物理第三章32定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理

§3-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理是描寫質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，剛體也是質(zhì)點(diǎn)系，也適用于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。dtdL質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理

M

=對于剛體，

是M剛體受到的合外力矩，是L剛體的角動(dòng)量.剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，把軸固定在慣性系中，取轉(zhuǎn)軸為z軸，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為dtdL=

zMz一、力對轉(zhuǎn)軸的力矩設(shè)外力作用于P點(diǎn)，

的F方向與軸既不垂直也不平行,將力分解為垂直于轉(zhuǎn)軸和平行于轉(zhuǎn)軸兩個(gè)分量zyo'xFPF//F^R力對原點(diǎn)O

′的力矩M

=

R

·

F力矩在z軸方向的分量M

z

=

xFy

-

yFxM

z

=

rF^

sinqzyo'FPF//^FRroq寫成矢量式M

zk

=

r

·

F^平行于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的分力 能引只起軸的變形,對轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)。垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的分力

F^對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)有作用。外力F

對剛體轉(zhuǎn)軸的力矩大小x方向沿z軸方向如果有幾個(gè)外力作用在剛體上時(shí)，剛體所受的合外力矩M

z

=

Miz

=

ri

Fi^

sinqii

i剛體內(nèi)力是剛體內(nèi)各質(zhì)元間的相互作用力，可以證明：剛體內(nèi)各質(zhì)元間每一對內(nèi)力的內(nèi)力矩之和為零。討論：力經(jīng)過轉(zhuǎn)軸，力矩恒為零。合力為零，合力矩不一定為零.4）合力矩≠合力的力矩3）合力矩為零，合力不一定為零剛體受合力不為零F1

r1

=

F2

r2F1

?

F2如果1rr2F1F2例：將兩個(gè)半徑不同的圓盤同心地粘在一起，兩個(gè)圓盤的半徑分別為r1、r2，圓盤上繞有繩子，如圖。合力矩為零yzoo'DmiriRi二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體中任一質(zhì)量元對原點(diǎn)的角動(dòng)量vi

Li

=

Ri

·

Dmi

vi對z軸的角動(dòng)量iiLiz

=

ri

Dmi

vi整個(gè)剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量Lz

=

Li

z=riDmivixi=w

(i

iDm

r

)2因?yàn)?/p>

vi

=

riw2i

iDm

rJ

=i稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。定義i

iiirDm

vLz

=Lz

=JwM

=Jb

稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：剛體所受的合外力矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度的乘積.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理在轉(zhuǎn)動(dòng)問題中的地位相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的牛頓第二定律。zdLzM

=剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒定dt

dtdt=

d

(Jw

)=

J

dw

=

Jb三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2

i

iDm

rJ

=i由剛體的各質(zhì)元相對于固定轉(zhuǎn)軸的分布所決定的，與剛體的運(yùn)動(dòng)及所受外力無關(guān)。對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體J

=

r

2dm(m

)其中r為質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。對質(zhì)量線分布的剛體：dm=ldll

質(zhì)量線密度對質(zhì)量面分布的剛體：s

質(zhì)量面密度dm

=

sdS對質(zhì)量體分布的剛體：dm

=rdVr

質(zhì)量體密度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小不僅與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量相對于軸的分布有關(guān)。結(jié)論：形狀、大小相同的勻質(zhì)剛體，質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)棒12J

=

1

mL2mL圓盤或圓柱體2J

=

1

mR2Rm薄圓環(huán)或薄圓筒J

=

mR2Rm薄球殼3J

=

2

mR2Rm球體5J

=

2

mR2Rm參看課本上冊第102頁表3-1一些常見均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2J

=

JC

+

md四、平行軸定理質(zhì)量為m的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則對任一與該軸平行，相距為d的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Cdm

ORO

mP2PJ

=

1

mR2

+

mR2圓盤對P軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？1mm23m

r31rr2J

=2i=3i=1i

imr例1

如圖質(zhì)點(diǎn)系，求質(zhì)點(diǎn)系對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。=

m

r2

+m

r2

+m

r21

1

2

2 3

3z解

設(shè)棒的線密度為

l，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′為r處的質(zhì)量元dm

=

ldrdJ

=

r

2dm

=

lr

2dr30l

/

22

1

12r

dr

=J

=

2lll例2一質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。.-

l

2O′O2

1

12ml=rdr

l

2ml

=

llO′OdrrJ

=

ll02r

dr213ml=如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為r處的質(zhì)量元dm

=

ldrdJ

=

r

2dm

=

lr

2drORRdrr例3

一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解設(shè)圓盤面密度為s，在盤上取半徑為r，寬為dr的圓環(huán)dm

=

s

2π

rdr圓環(huán)質(zhì)量2所以J

=1

mR2圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dJ

=

r

2

dm

=

2π

sr

3dr403π

Rs22π

sr

dr

=J

=R而

s

=

m

π

R

2四、轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用M

=

Jb由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理不難看出：1）剛體所受合外力矩一定時(shí)，J越大，b就越小，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)越難改變。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。2）M的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速的力矩為正；竿子長些還是短些較安全

？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？例4

一質(zhì)量為M

、半徑為R

的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長不計(jì)質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為m的物體而下垂。求：物體m

由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。解：選取研究對象：剛體M、質(zhì)點(diǎn)m對滑輪和物體做受力分析，畫出受力分析圖hmM對滑輪有對物體有T

=

T

'由運(yùn)動(dòng)學(xué)TR

=

Jbmg

-T

'

=

mata

=

a

=

Rb2v

=

2ah解方程得：aGbTNT￠mg例5一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，滑輪所受的摩擦阻力矩為Mf。設(shè)繩與滑輪之間無相對滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2abT2解：做受力分析圖m1<

m21m2mM

fT1GNT1￠1mm

g

a12T

￠m2m2

g對質(zhì)點(diǎn)可列牛頓方程，對剛體列轉(zhuǎn)動(dòng)方程T2

'

r

-T1

'

r

-

M

f

=

Jb滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等即T1

-

m1

g

=

m1am2

g

-T2

=

m2aa

=

at

=

rb(m2

-

m1

)g

-

M

f

/

rr

21m2

+

m1

+

2

m2

1m

+

m

+

J(m2

-

m1

)g

-

M

f

/

ra

==從以上各式即可解得(m2

-

m1

)g

-

M

f

/

rab

=

r

=1(m2

+

m1

+

2

m)rT2

=

m1

(g－a)=f121m2

+

m1

+

2

m2

m

2m

+

1

m

g＋M

/

rT1

=

m1

(g

+

a)=mm2

+

m1

+f21221

m

2m

+

1

m

g

-

M

/

r當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、Mf=0時(shí)，有g(shù)m2

+

m12m1m2T1

=

T2

=a=

m2

-

m1

gm2

+

m1阿特伍德機(jī)是一種可用來測量重力加速度

g的簡單裝置。例6

以30N·m

的恒力矩作用在有固定軸的飛輪上,

在10s內(nèi)飛輪的轉(zhuǎn)速由零增大到5rad/s,此時(shí)移去該力矩,飛輪因摩擦力矩的作用經(jīng)90s

而停止,試計(jì)算此飛輪對其固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣