2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)全國1卷試題及參考答案

2018

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試及答案理科數(shù)學(xué)注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上?；卮疬x擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共

12

小題，每小題

5

分，共

60

分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1

i1．設(shè)

z

1

i

2i

，則|

z

|A．

01B．2C．1D．22．已知集合2A

xx

x

2

0，則Re

AA．

x1

x

2C．x|x

1x|x

2B．

x1

x

2D．x|x

1x|x

23．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半4．記

Sn為等差數(shù)列an

的前

n

項和.若3S3

S2

S4

，

a1

2

，則

a5

A．

12

B．

10

C．10D．125．設(shè)函數(shù)

f

(x)

x3

(a

1)x2

ax

.若

f

(x)

為奇函數(shù)，則曲線

y

f

(x)

在點(0,

0)

處的切線方程為B．

y

xC．

y

2xA．

y

2xD．

y

xA．4AB

AC4 4B． AB

AC4 4C．

AB

AC46．在△ABC

中，

AD

為

BC

邊上的中線，

E

為

AD

的中點，則

EB

3

1

1

3

3

1

D．4AB

AC41

3

7．某圓柱的高為

2，底面周長為

16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點

M

在正視圖上的對應(yīng)點為

A

，圓柱表面上的點

N

在左視圖上的對應(yīng)點為

B

，則在此圓柱側(cè)面上，從

M

到

N的路徑中，最短路徑的長度為A．2175B．

2C．3D．2238．設(shè)拋物線

C：y2=4x

的焦點為

F，過點（–2，0）且斜率為 的直線與

C

交于

M，N

兩點，則

FM

FN=A．5B．6C．7D．89．已知函數(shù)

f

(x)

ex，x

0，lnx，x

0g(x)

f

(x)

x

a

．若

g（x）存在

2

個零點，則

a

的取值范圍是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）10．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形

ABC

的斜邊

BC，直角邊

AB，AC．

△ABC

的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為

p1，p2，p3，則A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．已知雙曲線

C：23x2

y

1

，O

為坐標原點，F(xiàn)

為

C的右焦點，過

F

的直線與

C的兩條漸近線的交點分別為

M、N.若△OMN

為直角三角形，則|MN|=A．

3 B．3 C．2

32D．412．已知正方體的棱長為

1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A．3

3B．

234 3C．

324D．32二、填空題：本題共

4

小題，每小題

5

分，共

20

分。x

2

y

2

0

y013．若

x

，

y

滿足約束條件x

y

1

0 ，則

z

3x

2

y

的最大值為

．記

Sn

為數(shù)列an

的前

n

項和.若

Sn

2an

1

，則

S6

．從

2

位女生，4

位男生中選

3人參加科技比賽，且至少有

1位女生入選，則不同的選法共有

種．（用數(shù)字填寫答案）已知函數(shù)

f

x

2sin

x

sin

2x

，則

f

x

的最小值是

．三、解答題：共

70

分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第

17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第

22、23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60

分。17．（12

分）在平面四邊形

ABCD

中，

ADC

90

，

A

45

，

AB

2

，

BD

5

.求cosADB

；若

DC

2

2

，求

BC

.18．（12

分）如圖，四邊形

ABCD

為正方形，E,

F

分別為

AD,

BC

的中點，以

DF

為折痕把△DFC折起，使點C

到達點

P

的位置，且

PF

BF

.證明：平面

PEF

平面

ABFD

；求

DP

與平面

ABFD

所成角的正弦值.219．（12

分）x2設(shè)橢圓C

:

y

1

的右焦點為

F

，過

F

的直線l

與C

交于

A,

B

兩點，點

M

的坐標2為(2,

0)

.當l

與

x

軸垂直時，求直線

AM

的方程；設(shè)O

為坐標原點，證明：

OMA

OMB

.20．（12

分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱

200

件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取

20

件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

p

1)

，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．學(xué)科&網(wǎng)（1）記

20

件產(chǎn)品中恰有

2

件不合格品的概率為

f

(

p)

,求

f

(

p)

的最大值點

p0

．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了

20件，結(jié)果恰有

2

件不合格品，以（1）中確定的

p0

作為

p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為

2

元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付

25

元的賠償費用．若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為

X

，求

EX;以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？21．（12

分）已知函數(shù)

f

(x)

1

x

a

ln

x

．x（1）討論

f

(x)

的單調(diào)性；1 21 2x

x（2）若

f

(x)

存在兩個極值點

x

,

x

，證明：

f

x1

f

x2

a

2

．（二）選考題：共

10

分。請考生在第

22、23

題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修

4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10

分）在直角坐標系

xOy

中，曲線C1

的方程為

y

k|x|

2

.以坐標原點為極點，

x

軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2

的極坐標方程為

2cos

3

0

.2求C2

的直角坐標方程；若C1

與C2

有且僅有三個公共點，求C1

的方程.23．[選修

4—5：不等式選講]（10

分）已知

f

(x)

|

x

1|

|

ax

1|

.當

a

1

時，求不等式

f

(x)

1

的解集；若

x

(0,1)

時不等式

f

(x)

x

成立，求

a

的取值范圍.參考答案：123456789101112CBABDABDCABA13.614.

6315.16 16.

3

3217.（12

分）解：（1）在△ABD

中，由正弦定理得BD ABsin

A sin

ADB.由題設(shè)知，5 2sin

45 sin

ADB5，所以sin

ADB

2

.25

5由題設(shè)知，

ADB

90

，所以cosADB

1

2

23.5（2）由題設(shè)及（1）知，

cos

BDC

sin

ADB

2

.在△BCD

中，由余弦定理得BC

2

BD2

DC

2

2

BD

DC

cos

BDC25

25

8

2

5

2

2

25

.所以

BC

5

.18.（12

分）解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以

BF⊥平面

PEF.又

BF

平面

ABFD，所以平面

PEF⊥平面

ABFD.（2）作

PH⊥EF，垂足為

H.由（1）得，PH⊥平面

ABFD.以

H

為坐標原點，

HF

的方向為

y軸正方向，|

BF

|

為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系

H?xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又

DP=2，DE=1，所以

PE=3

.又

PF=1，EF=2，故

PE⊥PF.可得

PH

3,EH

3

.2 23 32 2 2 23 3 則

H

(0,

0,

0),

P(0,

0, ),

D(1,

,

0),DP

(1, ,),

HP

3

(0,

0, )

為平面2ABFD

的法向量.3343HP

DP

設(shè)

DP

與平面

ABFD所成角為，則sin|

||

HP

||

DP

|

.434所以

DP

與平面

ABFD

所成角的正弦值為

.19.（12

分）解：（1）由已知得

F

(1,

0)

，l

的方程為

x=1.22由已知可得，點

A

的坐標為(1, 2

)

或(1,

2

)

.所以

AM

的方程為

y

2

x

2或

y

2

x

2

.2 2（2）當

l與

x

軸重合時，

OMA

OMB

0

.當

l與

x

軸垂直時，OM為

AB

的垂直平分線，所以O(shè)MA

OMB

.當

l與

x

軸不重合也不垂直時，設(shè)

l的方程為

y

k

(x

1)(k

0)

，A(x1,

y1

),

B(

x2

,

y2

)

，則

x1

2,x2

1 2MA

MBy1 y22

，直線

MA，MB

的斜率之和為

k

k

x

2 x

2

.由y1

kx1

k,y2

kx2

k

得MA

MBk

k(x1

2)(x2

2)

2kx1

x2

3k

(x1

x2

)

4k

.22x2將

y

k

(x

1)

代入

y

1

得(2k

2

1)x2

4k

2

x

2k

2

2

0

.4k

2 2k2

2所以，

x1

x2

2k

2

1

,

x1

x2

2k

2

1

.4k

3

4k

12k

3

8k

3

4k則2kx1x2

3k(x1

x2

)

4k

2k2

1

0

.從而

kMA

kMB

0

，故

MA，MB

的傾斜角互補，所以O(shè)MA

OMB

.綜上，

OMA

OMB

.20.（12

分）20解：（1）20

件產(chǎn)品中恰有

2件不合格品的概率為

f

(

p)

C2

p2

(1

p)18

.因此f

(

p)

C2

[2

p(1

p)18

18

p2

(1

p)17

]

2C2

p(1

p)17

(1

10

p)

.20 20令

f

(

p)

0

，得

p

0.1

.當

p

(0,

0.1)

時，

f

(

p)

0

；當

p

(0.1,1)

時，

f

(

p)

0

.所以

f

(

p)

的最大值點為

p0

0.1

.（2）由（1）知，

p

0.1

.令Y

表示余下的

180

件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y

:

B(180,

0.1)

，X

20

2

25Y

，即

X

40

25Y

.所以

EX

E(40

25Y

)

40

25EY

490.如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為

400

元.由于

EX

400

，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.21.（12

分）xx2 x21 a x2

ax

1解:（1）

f

(x)

的定義域為(0,

)

，

f

(x)

1

.（i）若a

2

，則

f

(x)

0

，當且僅當

a

2

，x

1

時

f

(x)

0

，所以

f

(x)

在(0,

)單調(diào)遞減.2a

a2

4（ii）若

a

2

，令

f

(x)

0

得，

x

2a

a2

4或

x.當2 2a

a2

4a

a2

4x

(0,,

)U

()

時，

f

(x)

0

；當(,)2 2x

a

a

4

a

a

42 2時 ， f(x)

0. 所 以 f

(x)

在(0,),

(22a

a2

4a

a2

4,

)

單調(diào)遞減，在(,22a

a2

4a

a2

4)

單調(diào)遞增.（2）由（1）知，

f

(x)

存在兩個極值點當且僅當

a

2

.由于

f

(x)

的兩個極值點

x

,

x

滿足

x2

ax

1

0

，所以

x

x

1

，不妨設(shè)

x

x

，則1 2 1

2 1 2x2

1.由于221xf

(x1

)

f

(x2

)

1

1

a

ln

x1

ln

x2

2

a

ln

x1

ln

x2

2

a

2

ln

x2x1

x2 x1x2 x1

x2 x1

x2x，1 2222x

x

xf(x1)

f

(x2

) 1所以

a

2

等價于

x

2lnx

0.設(shè)函數(shù)

g(x)

1

x

2

ln

x

，由（1）知，

g(x)

在(0,

)

單調(diào)遞減，又

g(1)

0

，從x而當

x

(1,

)

時，

g(x)

0

.x1所以

x2

2

ln

x2

0

，即21 2f(x1)

f(x2)x

x

a

2

.22．[選修

4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10

分）解:（1）由

x

cos，

y

sin得C2

的直角坐標方程為(x

1)2

y2

4

．（2）由（1）知C2

是圓心為

A(1,

0)

，半徑為

2

的圓．學(xué)&科網(wǎng)由題設(shè)知，C1

是過點

B(0,

2)

且關(guān)于

y

軸對稱的兩條射線．記

y

軸右邊的射線為l1

，

y軸左邊的射線為l2

．由于

B

在圓C2

的外面，故C1

與C2

有且僅