高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.1.2函數(shù)的極值講義8北師大版選修

1.2函數(shù)的極值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0復(fù)習(xí):函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在該區(qū)間內(nèi)遞增f(x)在該區(qū)間內(nèi)遞減問題1：y＝f(x)在x＝a和x=c處的函數(shù)值與附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系？問題2：y＝f(x)在x＝b和x=d處的函數(shù)值與附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系？探究設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)；如果對x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)>f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)；◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.(極值即峰谷處的值）使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn)定義問題1：一個函數(shù)是否只有一個極值？問題2：極大值與極小值的大小關(guān)系是否唯一?探究極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)圖像有何特點(diǎn)?結(jié)論：極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)圖像單調(diào)性相反極值點(diǎn)處，f(x)=0探究思考：若f(x0)=0，則x0是否為極值點(diǎn)？xyO分析yx3探究函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0取極值的充分條件是：①函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值為0②在x0點(diǎn)附近的左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于（小于）零，右側(cè)小于（大于）零。y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的必要條件。結(jié)論因?yàn)樗岳?求函數(shù)的極值.解:令解得或當(dāng)x變化時,f(x)的變化情況如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–2時,f(x)有極大值;當(dāng)x=2時,f(x)有極小值.定義域：R求解函數(shù)極值的一般步驟：小結(jié)（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格練習(xí)1、求下列函數(shù)的極值:解:令解得列表:x0f(x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞減–所以,當(dāng)時,f(x)有極小值定義域：R1、求下列函數(shù)的極值:解:解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–3時,f(x)有極大值54;當(dāng)x=3時,f(x)有極小值–54.練習(xí)定義域：R2、

(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)

f/(x)

f(x)000--++減減增增101

導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)！練習(xí)解：定義域：Rx=-1,x=0,x=1;x=0是函數(shù)極小值點(diǎn)，極小值y=0.例2、已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10.求常數(shù)a，b的值．[思路點(diǎn)撥]由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值10，可得f′(1)＝0且f(1)＝10，由此列出方程求a，b的值，但還要注意檢驗(yàn)求出的a，b的值是否滿足函數(shù)取得極值的條件．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)的解析式中的參數(shù)時，注意以下兩點(diǎn)：

(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0