高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義（市一等獎(jiǎng)）

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義在線堂課

北師大2019版-高中數(shù)學(xué)選修2課題引入導(dǎo)數(shù)來源生活【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224顯然，降雨量是時(shí)間的函數(shù)，用表示.(1)分別計(jì)算當(dāng)從0變到10，從50變到60時(shí)，降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義解(1)當(dāng)從0變到10時(shí),降雨量從0變到10，此時(shí)降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率為().【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224顯然，降雨量是時(shí)間的函數(shù)，用表示.(1)分別計(jì)算當(dāng)從0變到10，從50變到60時(shí)，降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224顯然，降雨量是時(shí)間的函數(shù)，用表示.(1)分別計(jì)算當(dāng)從0變到10，從50變到60時(shí)，降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；解(1)當(dāng)從50變到60時(shí),降雨量從22變到24，此時(shí)降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率為().實(shí)際意義【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224顯然，降雨量是時(shí)間的函數(shù)，用表示.它表示從0

到10

內(nèi)，平均每分降雨量為1.它表示從50

到60

內(nèi)，平均每分降雨量為0.2.1>0.2,說明這次降雨過程中，剛開始的10比后10的雨下得大.(1)分別計(jì)算當(dāng)從0變到10，從50變到60時(shí)，降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義(2)假設(shè)得到降雨量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的近似表達(dá)式為,求并解釋它的實(shí)際意義.【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224(2)假設(shè)得到降雨量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的近似表達(dá)式為,求并解釋它的實(shí)際意義.一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224(2)假設(shè)得到降雨量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的近似表達(dá)式為,求并解釋它的實(shí)際意義.一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義(2)首先求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表可得將=40代入,得到(2)假設(shè)得到降雨量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的近似表達(dá)式為,求并解釋它的實(shí)際意義.【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224實(shí)際意義降雨量在時(shí)間處的導(dǎo)數(shù)就是它在處的降雨強(qiáng)度.它表示的是時(shí)降雨量關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，即降雨強(qiáng)度.一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義在氣象學(xué)中,通常把在單位時(shí)間（如1,1等）內(nèi)的降雨量稱作降雨強(qiáng)度.導(dǎo)數(shù)氣象學(xué)的表現(xiàn)形式氣象學(xué)解釋【例1】降雨強(qiáng)度

下表為一次降雨過程中一段時(shí)間內(nèi)記錄下的降雨量的數(shù)據(jù)：

時(shí)間0102030405060

降雨量0101417202224它表示從0

到10這段時(shí)間的平均降雨強(qiáng)度是1

，

而從50到60這段時(shí)間的平均降雨強(qiáng)度為0.2.(1)分別計(jì)算當(dāng)從0變到10，從50變到60時(shí)，降雨量關(guān)于時(shí)間的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；(2)假設(shè)得到降雨量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的近似表達(dá)式為,求并解釋它的實(shí)際意義..一、導(dǎo)數(shù)在氣象學(xué)中的意義

【例2】功與功率二、導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義求功關(guān)于時(shí)間的平均變化率【思路分析】如圖所示，某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功(單位:)是時(shí)間(單位:)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為（1）求從1到3時(shí)，功關(guān)于時(shí)間的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；實(shí)際意義【例2】功與功率二、導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義如圖所示，某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功(單位:)是時(shí)間(單位:)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為（1）求從1到3時(shí),功關(guān)于時(shí)間的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；解（1）當(dāng)從1變到3時(shí)，此時(shí)功關(guān)于時(shí)間的平均變化率為它表示從1變到3這段時(shí)間，這個(gè)人平均每秒做功5..實(shí)際意義【例2】功與功率二、導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的意義如圖所示，某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功(單位:)是時(shí)間(單位:)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為（2）求

，

，并解釋他們的實(shí)際意義.（2）

和

分別表示

=1和=2時(shí)，這個(gè)人每秒做的功為7和4.

解（2）首先求.根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則可得，于是，.在物理學(xué)中，通常稱力在單位時(shí)間內(nèi)做的功為功率，它的單位是瓦特.做功在時(shí)間處的導(dǎo)數(shù)就是它在時(shí)的功率.導(dǎo)數(shù)物理學(xué)的表現(xiàn)形式v三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義

表示當(dāng)建筑面積從100增加到120的過程中每增加1的建筑面積，建筑成本平均約增加1050元.vv三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義實(shí)際意義建造一幢面積為的房屋需要成本萬元，是的函數(shù)：【例3】邊際成本..(1)當(dāng)從100變到120時(shí),建筑成本關(guān)于建筑面積的平均變化率是多少？它代表什么實(shí)際意義？解(1)當(dāng)從100變到120時(shí)，建筑成本關(guān)于建筑面積的平均變化率為vv

【例3】邊際成本(2)求導(dǎo)得實(shí)際意義三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義建造一幢面積為的房屋需要成本萬元，是的函數(shù)：(2)求

并解釋它的實(shí)際意義.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中通常把生產(chǎn)成本

關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為邊際成本.表示當(dāng)建筑面積為100時(shí)，成本增加的速度為1050元/，也就是說當(dāng)建筑面積為100時(shí)，每增加1

的建筑面積，成本就要增加1050元.邊際成本指的是當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量需要增加個(gè)單位成本.導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的表現(xiàn)形式(1)當(dāng)老師提出概念所用時(shí)間從第5

到第8時(shí)，學(xué)生的接受能力關(guān)于平均變化率為vv通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力(即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴于在概念引入之前老師提出和描述問題所用的時(shí)間.講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長，學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果表明，一些學(xué)生掌握概念的能力由下式給出:練習(xí)鞏固導(dǎo)數(shù)服務(wù)生活【練習(xí)】

解

其中

是接受能力的一種度量（單位:），是提出概念所用的時(shí)間(單位:

).(1)計(jì)算當(dāng)老師提出概念所用時(shí)間從第5

到第8時(shí)，學(xué)生的接受能力關(guān)于時(shí)間的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；，

它表示從=5到=

8這段時(shí)間內(nèi)每分鐘學(xué)生平均接受能力為1.3..v練習(xí)鞏固導(dǎo)數(shù)服務(wù)生活(2)第10

時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是在增加還是降低?，v通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力(即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴于在概念引入之前老師提出和描述問題所用的時(shí)間.

講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長，學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果表明，一些學(xué)生掌握概念的能力由下式給出:【練習(xí)】

其中

是接受能力的一種度量（單位:），是提出概念所用的時(shí)間(單位:

).v練習(xí)鞏固導(dǎo)數(shù)服務(wù)生活

導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)是增加的，說明第10

時(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在增加.(2)第10

時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是在增加還是降低?解（2），.，v通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力(即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴于在概念引入之前老師提出和描述問題所用的時(shí)間.

講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長，學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果表明，一些學(xué)生掌握概念的能力由下式給出:【練習(xí)】

其中

是接受能力的一種度量（單位:），是提出概念所用的時(shí)間(單位:

).課堂小結(jié)v一、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活和科學(xué)研究中有著非常廣泛的應(yīng)用二、實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)意義的解釋方法1.瞬時(shí)性解釋

2.特定意義解釋

瞬時(shí)變化率降雨強(qiáng)度功率邊際成本一個(gè)單位的平均變化率導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)vv課后作業(yè)(1)求當(dāng)從1變到2時(shí),電流中流過的電荷量

關(guān)于的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義;(2)求

，，并解釋它們的實(shí)際意義.(1)求當(dāng)從2變到4，該工人生產(chǎn)的產(chǎn)品量關(guān)于時(shí)間的平均變化率，并解釋它們的實(shí)際意義；(2)求

，并解釋它們的實(shí)際意義.2.一名工人的研究表明，工作后生產(chǎn)出的產(chǎn)品量(單位:)可以近似表示為