電磁場中地逆問題

電磁場中的逆問題周開0510318∫首先介紹一下逆問題

簡單概括的定義，逆問題就是由果求因問題其特點：

（1）逆問題通常是病態(tài)的或不適定的。（2）他是由“部分信息”求“全部信息”。

（3）逆問題研究必須建立在對正問題透徹研究的基礎之上。其中的問題病態(tài)是指：①沒有任何原因會造成某結(jié)果；②不同的原因造成相同的結(jié)果；③差別很大的原因造成特別相似的結(jié)果；逆問題的分類從應用的角度，逆問題可分為兩類：㈠優(yōu)化設計問題；㈡參數(shù)識辨問題；逆問題的信息量

一方面，信息的量對逆問題的求解至關重要，信息越多解就被刻畫得越精確，更多的位解就被排除，可能解集就越小。另一方面，信息的“質(zhì)”回顯著影響信息的“量”。逆問題的研究目前，人們主要從以下兩方面進行研究：一方面，從嚴格數(shù)學模型出發(fā)，討論解的存在性和唯一性理論。另一方面，從合理定義正則解開始，將問題轉(zhuǎn)化為某個泛函的極小值問題，再設定一些先驗條件作為級值問題的約束條件。

與逆問題一樣，電磁場中的逆問題從應用的角度也可分為兩類：優(yōu)化設計問題和參數(shù)識辨問題。其中優(yōu)化設計問題又稱為綜合問題。這兩類不同的是：優(yōu)化設計問題一般不要求解的唯一性但要求解的存在性，而參數(shù)識辨問題卻需要給出和客觀實際吻合的唯一解。電磁場中的逆問題電磁場中的逆問題概述優(yōu)化設計問題按求解對象的不同又可大致分為：源綜合，邊界條件綜合，材料性質(zhì)綜合和形狀綜合問題；參數(shù)綜合問題則可分:位置識辨，形狀識辨和媒質(zhì)參數(shù)（如電導率，介電常數(shù)，復等效介電常數(shù)等）識辨等。優(yōu)化問題：通常表述為

電磁場中逆問題求解方法概述其中x為待優(yōu)化的參數(shù)組，0為目標函數(shù)，即我們要找出使F取值最小的x（最優(yōu)解）情況下，很難直接求解該問題，而是轉(zhuǎn)而通過迭代過程，即多次計算不同的x所對應的目標函數(shù)值，來逐步逼近最優(yōu)解。一般其中很容易想到的辦法是窮舉法，即逐一計算所有可能的解的目標函數(shù)，然后找出哪個（那些）目標函數(shù)值最小的解。窮舉法原理很簡單，但當列舉量無窮大或隨解空間維數(shù)劇烈增長時，窮舉法理論上或?qū)嶋H上是行不通的。為了避免“窮舉”，可以在迭代過程中根據(jù)一定的策略，只選舉部分可能解進行“實驗”以得到或逼近最優(yōu)解。根據(jù)不同的策略，可以將優(yōu)化問題的求解方法分為兩類：（一）確定性方法；（二）隨機性方法；確定性方法確定性方法是指在迭代過程中根據(jù)每步迭代所確定的搜索方向與步長而一步一步的進行搜索，當前步迭代解所對應的目標函數(shù)值一定比前一次迭代解對應的目標函數(shù)值要小。不同的確定性方法主要就是指搜索方向不同，如最速下降法，共軛梯度法，擬牛頓法等。確定性方法是靠當前搜索位置的鄰域的特點來確定下一步的搜索位置（同時也實現(xiàn)了非線性問題的局部線性化），所以本質(zhì)上是一種局部尋優(yōu)，

它們尋找局部最優(yōu)解的效率很高，單在多值問題中幾乎不具備尋找全局最優(yōu)解的能力，除非給其提供一個合適的初始猜測解，但在沒有相關先驗信息的條件下，這幾乎是不可能的。確定性方法的另一個缺點是需要知道目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)，這通常要求目標函數(shù)不太復雜并具有解析表示，此外還導致了很大的計算量，并且有時目標函數(shù)本身并不可導。另一方面，由于逆問題的病態(tài)往往會

遺傳到優(yōu)化問題當中，所以確定性方法的每步迭代過程中一般還需要加入正則化處理，否則計算誤差會相當大，甚至使迭代無法進行下去。隨機性方法隨機性方法又稱蒙特卡羅法（MonteCarlo），是指在每步迭代中都有（偽）隨機數(shù)參與了當前迭代解的生成，或者說搜索方向和步長具有隨機性.蒙特卡羅法分為傳統(tǒng)蒙特卡羅法和現(xiàn)代蒙特卡羅法.傳統(tǒng)蒙特卡羅法進行完全隨機的“盲目”搜索,即認為所有可能解等概率地出現(xiàn),其列舉量較窮舉法小，但代價是無法保證找到最優(yōu)解，只能找出滿足給定條件的部

分解集；然后可以總結(jié)出這些解的共性，并認為這些共性反映了觜游街的特點?，F(xiàn)代蒙特卡羅法則是有指導地進行隨機搜索，它讓不同的可能解具有不同的出現(xiàn)概率。它是啟發(fā)式的，是對傳統(tǒng)蒙特卡羅法的發(fā)展?，F(xiàn)代蒙特卡羅法的典型代表是遺傳算法，模擬退火法等。對比確定性方法，蒙特卡羅法的優(yōu)點在于：

（一）普適性強，不需要區(qū)分代求問題是線性的還是非線性的，是病態(tài)的還是良態(tài)的；

（二）可以處理正算子非常復雜或無法用解析式表示的問題；（三）具有較強的全局尋優(yōu)能力。其缺點是計算量通常較大，且隨問題階數(shù)劇烈增長。目前看來，以遺傳算法為代表的隨機搜索方法在求解優(yōu)化設計問題時較為有效，因為：此類問題通常未知量較少；不要求解唯一性。但逆散射等參數(shù)識辨問題往往因分辨率的要求而未知量較多，且需找出與客觀實際相符合的為一解，此時增加信息量（包括先驗信息和測量信息）是首要問題，其次是上快速而穩(wěn)定的算法。下面舉兩個逆問題的例子（一）電阻抗成相如下圖所示，通過置于導體（區(qū)域Ω所示）表面的電極s給導體注入電流I，測量導體表面的電位Φ，由此求導體內(nèi)的電導率分布б。該問題的簡化數(shù)學模型為

，在Ω內(nèi)，在邊界上其中j為邊界上電流密度的法向分量，應滿足電荷守恒定，率且它與I的關系為可以看到這是一個橢圓形偏微分方程的參數(shù)識辨問題，相應的正問題則是以知Ω內(nèi)的б分布及邊界上的內(nèi)法向電流密度j，求Ω內(nèi)的電位分布。逆散射（inversescattering）問題逆散射問題是指，以知入射波入射某散射體（被測物體），通過測量散射體激發(fā)的二次場（散射場），來重建散射體的形狀與內(nèi)部結(jié)構，如下圖所示，Ω1為包含散射體的計算區(qū)域，Ω2為（均勻）背景媒質(zhì)區(qū)域，其波長為k，則總場u在區(qū)域Ω2內(nèi)滿足齊次亥姆霍方程而散射場滿足Sommerfeld輻射條件,當時于是它具有如下的漸進性質(zhì)當時其中函數(shù)定義在單位球面上，成為散射波的遠場模式（farfieldPattern）。

這里談到的“波”既可以是電磁波也可以是聲波等。