinAcosA+焉'(cosZA-lXO,所以樂沁2A+亨cos2A-y=0,

所以sin(2A+-^")=§....................................................................3分

因為0cAe"，所以青＜24++＜牛，所以2八+^=學.解得A=等..........................5分

(2)因為4=2*=管,所以《二1=4.........................................................6分

由正弦定理可得*5=^^=14=4,則〃=4sinB,c=4sinC................................7分

sinDsinCsinA

因為A+B+C=7t.所以B+C=￥，所以C=￥-B,

bb

所以伍6一0=4總$五B-4sin(誓一B)=2乃sinB—2cosB=4sin(B—5-).......................9分

oo

當8一寄=手，即8=用時,4sin(B—f)取得最大值4,

即向4一＜、的最大值為4....................................................................10分

18.(1)證明：記ACp|BD=O,則()為AC,BD的中點，連接()P.

因為四邊形ABCD是菱形，所以AC±I3D.....................................................1分

因為PA=PC,O為AC的中點，所以O(shè)P±AC.................................................2分

因為BD,OPU平面PBD,且BDnOP=O,所以AC_L平面PBD................................3分

因為ACU平面ABCD,所以平面PBD_L平面ABCD...........................................4分

(2)解：因為PB=PD,O為BD的中點，所以O(shè)P_LBD

因為AC,BDU平面ABCD,所以O(shè)P_L平面ABCD,貝ij以O(shè)為原點,分別以求，曲./的方向為x,y,z軸

的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O一

設(shè)AB=2.則A(-l,0,0),B(0,一宿,0),C(l,0,0),E(0,§，+),P(0,0,l),

【高三數(shù)學?參考答案第3頁(共6頁)】?23-28C-

故麓=（1,一煦,0）.普=（1,0.1）,充=（2,0,0）,處=（1,亨,得）..........................6分

設(shè)平面PAB的法向量〃=（力，v,0），

|n?AB=JTI一網(wǎng)"=0,

則〈令力=用,得〃=（乃，1,一百）...................................8分

I〃?AP=JCI+之】=0,

設(shè)平面ACE的法向量加=（個，北，也）,

nt,AC=2.z*2=°，

則y31令義=1，得加=（0，1，一店）..............................10分

m?漁=由+今2+三之2=°，

設(shè)平面PAB與平面ACE的夾角為心

19.解：（1）由圖可知丁=2（普一手）=久,則3=2............................................................................................1分

06

因為/（工）的圖象經(jīng)過點吟,0）,所以Asin（2X湊+6=0,所以與+*=4n（Aez）,

所以中=左女一爭（4eZ）.因為0＜然一.所以中=+..........................................3分

因為的圖象經(jīng)過點（0,點），所以Asin^=VJ，所以A=2................................................................4分

故/(i)=2sin(2i+號)................................................................5分

(2)由(1)可知f(x—^-)=2sin2xi

貝I]g(?r)=2sin(2.:r+號)-4sin2N=-3sin2^+/3cos2J?=-25/3sin(2x—...................................7分

因為一居，所以一~引《21—~所以一§Wsin(2z—&&1,...........................................9分

1ZZ3obZb

所以一2點&—26sin（2、r—即g（i）的值域為[―2伍,3]........................................................10分

因為對任意的我[一金，號_],g（%）一恒成立，所以a&—加氏.........................12分

【高三數(shù)學?參考答案第4頁（共6頁）】?23-28C?

20.解:⑴由題意可得50—25=，)￥x(75—25),解得仁10....................................................................2分

設(shè)經(jīng)過，分鐘，這杯茶水降溫至35七,則35—25=(4■亦X(50—25),.......................................................3分

解得，=101ogz5-10=10Xaogzl0-2)=10X(表-2)*13(分鐘)..........................5分

故欲將這杯茶水降溫至35℃,大約還需要13分鐘..........................................6分

(2)設(shè)2022年該企業(yè)該型號的變頻空調(diào)的利潤為W(.r),

當0<CrV40時,=300支-200——6(Xr=-4(1—30)2+3400,.......................................................7分

當1=30時,W(i)取得最大值3400萬元；.................................................8分

當工》40時,W(￡)=3OOH-2OO-3O1工一碧色4-3700=3500—(1+呼.....................9分

因為.r+—>2J麗=120,當且僅當了=60時，等號成立，

則當1=60時,WCr)取得最大值3380萬元..............................................11分

因為3400>3380,所以當該企業(yè)該型號的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺時，獲利最大，最大利潤為3400萬元.

...............................................................................................................................................................................12分

工=卮

a(a=l,

21.(1)解：由題意可得、/_9解得4......................................................................................................3分

I、U=2.

故雙曲線C的標準方程為才Z—1=1...............................................................................................................4分

⑵證明：由題意可知直線Zi的斜率存在，設(shè),/),直線:尸鼠才一十)十/,A5小)，85.3-2).

卜=A(H—

聯(lián)立1整理得(后一4)/+⑵L+二)了+強彥—^kt+t2+4=0,

MA，

2kt—~\a^2—，山+於+4

則力+彳2=~^2—4，力及=---------------........................................6分

故|MA|?|MB|=(/+1)|力--1|j-2--1|=(公+1)|412--力+4)十焉［=(■

4441b4|々--41

.................................................................