2022屆高考文科數(shù)學(xué)考案2導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

§2.11導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用真題探究考綱解讀知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析例題備選命題預(yù)測(cè)基礎(chǔ)拾遺技巧歸納考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次);了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).在綜合應(yīng)用中特別注意用導(dǎo)數(shù)在證明不等式、求參數(shù)范圍、處理恒成立等問(wèn)題的工具性作用.

考點(diǎn)考綱解讀

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,主要考查函數(shù)的性質(zhì),

同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),知識(shí)載體主要是三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù).綜合題的主要題型:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值

與最值問(wèn)題;(2)考查以函數(shù)為載體的實(shí)際應(yīng)用題,主要是先建立所求

量的目標(biāo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.(3)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式等相綜

合.結(jié)合《考綱》預(yù)測(cè)2013年試題既有基礎(chǔ)題,也有綜合題,試題難度

中等偏上或偏難.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

1.函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上恒為增函數(shù)(或減函數(shù))的問(wèn)題,關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上恒為正(或負(fù))的問(wèn)題,也就是

導(dǎo)函數(shù)最值大于(或小于)0的問(wèn)題.具體處理時(shí),一定要注意端點(diǎn)值的

討論.2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題時(shí),一般根據(jù)要證明的不等式構(gòu)造函數(shù),

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.具體的證明步驟為:①將所給的不等式移項(xiàng)

、整理、變形為求證不等式f(x)>0(<0)的形式;②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

在給定區(qū)間上的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值;③將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選數(shù)的最值恒大于0或者小于0的問(wèn)題.3.利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根的個(gè)數(shù),其具體步驟為:①將方程移項(xiàng)、整

理,轉(zhuǎn)化為方程F(x)=0;②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=F(x)圖象的變化情況;

③利用數(shù)形結(jié)合思想研究F(x)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而得到方程根的

個(gè)數(shù).

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f‘(x)的圖象如圖所示,那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是

(

)

【解析】由f'(x)的圖象知0和-2是f(x)的極值點(diǎn),且x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞

減,故選A.【答案】A考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-

x2-2x+5,若對(duì)于任意x∈[-1,2]都有f(x)<m成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(

)(A)(7,+∞).

(B)(8,+∞).(C)[7,+∞).

(D)(9,+∞).【解析】f(x)<m恒成立,即為f(x)最大值<m恒成立,f'(x)=3x2-x-2,在[-1,-

]和[1,2]上,f(x)為增函數(shù),在[-

,1]上,f(x)為減函數(shù),所以f(x)的最大值為f(2)=7,所以m的取值范圍為(7,+∞).【答案】A考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(2011年湖南卷)設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交于

點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為

(

)(A)1.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】由題可知|MN|=x2-lnx(x>0),不妨令h(x)=x2-lnx,則h'(x)=2x-

,令h'(x)=0解得x=

,因x∈(0,

)時(shí),h'(x)<0,當(dāng)x∈(

,+∞)時(shí),h'(x)>0,所以當(dāng)x=

時(shí),|MN|達(dá)到最小.即t=

.【答案】D考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選4.(2011年遼寧卷)已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點(diǎn),則a的取值范圍是

.【解析】f(x)=0有零點(diǎn),等價(jià)于a=2x-ex有解,設(shè)g(x)=2x-ex,則g'(x)=2-ex.

當(dāng)x≤ln2時(shí),g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x≥ln2時(shí),g(x)單調(diào)遞減,∴g(x)max=g(ln

2)=2ln2-2,所以,a的取值范圍是(-∞,2ln2-2].【答案】(-∞,2ln2-2]

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b為實(shí)數(shù).題型1利用導(dǎo)數(shù)研究某個(gè)區(qū)間上恒為單調(diào)函數(shù)的問(wèn)題(1)若f(x)在x=1處取得的極值為2,求a,b的值;(2)若f(x)在區(qū)間[-1,2]上為減函數(shù),且b=9a,求a的取值范圍.【分析】要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]內(nèi)是減函數(shù),只需f(x)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)

間[-1,2]內(nèi)恒小于或等于0.【解析】(1)由題設(shè)可知:f'(1)=0且f(1)=2,即

解得a=

,b=-5.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)∵f'(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a,又f(x)在[-1,2]上為減函數(shù),∴f'(x)≤0對(duì)x∈[-1,2]恒成立,即3x2-6ax-9a≤0對(duì)x∈[-1,2]恒成立.∴f'(-1)≤0且f(2)≤0,即

則有

∴a≥1,∴a的取值范圍是a≥1.【點(diǎn)評(píng)】在處理函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上恒為增函數(shù)或減函數(shù)的問(wèn)題時(shí),

注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值是否合適.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=

在區(qū)間(-2,+∞)上是增函數(shù),求a的取值范圍.【解析】f'(x)=

=

.由f'(x)≥0,得a≥

,但是,當(dāng)a=

時(shí),f(x)=

,顯然在(-2,+∞)上不是增函數(shù),故a>

.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)g(x)=lnx,求證:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.【分析】要證明g(x)≥f(x),通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化后構(gòu)造新的函數(shù),在x∈[1,+

∞)上恒大于或等于0.【解析】(1)將x=-1代入切線方程得y=-2,∴f(-1)=

=-2,化簡(jiǎn)得b-a=-4,f'(x)=

,

例2已知函數(shù)f(x)=

在點(diǎn)(-1,f(-1))的切線方程為x+y+3=0.題型2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選f'(-1)=

=

=

=-1,解得:a=2,b=-2.∴f(x)=

.(2)由已知得要證明lnx≥

在[1,+∞)上恒成立,即只要證(x2+1)lnx≥2x-2成立,即要證x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.設(shè)h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,h'(x)=2xlnx+x+

-2.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題的處理辦法是構(gòu)造新的函數(shù),將

原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)≥h(1)=0,∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.∵x≥1,∴2xlnx≥0,x+

≥2,即h'(x)≥0,考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),f

(x)取得極值-2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:對(duì)任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.【解析】(1)∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)?d=0.∴f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c.∵當(dāng)x=1時(shí),f(x)的極值為-2,∴

?

得

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)、(1,+∞),遞減區(qū)間為(-1,1).∴f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f'(x)>0?x<-1或x>1,f'(x)<0?-1<x<1.(2)由(1)知,f(x)在[-1,1]上是減函數(shù),所以f(x)在[-1,1]上的最大值為M=f

(-1)=2,最小值為m=f(1)=-2.∴對(duì)于任意x1、x2∈(-1,1),恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=2-(-2)=4.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直,求函數(shù)y=f

(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記g(x)=f(x)+x-b(b∈R),當(dāng)a=1時(shí),方程g(x)=0在區(qū)間[e-1,e]上有兩個(gè)

不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【分析】(1)先根據(jù)條件求出函數(shù)解析式,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),解不等式

f'(x)>0和f'(x)<0即可求出單調(diào)區(qū)間,(2)根的分布主要是結(jié)合圖象,得

到滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

例3已知函數(shù)f(x)=

+alnx-2(a>0).題型3利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選因?yàn)閒'(x)=-

+

,且知直線y=x+2的斜率為1.所以f'(1)=-

+

=-1,所以a=1.所以f(x)=

+lnx-2,f'(x)=

.由f'(x)>0,解得x>2;由f'(x)<0,解得0<x<2.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(0,2).【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).(2)依題得g(x)=

+lnx+x-2-b,則g'(x)=

.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選由g'(x)>0解得x>1;由g'(x)<0解得0<x<1.所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)為減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)為增函數(shù).又因?yàn)榉匠蘥(x)=0在區(qū)間[e-1,e]上有兩個(gè)不同的實(shí)根,所以

解得1<b≤

+e-1.所以b的取值范圍是(1,

+e-1].【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)研究根的分布問(wèn)題,關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究得出函

數(shù)圖象的特點(diǎn),再將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸的交點(diǎn),從而可得根的分

布情況或參數(shù)的取值情況.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R).(1)若a=2,求證:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);(2)求f(x)在[1,e]上的最小值.【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2-2lnx,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)=

>0,所以f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).(2)f'(x)=

(x>0),當(dāng)x∈[1,e]時(shí),2x2-a∈[2-a,2e2-a].考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選若a≤2,則當(dāng)x∈[1,e]時(shí),f'(x)≥0,所以f(x)在[1,e]上是增函數(shù),又f(1)=1,故函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值為1.若a≥2e2,則當(dāng)x∈[1,e]時(shí),f'(x)≤0,所以f(x)在[1,e]上是減函數(shù),又f(e)=e2-a,所以f(x)在[1,e]上的最小值為e2-a.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選若2<a<2e2,則當(dāng)1≤x<

時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)是減函數(shù);當(dāng)

<x≤e時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)是增函數(shù).又f(

)=

-

ln

,所以f(x)在[1,e]上的最小值為

-

ln

.綜上可知,當(dāng)a≤2時(shí),f(x)在[1,e]上的最小值為1;當(dāng)2<a<2e2時(shí),f(x)在[1,e]上的最小值為

-

ln

;當(dāng)a≥2e2時(shí),f(x)在[1,e]上的最小值為e2-a.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)方面:(1)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的證明問(wèn)題;(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題;(4)利用定積分解決實(shí)際問(wèn)題等.在復(fù)習(xí)過(guò)程中,應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律.一般來(lái)說(shuō),利用導(dǎo)數(shù)解決的問(wèn)題,其

所涉及的函數(shù)往往具有明顯的特征,例如:三次函數(shù)等高次函數(shù)、非考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選常規(guī)函數(shù)(由基本初等函數(shù)構(gòu)成)等,這些函數(shù)尤其適合利用導(dǎo)數(shù)解

決.在復(fù)習(xí)過(guò)程中,要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思

想方法的訓(xùn)練.在解決導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中,這些思想始終貫穿于其

中,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,在研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)時(shí),一定要注意優(yōu)先考

慮定義域.

考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年江西卷)設(shè)f(x)=-

x3+

x2+2ax.(1)若f(x)在(

,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;(2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為-

,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.【解析】(1)由f'(x)=-x2+x+2a=-(x-

)2+

+2a,當(dāng)x∈[

,+∞)時(shí),f'(x)的最大值為f'(

)=

+2a;令

+2a>0,得a>-

.所以當(dāng)a>-

時(shí),f(x)在(

,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)令f'(x)=0,得兩根x1=

,x2=

.所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增.當(dāng)0<a<2時(shí),有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x2).又f(4)-f(1)=-

+6a<0,即f(4)<f(1),所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8a-

=-

,得a=1,x2=2,從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)=

.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)當(dāng)t=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)當(dāng)t≠0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)證明:對(duì)任意的t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).【解析】(1)當(dāng)t=1時(shí),f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=-6x.2.(2011年天津卷)已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.(2)f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,解得x=-t或x=

.因?yàn)閠≠0,以下分兩種情況討論:①若t<0,則

<-t,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,

),(-t,+∞);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

,-t).x(-∞,

)(

,-t)(-t,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗②若t>0,則-t<

,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-t)(-t,

)(

,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-t),(

,+∞);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-t,

).(3)由(2)可知,當(dāng)t>0時(shí),f(x)在(0,

)內(nèi)的單調(diào)遞減,在(

,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,以下分兩種情況討論:①當(dāng)

≥1,即t≥2時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-6×4+4×2+3<0.所以對(duì)任意t∈[2,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).②當(dāng)0<

<1,即0<t<2時(shí),f(x)在(0,

)內(nèi)單調(diào)遞減,在(

,1)內(nèi)單調(diào)遞增,考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選若t∈(1,2),f(

)=-

t3+(t-1)<-

t3+1<0.f(0)=t-1>0,所以f(x)在(0,

)內(nèi)存在零點(diǎn).所以對(duì)任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).綜上,對(duì)任意t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).

若t∈(0,1],f(

)=-

t3+t-1≤-

t3<0.f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0.所以f(x)在(

,1)內(nèi)存在零點(diǎn).考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+2)ex,x、a∈R.(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在R上單調(diào),求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=-

時(shí),求函數(shù)f(x)的極小值.【解析】(1)f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],當(dāng)a=0時(shí),f(x)=(x2+2)ex,f'(x)=ex(x2+2x+2),f(1)=3e,f'(1)=5e,∴函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],考慮到ex>0恒成立且x2系數(shù)為正,∴f(x)在R上單調(diào)等價(jià)于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,∴(a+2)2-4(a+2)≤0,∴-2≤a≤2,即a的取值范圍是[-2,2].(3)當(dāng)a=-

時(shí),f(x)=(x2-

x+2)ex,f'(x)=ex(x2-

x-

).考綱解讀命題預(yù)測(cè)知識(shí)盤(pán)點(diǎn)典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選令f'(x)=0,得x=-

或x=1,令f'(x)>0,得x<-

或x>1,令f'(x)<0,得-

<x<1.x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-

)-

(-

,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)=

e.