第一講空間與線性變換

Whythe 和近理論等 版社2006年9月 ysis”RogerA.Horn機(jī)械工業(yè) ： (o),：

如N=,,,,} N={(a,b)|a2+b2

N0={n|nis交并

"a?,a?BA?B B? A=Bxx＋B=y"a?Z$a?

x,y,z?V

k,l?

x+y=y++y=xy+x+0=-=Ⅱ在V

xk+lx=kx+lxk=lx1x=

x,y,z?V

k,l?量

x+y=y+y+z)+y+

Px=axn++ax+a|a,,a,a? -3y+Y={ae2x+bex|a,b?

有01=01+02=假設(shè)x有負(fù)元素x1和x2 x1=x1+0=x1+(x+x2)=(x1+x)+=(x+x1)+x2=0+x2=k0,1?K，x,0-x?V①0x=②x=-③k0=④若kx=0，則k=0或x= xk1x1k2x2+krxr稱x

ε =0,1,,0

ε￠=

,0,,0,1.1 kε+kε++ke=0 1 兩個方0010解

1001=(y,y,y,y)1101

0111001010011101011100100 00 0 0;

E=1 1 E=1 1 1 1

0)21

0)22

1 1

5 F11= F12=E11+ F22=E11+E12+E21+

111\ F, )=(

)011 又A3E115E12,4E21

0010001a 1111-1-1 a2=011

5 001 4a 000 241- 0-

05=1

-14

2

12

2即A在基F11F12,F212下的坐標(biāo)為(-8,1,2A= 1,A= a,A= 1,A= k1+ak2+k3+k4=0k1+k2+ak3+k4=0k1+k2+k3+ak4=0

a3a 當(dāng)a?1,a?- 中元素組tete2t的線性相關(guān)性

tk+etk+e2tk= k+etk+2e2tk=

=e3tt-2

3

因此tet

那么r￡s

y1,y2,,

如果向量組x1,x2,,xr線性無關(guān)，但向量組x1,x2,,xr,y線性相關(guān)，那么y可以由x1,x2,,xr 最大個數(shù)n稱為V的維數(shù)，記做dimVnVn。nfi￥V中的任一向量x都是x1,x2,,xr的線性組合則稱x1,x2,,xr是V的一個基或基底，并稱xi(i=1,2,r)為基向量。

1x1+2TT

12,,xn定理:設(shè)x1,x2,,xn是Vn的一個基x?Vn 它是一維的，數(shù)1就是基；就是二維的，數(shù)1與i就是一組基.

x+ x+ c xy,yy=x,x,xx

2n

n=c1n

x2x2,x2,,xn

nn證明：若x1,x2,,xn; y1,y2,,

x1x2xn到y(tǒng)1y2,

即(y1,y2,,yn)=(x1,x2,,xn y1y2,yn到x1x2

設(shè)為B，即(x1,x2,,xn)=(y1,y2,,yn (y1,y2,,yn)=(y1,y2,,yn x1,x2,,xn\CB=BC=I

y1y2,, n令yj =cijxini

x1,x2,,xnj=1,2,,y1y2,,ynx1x2,xn

(x,x,,x)=(y,y,,y)C- 即，x1x2,xn也可由y1y2\x1x2,,xn與y1,y2,,yn

故y1y2,

并且Cx1x2xn到y(tǒng)1y2

若由基x1x2xn到基y1y2,y1y2yn到基x1x2

x1x2,xn到基y1y2,y

y1y2yn到基z1z2z過渡矩陣為Bz

(y1,y2,,yn)=(x1,x2,,xn(z1,z2,,zn)=(y1,y2,,yn則有，z1z2,znx1x2,xn)C=(x1,x2,,xn x1,x2,,xny1,y2,,

c1n(y,y,,y)=(x,x,,x)

c2n

cc

nn 與基y1,y2,,)

h1x=(x,x,,x)x2 x=(y,y,,y)h2

x x n

h h n

c1nh1則x2

c2nh2

x

h n nn n1h1

-1x

c

或

=

2 2 x x n

nn n 在Vn中，求由基x1,x2,,xn到基y1,y2,,的過渡矩陣及由基y1y2,,yn到基x1x2,xn的x1=(1,0,,0),x2=(0,1,,0),,xn=(0,,y1=(1,1,,1),y2=(0,1,,1),,yn=(0,,并求向量a(a1a2,any1y2,y =x1+x2 ++

x2 ++2 2 n n 0(y,y,,y)=(x,x,,x)

1 0

1 1

0-xx,xyy,,y

1 0

0 0 0 0 1 0 0 1=(y1,y2,,yn)

1 1 0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 1 0

0 1設(shè)y1y2,yn(b1b2,bnb

0a 1b2

100 =a2-a10

b n b

an

-an1

1 -所以y1y2,yn(a1,a2-a1,,an-an-1 在V4中，求由基y1,y2,y3,y4到基x1,x2,x3, x1=(2,1, x2=(0,1,2,y3=(-1, x4=(1,3,1, e2=e3= e4= -1-(y,y,y,y)=(e,e,e,e)

或

1 (e,

,e,e

)=(y,

,y,

)

120-21 (x,x,x,x)=(e, 2 2 -1-1-120-21(x,x,x,x)=(y,y,y,y)

1

3

0 0 1

1 1 2

-1-1-12

-21=(y,y,y,y)

1

3

0

1 1

2 1001=(y,y,y,y)1101

011100101001110101110010E11

10,E12

01 00,

00 010 0 010 1 1

1 1 1 1

5 F11= F12=E11+ F22=E11+E12+E21+

111\ F, )=(

)011 又A3E115E12,4E21